1、近年来，对于三角形的“四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考察很普遍，难度上偏向中等，只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如.下面就平面向量和三角形的“四心”问题的类型题做一阐述：一、 重心问题三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重心”就在中线上.例 1 已知 O 是平面上一 定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足：，则 P 的轨迹一定通过ABC的 （ ） 外心 内心 C 重心 D 垂心解析：如图 1，以 AB，AC 为邻边构造平行四边形 ABCD，E 为对角线的交点，根据向量平行四边形法则 ，因为 ，所以，上式可化为 ， E 在直线 AP 上，因为
2、 AE 为 的中线，所以选 C.点评：本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合.二、 垂心问题三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上.例 2 P 是ABC 所在平面上一点，若 ，则 P 是ABC 的（ ）.A外心 B内心 C重心 D垂心解析:由 .即 .则 ，所以 P 为 的垂心. 故选 D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合.三、 内心问题三角形“内心”是三
3、角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上.例 3 已知 P 是ABC 所在平面内的一动点，且点 P 满足，则动点 P 一定过ABC 的 .A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心解析：如图 2 所示，因为 是向量 的单位向量设 与 方向上的单位向量分别为 ， 又 ，则原式可化为 ，由菱形的基本性质知 AP 平分 ，那么在 中，AP 平分 ，则知选 B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先 是什么？想想一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁
4、移到一起，这道题就迎刃而解了.四、 外心问题三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线线上.例 4 已知 O 是ABC 内的一点，若 ，则 O 是ABC 的 .A重心 B.垂心 C.外心 D.内心解析： ，由向量模的定义知 到 的三顶点距离相等.故 是 的外心 ，选 C.点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合三角形的“四心”与平面向量 向量本身是一个几何概念，具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合，而且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点，因此可称为高中数学的一个交汇点。三角形的“四心” （外心、内心、重心、垂心）
5、是与三角形有关的一些特殊点，各自有一些特殊的性质。在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。这就需要我们在熟悉向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有： 设 ，则向量 必平分BAC，该向量必通过ABC 的内心; ,0)(ACB 设 ，则向量 必平分BAC 的邻补角, )( 设 ，则向量 必垂直于边 BC，该向量必通过,0 )coscs(CABABC 的垂心 ABC 中 一定过 的中点，通过ABC 的重心ACB 点 是ABC 的外心 O22OB 点 是ABC 的重心 0C 点 是ABC 的垂心 AA 点 是ABC 的内心 (
6、其中 a、b、c 为ABC 三边)OOcBba ABC 的外心 、重心 、垂心 共线，即 GHGH 设 为ABC 所在平面内任意一点，G 为ABC 的重心， ，I 为ABC 的内心，则有 )(31CBA cbaCAI并且重心 G（ ， ） 内心 I（ ，XA+XB+XC3 YA+YB+YC3 aXA+ bXB+ cXCa+b+c）ayA+ byB+ cyCa+b+c例 1：（2003 年全国高考题） 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三点，O动点 P 满足 ， ，则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的)(AO,0（ ）（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 事实上如图设 都是单
7、位向量,AECF易知四边形 AETF 是菱形 故选答案 B例 2：（2005 年北京市东城区高三模拟题） 为ABC 所在平面内一点，如果O，则 O 必为ABC 的（ ）ACOBA（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 A FE CTB事实上 OBCA 00)( OBCAOACBOA故选答案 D例 3：已知 O 为三角形 ABC 所在平面内一点，且满足，则点 O 是三角形 ABC 的（ ）2222 BC（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 事实上由条件可推出 故选答案 DACA例 4：设 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三点， O动点 P 满足 ， ，则动点 P 的
