1、1反比例函数知识点归纳和典型例题、基础知识(一)反比例函数的概念1 ( )可以写成 ( )的形式,注意自变量 x 的指数为 ,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 这一限制条件;2 ( )也可以写成 xy=k 的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的 k,从而得到反比例函数的解析式;3反比例函数 的自变量 ,故函数图象与 x 轴、y 轴无交点(二)反比例函数的图象在用描点法画反比例函数 的图象时,应注意自变量 x 的取值不能为0,且 x 应对称取点(关于原点对称) (三)反比例函数及其图象的性质1函数解析式: ( )2自变量的取值范围:3图象:(1)图象的形状:双曲线越大,图象的弯曲
2、度越小,曲线越平直 越小,图象的弯曲度越大(2)图象的位置和性质:与坐标轴没有交点,称两条坐标轴是双曲线的渐近线当 时,图象的两支分别位于一、三象限;在每个象限内,y 随 x 的增大而减小;当 时,图象的两支分别位于二、四象限;在每个象限内,y 随 x 的增大而增大(3)对称性:图象关于原点对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则( , )在双曲线的另一支上图象关于直线 对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则( , )和( , )在双曲线的另一支上24k 的几何意义如图1,设点 P(a,b)是双曲线 上任意一点,作 PAx 轴于 A 点,PBy 轴于 B 点,则矩形 PBOA 的面积是 (三
3、角形 PAO 和三角形 PBO 的面积都是 ) 如图2,由双曲线的对称性可知,P 关于原点的对称点 Q 也在双曲线上,作 QCPA 的延长线于 C,则有三角形PQC 的面积为 图1 图25说明:(1)双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个分支分别讨论,不能一概而论(2)直线 与双曲线 的关系:当 时,两图象没有交点;当 时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称(3)反比例函数与一次函数的联系(四)实际问题与反比例函数1求函数解析式的方法:(1)待定系数法;(2 )根据实际意义列函数解析式2注意学科间知识的综合,但重点放在对数学知识的研究上(五)充分利用数形结
4、合的思想解决问题3三、例题分析1反比例函数的概念(1)下列函数中,y 是 x 的反比例函数的是( ) Ay=3x B C3xy=1 D(2)下列函数中,y 是 x 的反比例函数的是( ) A B C D2图象和性质(1)已知函数 是反比例函数,若它的图象在第二、四象限内,那么 k=_若 y 随 x 的增大而减小,那么 k=_(2)已知一次函数 y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限,则函数 的图象位于第_ 象限(3)若反比例函数 经过点( ,2) ,则一次函数 的图象一定不经过第_象限(4)已知 ab0 ,点 P(a ,b )在反比例函数 的图象上,则直线 不经过的象限是( ) A第一象限
5、B第二象限 C第三象限 D第四象限(5)若 P(2,2 )和 Q(m, )是反比例函数 图象上的两点,则一次函数 y=kx+m 的图象经过( ) A第一、二、三象限 B第一、二、四象限C第一、三、四象限 D第二、三、四象限(6)已知函数 和 (k0 ) ,它们在同一坐标系内的图象大致是( ) 4A B C D3函数的增减性(1)在反比例函数 的图象上有两点 , ,且 ,则 的值为( ) A正数 B负数 C非正数 D非负数(2)在函数 (a 为常数)的图象上有三个点 , , ,则函数值 、 、的大小关系是( ) A B C D (3)下列四个函数中: ; ; ; y 随 x 的增大而减小的函数有
6、( ) A0个 B1个 C2 个 D3个(4)已知反比例函数 的图象与直线 y=2x 和 y=x+1的图象过同一点,则当 x0时,这个反比例函数的函数值 y 随 x 的增大而 (填“增大”或“减小”) 注意, (3)中只有是符合题意的,而 是在“每一个象限内 ” y 随 x 的增大而减小4解析式的确定(1)若 与 成反比例, 与 成正比例,则 y 是 z 的( ) A正比例函数 B反比例函数 C一次函数 D不能确定(2)若正比例函数 y=2x 与反比例函数 的图象有一个交点为 (2,m) ,则 m=_,k=_,它们的另一个交点为_(3)已知反比例函数 的图象经过点 ,反比例函数 的图象在第二、
7、四象限,求 的值(4)已知一次函数 y=x+m 与反比例函数 ( )的图象在第一象限内的交点为 P (x 0,3) 5求 x 0的值; 求一次函数和反比例函数的解析式(5)为了预防“非典”,某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒 已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量 y (毫克)与时间 x (分钟)成正比例,药物燃烧完后,y 与 x 成反比例(如图所示) ,现测得药物8分钟燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克 请根据题中所提供的信息解答下列问题:药物燃烧时 y 关于 x 的函数关系式为_,自变量 x 的取值范围是_;药物燃烧后y 关于 x 的函数关系式为_研究表明,当空气中每立方米的
8、含药量低于1.6 毫克时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过_分钟后,学生才能回到教室; 研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?(3)依题意, 且 ,解得 (4)依题意, 解得一次函数解析式为 ,反比例函数解析式为 (5) , , ;30; 消毒时间为 (分钟) ,所以消毒有效5面积计算(1)如图,在函数 的图象上有三个点 A、B、C ,过这三个点分别向 x 轴、y 轴作垂线,过每一点所作的两条垂线段与 x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为 、 、 ,则( ) A B C D6第(1)题图 第
9、(2)题图(2)如图,A、B 是函数 的图象上关于原点 O 对称的任意两点,AC/y 轴,BC/x 轴,ABC 的面积 S,则( ) AS=1 B1 S2 CS=2 DS2(3)如图,RtAOB 的顶点 A 在双曲线 上,且 SAOB=3,求 m 的值第(3)题图 第(4)题图(4)已知函数 的图象和两条直线 y=x,y=2x 在第一象限内分别相交于 P1和 P2两点,过 P1分别作 x 轴、y 轴的垂线 P1Q1,P1R1,垂足分别为 Q1,R1,过 P2分别作 x 轴、y 轴的垂线 P2 Q 2,P2 R 2,垂足分别为 Q 2,R 2,求矩形 O Q 1P1 R 1和 O Q 2P2 R 2的周长,并比较它们的大小(5)如图,正比例函数 y=kx(k0 )和反比例函数 的图象相交于 A、C 两点,过 A 作 x 轴垂线交 x 轴于 B,连接 BC,若ABC 面积为 S,则 S=_第(5)题图