1、1动点轨迹问题一专题内容：求动点 的 轨迹方程实质上是建立动点的坐标 之间的关系式，首先要分析(, )Pxy , xy形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有：（1）等量 关系法：根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉（2）定义法：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义，可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程（3）转移代入法：如果所求轨迹上的点 是随另一个在已知曲线 ：(, )PxyC上的动点 的变化而变化，且 能用 表
2、示，即(,)0Fxy0(, )Mxy0, , xy， ，则将 代入已知曲线 ，化简后即为所求的0 fg0, ()0F轨迹方程（4）参数法：选取适当的参数（如直线斜率 等） ，分别求出动点坐标 与参数的关k, xy系式，得出所求轨迹的参数方程，消去参数即可（5）交轨法：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系） 注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！二相关试题训练（一）选择、填空题1 （ ）已知 、 是定点， ，动点 满足 ，则动点1F212|8FM12|8F的轨迹是 （A）椭圆 （B）直线 （C）圆 （
3、D）线段M2 （ ）设 ， ， 的周长为 36，则 的顶点 的轨迹方程是(0,5)(,)NPNP（A） （ ） （B） （ ）2169xyx21469xy0x（C） （ ） （D） （ ）25023与圆 外切，又与 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ；24xyy4P 在以 、 为焦点的双曲线 上运动，则 的重心 G 的轨迹方程是 1F22169x12FP；25已知圆 C： 内一点 ，圆 C 上一动点 Q， AQ 的垂直平2(3)16xy(3, 0)A分线交 CQ 于 P 点，则 P 点的轨迹方程为 214xy6ABC 的顶点为 、 ，ABC 的内切圆圆心在直线 上，则顶(5, 0)A(, )B3点
4、C 的轨迹方程是 ； （ ）2196xyx变式：若点 为双曲线 的右支上一点， 、 分别是左、右焦点，则P2196xy1F2的内切圆圆心的轨迹方程是 ；12F推广：若点 为椭圆 上任一点， 、 分别是左、右焦点，圆 与线段2159xy12 M的延长线、线段 及 轴分别相切，则圆心 的轨迹是 ；1P2PFM7已知动点 到定点 的距离比到直线 的距离少 1，则点 的轨迹方程M(3,0)A40x是 21y8抛物线 的一组斜率为 的平行弦的中点的轨迹方程是 2yxk（ ）4kx89过抛物线 的焦点 作直线与抛物线交于 P、Q 两点，当此直线绕焦点 旋转时，2yxF F弦 中点的轨迹方程为 PQ解法分析
5、：解法 1 当直线 的斜率存在时，PQ设 PQ 所在直线方程为 与抛物线方程联立，(1)ykx消去 得 2(),4ykx22240xk3设 ， ， 中点为 ，则有1(,)Pxy2(,)QP(,)Mxy消 得 2,(1).kyxk2(1)当直线 的斜率不存在时，易得弦 的中点为 ，也满足所求方程PQPQ(,0)F故所求轨迹方程为 2(1)yx解法 2 设 ， ，1(,)2,由 得 ，设 中点为 ，124.yx121212()4()yyxPQ(,)Mxy当 时，有 ，又 ，1212xPQMFyk所以， ，即 y2()y当 时，易得弦 的中点为 ，也满足所求方程12xP1,0故所求轨迹方程为 2()
6、yx10过定点 作直线交抛物线 于 A、B 两点, 过 A、B 分别作抛物线 C 的(, 4):C2yx切线交于点 M, 则点 M 的轨迹方程为_ 4（二）解答题1一动圆过点 ，且与圆 相内切，求该 动圆圆心 的轨迹方(0, 3)P22(3)10xy程（定义法）2过椭圆 的左顶点 作任意弦 并延长到 ，使 ，21369xy1A1EF1|EA为椭圆另一顶点，连结 交 于点 ，AOF2P求动点 的轨迹方程P（直接法、定义法；突出转化思想）F 1A 2A xyPEO43已知 、 是椭圆 的长轴端点， 、 是椭圆上关于长轴 对称的两1A221xyabPQ12A点，求直线 和 的交点 的轨迹 （交轨法）
7、1P2QM4已知点 G 是ABC 的重心， ，在 轴上有一点 M，满足(0,1) (,ABx， |MAC R（1）求点 C 的轨迹方程；（2）若斜率为 的直线 与点 C 的轨迹交于不同两点 P、 Q，且kl满足 ，试求 的取值范围|PQk解：（1）设 ，则由重心坐标公式可得 (,)xy(,)3xyG ，点 在 轴上， GMAB 0M ， ， ，即 |C(0,1)22()1()33xxy213xy故点 的轨迹方程为 （ ） （直接法）23xy（2）设直线 的方程为 （ ） ， 、 ， 的中点为 lkb11(,)Pxy2(,)QPN由 消 ，得 2,3.ykxby22(13)630xkb ，即 2
