1、第 11 章 反常积分11. 1 反常积分的概念一 基本内容一、无穷限反常积分 定义 1 设函数 ()fx在 , )a上有定义，且在任意区间 , au上可积，如果 lim()duafx存在，则称此极限为 f在 , 上的反常积分，亦称为 ()fx在,上的无穷限反常积分，简称无穷限积分，记作()dafx ie()lim()duaaffx:，此时并称dx收敛如果极限不存在，则称()af发散 同理可定义()li()bbuffx， () daafxx，几何解释如图 ()daf收敛是指图中阴影区域的面积存在二、瑕积分 定义 2 设函数 ()fx在 , ab上有定义，且在点 a的任一右邻域内无界，而在, (
2、,uba上有界可积，如果 lim()dufx存在，则称此极限为无界函数 ()fx在上的反常积分，记作()baf，elim()dbbauafx:，并称 ()dbafx收敛，否则称其发散其中 称为瑕点无界函数的反常积分亦称为瑕积分同理可得 b 为瑕点时，()dli()dbuaabfxfx当 ()f的瑕点 (, c，则定义 d)()b baacxff limdlidubucxfx若 , 都是 ()f的瑕点，则定义 ()d()b baacfxf li()dlidcuucbfxfx二 习题解答xyO()fx 讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛，则求其值(1) 20dxe； 解：由于2 2 1()uue，
3、2 01limduxe所以该反常积分收敛，且收敛于1(2) 2dxe；解：由于22 0(1)uue2 01limdxuxe而222 0 0ddxxee所以该反常积分收敛，且收敛于 (3) 01xe； 解：由于01d2uxue， 1lim22uue所以该反常积分收敛，且收敛于 (4) 21d()x；解：由于22111duux 11lnlnl2uxu 2limdl()ux所以该反常积分收敛，且收敛于 (5) 21d45xx； 解：由于2001d(1)()uuxx01arctn(2)arctn8|ux 201limd4548uxx， 0 21d()45()uuxx011arctn(2)arctn(2
4、)8|uxu 0limd454u所以该反常积分收敛，且收敛于 2(6) 1sinxe；解：由于1d(sinco)uue， 11lmid2xu所以该反常积分收敛，且收敛于 2(7) sindxe； 解：由于01(sinco)uue， 1lmidxu所以该反常积分发散(8) 12dx解：由于212ln(1)uu， 12limdux所以该反常积分发散2 讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛，则求其值(1) 1d()bpax； 解：由于 为瑕点，而 11 ()()11d()lnlppbpuauaxab，1 ()lim() 1pbpuax ，所以 1时，该瑕积分收敛，且值为()pba；所以 p时，该瑕积分发散
5、(2) 20dx；解：由于 1为瑕点，而u201dln(1)l()xu， u201imdx所以该瑕积分发散(3) 201dx； 解：由于 为瑕点，而 002(1)1uuxxu， 01limd2ux同理21limd2ux，所以该瑕积分收敛，且值为 4(4) 102x；解：由于 为瑕点，而202d1uxu， 021limux所以该瑕积分收敛，且值为 (5) 10lndx； 解：由于 为瑕点，而 1lluu， 10limndux所以该瑕积分收敛，且值为 (6) 10dx；解：令 2sint，则 2 1 00siincosd1xtt 22sid()t ，所以该瑕积分收敛，且值为 (7) 102dx；
6、解：令 sinxt，则1 20202sincodd(1)txt 20t所以该瑕积分收敛，且值为 (8) 10d(ln)px解：由于 ， 为瑕点，又1(l)11d(ln)nppxCx，而 时， 1imlx，p时，10()p1时， 1lilnxx所以 pR，瑕积分10d(l)px发散3 举例说明：瑕积分baf收敛时，2()dbafx不一定收敛解：例如10dx收敛于 2，但10发散4 举例说明：积分()dafx收敛，且 ()fx在 ,)a上连续时，不一定有lim()xf解：例如+41sindx因令 4t得 + +11sinsinddtx所以+41six收敛，且 4()f在 ,)a上连续，但 lim(