8、轨迹一定)coscs(AB,0通过ABC 的（ ）（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 事实上 故选答案 D0)()coscs( BCCA例 5、已知向量 满足条件 ，123,OP123OP，求证： 是正三角形123|OP12分析 对于本题中的条件 ，容易想到，点 是3|O的外心，而另一个条件 表明，点 是 的重123 120OP123P心故本题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一定是正三角形在 1951 年高考中有一道考题，原题是：若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？与本题实质是相同的 显然，本题中的条件 可改为 123|1OP123|
9、OP高考原题例 6、O 是平面上一 定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足则 P 的轨迹一定通过ABC 的（ ()0,).|ABCOP） A外心 B内心 C重心 D垂心分析 已知等式即 ，设 ，显然()|AP,|ABCEF都是单位向量，以二者为邻边构造平行四边形，则结果为菱形，故,EF为 的平分线，选 APBCB例 7、 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H，则实数 m = ()OHm分析：本题除了利用特殊三角形求解外，纯粹利用向量知识推导则比较复杂，更加重要的一点是缺乏几何直观解法如下，由已知，有向量等式，将其中的向量分解，向已知等式形式靠拢，有0ABC，将已知代
10、入，有()()0OH，即 ，由()0mOACB2()(10mOCBOABC是外心，得 ，由于 是任意三角形，则 不恒为(1)A，故只有 恒成立或者，过点 作 与 ，则 是 的中点，有MBB； 是垂心，则 ，故 与 共线，设1()2OMBCHCHOM，则 ，又AHk()2kOA，故可得()m，有1)(02kBmC，得 0k1根据已知式子 中的()OHAO GHB CAFTEDO图 部分，很容易想到三角形的重心坐标公式，设三角形的重心为 ，OABC G是平面内任一点，均有 ，由题意，题目显然叙述的是一3OABCG个一般的结论，先作图使问题直观化，如图，由图上观察，很容易猜想到，至少有两个产生猜想的
11、诱因，其一是， 均与三角形的边2HGO ,FOT垂直，则 ；其二，点 是三角形的中线 的三等分点此时，会AC/BFTB先猜想 ，但现在缺少一个关键的条件，即 ，这样由G 2H两个三角形的两边长对应成比例，同时，夹角对应相等可得相似当然，在考试时，只需大胆使用，也可利用平面几何知识进行证明本题结论是关于三角形的欧拉定理，即设 O、G、H 分别是ABC 的外心、重心和垂心，则 O、G、H 三点共线，且 OGGH12，利用向量表示就是3例 8、点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点，满足，则点 O 是 的（ ） ABCAABCA三个内角的角平分线的交点 B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点
12、 D三条高的交点分析 移项后不难得出，点 O 是 的垂心，0OBACBAABC选 D3 推广应用题例 9 在 内求一点 ，使 最 ABCP22ABCP小分析 如图，构造向量解决取 为基向量，设 ，有,abCPx,APxaBb C P 图 A B 于是，22222 211()()3()()3APBCxabxabab当 时， 最小，此时，即 ，13xbAPBCOPABOC则点 为 的重心例 10 已知 为 所在平面内一点，满足O，则 为 的 心22222|ABCAB分析 将 ， 也类似展|()OCA2|,|CB开代入，已知等式与例的条件一样也可移项后，分解因式合并化简， 为O垂心例 11 已知 为
13、 的外心，求证：O ABsinsinsin0ABCCO分析 构造坐标系证明如图，以 为坐标A原点， 在 轴的正半轴， 在 轴的上方xx，直线 的方程是201AOBSy，由于点 与点 必在直333()yxxAO线 的同侧，且 ，因此有C20y，得0303xyx320201()BOCSyxy直线 的方程是 ，由于点 与点 必在直线 的同侧，A3(1,0)OAC且 ，因此有 ，得 31yx030xy030()2ACSxy于是，容易验证， ，又BOCOOBAS ，|sin2BOCS， ，又1|A 1|sin2AOCAC，则所证成立| y A 00(,)Oxy x 22(,)Bxy 图 33(,)Cxy
14、 总结：知识综述（一）三角形各心的概念介绍1、重心三角形的三条中线的交点；2、垂心三角形的三条垂线的交点；3、内心三角形的三个内角角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）；4、外心三角形的三条垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心）根据概念，可知各心的特征条件比如：重心将中线长度分成 2：1；垂线与对应边的向量积为 0；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等（二）三角形各心的向量表示1、 O 是 的重心 ；ABC0OCBA2、 O 是 的垂心 ；A3、 O 是 的外心 (或 )；| 22OCB4、 O 是 的内心ABC |(|()|( AACAB )|CB；0注意：向量 所在直线过 的内心(是 的角平分线所在直）（ 0)(B线)