8、260kb21又 ， ，1223x1212226()313kbyxk5 223(,)1kbN ， ， ，即 ，|APQANP1ANk213bk ，又由式可得 ， 且 213kb20bb 且 ，解得 且 204213k1k3故 的取值范围是 且 k35已知平面上两定点 、 ， 为一动点，满足 (0,2)M(,)NPMPN（）求动点 的轨迹 的方程；（直接法）PC（）若 A、B 是轨迹 上的两动点，且 过 A、B 两点分别作轨迹 的切线， C设其交点为 ，证明 为定值QB解：()设 由已知 ， ， ,(,)Pxy(,2)MPxy(0,4)N(,2)Pxy48MN，3 分22()xy ，P 48y2
9、2()xy整理，得 即动点 的轨迹 为抛物线，其方程为 PC28xy6已知 O 为坐标原点，点 、 ，动点 、 、 满足 （(1,0)E(,)FAMN|AEmF） ， ， ， 求点 M 的轨迹 W 的方程1mMNAF2O/解： ， ，()A6 MN 垂直平分 AF又 ， 点 M 在 AE 上，/AE ， ，|2AmEF|AMF ，|2| 点 M 的轨迹 W 是以 E、F 为焦点的椭圆，且半长轴 ，半焦距 ，am1c 221bac 点 M 的轨迹 W 的方程为 （ ） 21xym77设 ， 为直角坐标系内 轴正方向上的单位向量，若向量,xyR,ij,xy， ， 且 (2)ai(2)bxij|8a
10、b（1）求点 的轨迹 的方程；（定义法）,MyC（2）过点 作直线 与曲线 交于 、 两点，设 ，是否存在这样的(0,3)lABOPAB直线 ，使得四边形 是矩形？若存在，求出直线 的方程，若不存在，试说明理lOAPBl由解：（1） ；216xy（2）因为 过 轴上的点 若直线 是 轴，则 两点是椭圆的顶点l(0,3)ly,AB，所以 与 重合，与四边形 是矩形矛盾OPABPOP故直线 的斜率存在，设 方程为 ， ll3ykx12(,)(,)yx由 消 得 此时23,16ykxy2(4)80, 恒成立，且 ，22(8)()kk0122843kx，12243x，所以四边形 是平行四边形OPABO
11、APB若存在直线 ，使得四边形 是矩形，则 ，即 l 0OAB，12(,)(,)xyxy 10AB即 212()3()9kxx ，得 2228)443k02516k54k故存在直线 ： ，使得四边形 是矩形l5yxOAPB88如图，平面内的定点 F 到定直线 l 的距离为 2，定点 E 满足： =2，且 于|FElG，点 Q 是直线 上一动点，点 M 满足： ，点 P 满足： ，l Q/0PMF（I）建立适当的直角坐标系，求动点 P 的轨迹方程；（II）若经过点 E 的直线 与点 P 的轨迹交于相异两点 A、 B，令 ，当1l F时，求直线 的斜率 的取值 范围34k解：（1）以 的中点 为原
12、点，以 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系 ，FGOEFyxoy设点 ，(,)Pxy则 ， ， 0 , 3E:1ly ， ， ， FMQ/F(,)x(, 0)2xM ， ，0P)2y即所求点 的轨迹方程为 4x（2）设点 )(,),(2121xyBxA设 AF 的斜率为 ，BF 的斜率为 ，直线 的方程为 kk1l3kxy 9由 6分 yxk432 01242kx得7 分 121x 9)4(21212xy8 分64)(12kky )1(),(, 2122 yxFBAyxFBxA8416912k)(|1y又 16491)( 22212 kky10 分464|cos 22kFBA由于 11 分43
13、 21cos12即解得 13 分22kk 448k或直线 斜率 k 的取值范围是1l ,8|4或9如图所示，已知定点 ，动点 在 轴上运动，过点 作 交 轴于点 ，(1, 0)FPyPMx并延长 到点 ，且 ， MPN|MN（1）求动点 的轨迹方程；（2）直线 与动点 的轨迹交于 、 两点，若 ，且 ，l AB4OAB6|430AB求直线 的斜率 的取值范围k解：（1）设 ，由 得 ，(,)Nxy|PN(,0)x， ， ，(0, )2P2M1,2yF又 ， ，即动点 的轨迹方程为F04yx24yx（2）xyoMNPF1010已知点 ，点 在 轴上，点 在 轴上， 为动点，满足 ，(0, 1)F
14、MxNyP0MNFMNP（1）求 点轨迹 的方程；E（2）将（1）中轨迹 按向量 平移后得曲线 ，设 是 上任一点，过 作(0, 1)aEQQ圆 的两条切线，分别交 轴与 、 两点，求 的取值范围2()1xyxAB|A解：（1）设 、 、 ，则 、 、, 0M(, )Nb(,)Py(,)MNab(, 1)Fa()Pxay由题意得 ，, (, 1)0,().bxay20, xaby214x故动点 的轨迹方程为 P24（2）11如图 和 两点分别在射线 、 上移动，且 ，(,3)Am(,3)BnOST12OAB为坐标原点，动点 满足 OPOAB（1）求 的值； （2）求 点的轨迹 的方程，并说明它表示怎样的曲线？n C（3）若直线 l 过点 交（2）中曲线 于 、 两点，且 ，求 的方(, 0)EMN3ENl程 解：（1）由已知得，1(,3)(,)2OABmnmn 14O A P B x y