7、)f不存在5 证明：若()dafx收敛，且 lim()xfA存在，则 0 证：假设 0A，不妨设 0，因 ，所以M，()2fx“”于是()d()2uMfxu，从而 lim()dufx此与()dafx收敛矛盾，故 0A6 证明：若 ()fx在 ,)a上可导，且()dafx与 ()dafx都收敛，则lim()0xf 证：因为 ()d()uaffu，所以由 x都收敛知 lim()xf存在，故由上一题知 li()0f11. 2 无穷限积分的性质与收敛判别一 基本内容一、无穷限积分的性质 由无穷限积分的定义知 ()dafx收敛lim()duafx存在；由极限的柯西收敛准则知 li()uaf存在 0,G2
8、1 12,()duGfx“”定理 1 ()dafx收敛 0,21 12,()uufx性质 1 若1()afx ()dafx都收敛，则 12,k， 1()()dkffx也收敛，且 1112()()d()()da aakfxfxfkfx性质 2 若 ,u在 , au上可积，则 b，与()bfx同收同发，且 ()d()()dbaabfxfxfx性质 3 若 ,uf在 ,u上可积，则 ()af收敛()af收敛，且 ()ddafxx定义 1 如果收敛，则()afx称绝对收敛二、比较判别法 比较判别法仅应用于绝对收敛的判别 由于()()duaFfx单调上升，所以， fx收敛()()duaFfx有上界 定理
9、 2 若 ,()g在 , au上可积，且 fg，则 ()dax收敛()dafx收敛；而 f发散g发散推论 (比较判别法的极限形式)若 ,()uafxg在 , au上可积，,()0xag，且 ()limxfcg，则 (1) c()daf与da同收同发；20时，gx收敛()fx收敛；(3) 时，()a发散a发散当选用1dpx为比较“ 尺子 ”时，则得下面的柯西判别法定理 3 (柯西判别法) 若 0,()ufx在 , u上可积，则pf，且 1时，da收敛；(2) x，且 时，()fx发散定理 3(柯西判别法的极限形式 ) 若 0,()uafx在 , au上可积，且lim)pxf，则(1 0，且 1p
10、时，()dafx收敛；2)，且 时，发散三、狄立克雷判别法与阿贝尔判别法 此法是对一般无穷限积分的敛散性判别 定理 4 (狄立克雷判别法) 若,()()duauFfx有界， ()gx在 ,)a上单调，且 lim0xg，则 ()afxg收敛定理 5 (阿贝尔判别法) 若d收敛， ()gx在 ,)a上单调有界，则()dafxg收敛 二 习题解答1 设 ()fx与 g是定义在 ,)a上的函数， ua， ()fx与 g在 ,au上可积，证明：若2da与2(dx都收敛，则df与 ()af亦收敛证：(1) 因为 tR， 2()0tfg，从而 2()d0atfxx，即2()d2()d()aaatfxtf故由
11、判别式为负得 222()4()d()0aaafxgfxgx即 22()d()aaff而 2x， x收敛，所以 ()afg收敛又 2dxx()af2()dafxg2()dagx，所以 2()afxgx收敛证：(2) 因为d与2()dagx都收敛，所以 22 ()afx收敛而 2()ffxg，故()da绝对收敛，亦收敛又 2()fxx 2d()d()daaaffxggx所以由四则运算知2()g收敛2 设 ()fx、 g、 hx是定义在 ,)上的三个连续函数，且 ()()fxghx，证明(1) 若daf，()da都收敛，则()dagx也收敛；证：因为 ()xx，所以 u， ()uaf ()ax ()
12、uah而 ()dafx，()dahx都收敛， 所以 limu，liuax都存在，从而 ()augx存在，故da收敛(2) 若()fx ()dahxA，则()dagxA证：因为a 所以 lim()ufx，lim()uax，于是由夹逼性定理得liduagA，故 ()dagxA3 讨论下列无穷限积分的收敛性：(1) 3041x； 解：因为 34lim1x，而304dx收敛，故3041d收敛(2) 1xe；解：因为2lim0xx，而21dx收敛，故1de收敛(3) 0x； 解：因为1limx，而1dx发散，故0d发散(4) 31arctnx；解：因为2lim2x，而201dx收敛，故31arctnd收
13、敛(5) l()nx； 解：当 1n时，1ln()dx发散，当 时，n收敛(6) 0d(,0)1mx解：因为 li1nnx，所以当 1时， 0dmx发散，当 n时， n收敛4 讨论下列无穷限积分绝对收敛还是条件收敛：(1) 1sidx； 解：因为2inlim1x，而1dx发散，所以 1sd发散又1in()2cos14uxFu，gx在 时单调下降以零为极限，所以由狄氏判别法知1sindx收敛综上可知1six条件收敛(2) 20gn()d；解：因为 2si1x，而201dx收敛，所以 20gn(i)d绝对收敛(3) cos1x； 解：因为 0()dsin1uFxu，而 1gx在 时单调下降以零为极限，所以由狄氏判别法知 0cosd1x收敛
