1、平面向量 一、知识温故1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：用有向线段表示；用字母 a、 b等表示；平面向量的坐标表示：分别取与x轴、 y轴方向相同的两个单位向量 i、 j作为基底。任作一个向量 a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 x、 ，使得 axy， ),(叫做向量 的（直角）坐标，记作 (,)axy，其中x叫做 a在 轴上的坐标， 叫做 在 轴上的坐标， 特别地， i(1,0)， j1， 0,。2y；若 ),(1yxA， ),(2yB，则 212,yxA，221()ABx3.零向量、单位向量：长度为 0 的向量叫零向量，记为 0；
2、 长度为 1 个单位长度的向量，叫单位向量.（注： |a就是单位向量）4.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定 0与任一向量平行.向量 a、 b、c平行，记作 b c.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.6.向量的加法、减法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。向量的减法向量 a加上的 b相反向量，叫做 a与 b的差。即： ab= + ()；差向量的意义： OA= , B= , 则 A= 平面向量的坐标运算：若 1(,)axy， 2(,)bxy，则 ab),(2121yx， ab
3、),(2121yx， 。向量加法的交换律： a+b= + ；向量加法的结合律：( + ) +c= + ( + )7实数与向量的积：实数 与向量的积是一个向量，记作： a（1）| a|=| |；（2）0 时 a与 方向相同；0.(1)求向量 c;(2)若映射 f:(x,y)(x 1,y1)=xa+yc,求映射 f 下(1,2)的原象.16设 O 是ABC 的外心，H 是三角形内一点，且 ,求证：H 是ABC 的垂心.OCBAH例题参考答案：例 1：解：如图，将 A 放在坐标原点，则 B 点坐标为(2,1)，C 点坐标为(3,k)，所以 C 点在直线 x=3 上，由图知，只可能 A、B 为直角，C
4、 不可能为直角所以 k 的可能值个数是2，选 B点评：本题主要考查向量的坐标表示，采用数形结合法，巧妙求解，体现平面向量中的数形结合思想。例 2：解：过 C 作 OA与 的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角BOC=90角 AOC=30， = 32得平行四边形的边长为 2 和 4， 2+4=6例 3：解：(a+2b) (1,)(,4)(5,6)，(a+2b)c (5,6)3，选 C例 4：解：由 a b，得 m 4，所以， ba32（2，4）（6，12）（4，8） ，故选（C） 。例 5：解：由于 ,1,a 4320，即101，选例 6：解:aAO2,baODA2,babaADOE4
5、1212)( ,由A、E、F 三点共线 ,知 1,EF而满足此条件的选择支只有 B，故选 B.例 7：解： 22 2550abab=221510349， 5ab7例 8：解：由定比分点的向量式得:,13ACBDA同理，有：12,3BECA12,3F以上三式相加得ADB所以选 A.例 9：解：(1) 2()23sincos1fxxx3sin2cosx2in()6x. 所以，T . (2) 由 ()1,f得i6，,6， 7,65 3x例 10：解：（1）sintan3737coC，又 22sincos1C 解得1cos8Cta0C， 是锐角18（2）由52BA， 5cos2abC， 20ab 9b
6、2281ab241ab 236 c例 11：解： 由向量平移的定义，在平移前、后的图像上任意取一对对应点 ,Pxy， ,，则24，a ,Pxy ,24xy，代入到已知解析式中可得选例 12：解：（I）由已知条件： 20， 得： 22)sin3(i)cos3()sin3i,2cos3( xxxxba in2（2） 2sin32cos3si)( xxxf x2cosi3)1(i1ini2因为：0x，所以： si0x所以，只有当： 2x时， 23)(maxf ，或 1时， 1)(minf例 13：解：以直角顶点 A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系。设|AB|=c，|AC|=b，则 A（0， 0） ，B （c，0） ，C （0，b）.且|PQ|=2a ，|BC|=a. 设点 P 的坐标为（x，y） ，则 Q（-x，-y ） ， .2），（） ，（） ，（） ，（ QbcBCyxQyxP .|os.)()()( 22 abcccCB cx-by=a2cos. P=- a2+ a2cos.故当 cos =1，即 =0（ PB与 方向相同）时， BPC的值最大，其最大值为 0.
