1、1第四篇 无穷级数第七章 无穷级数 无穷级数是高等数学课程的重要内容，它以极限理论为基础，是研究函数的性质及进行数值计算方面的重要工具. 本章首先讨论常数项级数，介绍无穷级数的一些基本概念和基本内容，然后讨论函数项级数，着重讨论如何为将函数展开成幂级数和三角级数的问题，最后介绍工程中常用的傅里叶级数.第 1 节 常数项级数的概念与性质1.1 常数项级数的概念一般的，给定一个数列 ,321nu则由这数列构成的表达式 nu321叫做（常数项）无穷级数 简称（常数项）级数 记为 即1nu 321nu其中第 项 叫做级数的一般项nu作级数 的前 项和1n nni uus 321称为级数 的部分和 当
2、n 依次取 1,2,3时，它们构成一个新的数列1nu， ， ，1su2123123su，.nn根据这个数列有没有极限，我们引进无穷级数的收敛与发散的概念。定义 如果级数 的部分和数列 有极限 即 则称无穷级数1nunssnlim2收敛 这时极限 叫做这级数的和 并写成1nus 321nn uu如果 没有极限 则称无穷级数 发散ns1n当级数 收敛时 其部分和 是级数 的和 的近似值 它们之间的差值1nuns1nus2nnnr叫做级数 的余项1nu例 1 讨论等比级数（几何级数） (a0)的敛散性nq0解 如果 则部分和qqaqaaqs nnnn 11 2当 时 因为 所以此时级数 收敛 其和为
3、 1qn1limn0当 时 因为 所以此时级数 发散 nsli naq0如果 则当 时 因此级数 发散 1qnan0当 时 级数 成为nq0a因为 随着 为奇数或偶数而等于 或零 所以 的极限不存在 从而这时级数ns ns发散 naq03综上所述 如果 则级数 收敛 其和为 如果 则级数1qnaq0qa11发散 naq0例 2 判别无穷级数 的收敛性 1)ln(解 由于nnun l)1(l)l(因此,)1(ln)(l )l34()l23()1l2(n s而 ，故该级数发散.nSlim例 3 判别无穷级数 的收敛性 1)(n解 因为 ,1)(nun所以 )( 4321sn11 )( n从而)(l
4、imlinsn所以这级数收敛 它的和是 1 1.2 收敛级数的基本性质根据无穷级数收敛、发散的概念，可以得到收敛级数的基本性质.性质 1 如果级数 收敛于和 s 则它的各项同乘以一个常数 k所得的级数 也1nu 1nku收敛 且其和为 ks证明 设 与 的部分和分别为 与 则1nnns,) (limli21kuk ksunnlim) (lim214这表明级数 收敛 且和为 1nkuks性质 2 如果级数 、 分别收敛于和 、 则级数 也收敛 且其和1nnvs)(1nvu为 s证明 如果 、 、 的部分和分别为 、 、 ， 则1nunv)(1nvunsn)( )(limli 2vu11 nnnu
5、s)(li性质 3 在级数中去掉、加上或改变有限项 不会改变级数的收敛性 比如 级数 是收敛的;)1( 4312n级数 也是收敛的; 0级数 也是收敛的)( 5性质 4 如果级数 收敛 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛 且其和1nu不变 应注意的问题 如果加括号后所成的级数收敛 则不能断定去括号后原来的级数也收敛 例如 级数（11)+（11) + 收敛于零 但级数 1111 却是发散的 推论 如果加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散性质 5 如果 收敛 则它的一般项 趋于零 即 1nunu0limnu证明 设级数 的部分和为 且 则1nnssnli0lili)(limli 110
6、 sun注 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件 例 6 证明调和级数 321nn是发散的 5证明 假若级数 收敛且其和为 是它的部分和 1nsn显然有 及 于是 snlim2li 0)(lim2但另一方面 21 1 12 nnnn故 矛盾 这矛盾说明级数 必定发散 0)(li2nns1习题 7-11. 写出下列级数的前四项:（1） ； （2） .1!n 121)()(nn2. 写出下列级数的一般项（通项）:（1） ； （2） ；842 975354aa（3） . 7153. 根据级数收敛性的定义，判断下列级数的敛散性:（1） ; （2） .ln 6sin2si6in4. 判断下列级数的
7、敛散性:（1） ; （2） ;3n n31931（3） （4） .12n 2)(2n6第 2 节 常数项级数的收敛法则2.1 正项级数及其收敛法则现在我们讨论各项都是正数或零的级数，这种级数称为正项级数.设级数 （7-2-1 ） nuu321是一个正项级数，它的部分和为 .显然，数列 是一个单调增加数列，即：nss n21如果数列 有界，即 总不大于某一常数 ，根据单调有界的数列必有极限的准nsnsM则，级数（7-2-1）必收敛于和 ，且 . 反之，如果正项级数（7-2-1 ）收敛于和sn.根据有极限的数列是有界数列的性质可知，数列 有界. 因此，有如下重要结论：s n定理 1 正项级数 收敛
8、的充分必要条件是它的部分和数列 有界1nu ns定理 2 (比较审敛法) 设 和 都是正项级数 且 若级数1nnvnuv),21(收敛 则级数 收敛 反之 若级数 发散 则级数 发散1nv1nu1n1n证明 设级数 收敛于和 则级数 的部分和1nv1nu),21(232 nvus n即部分和数列 有界 由定理 1 知级数 收敛 n1nu反之 设级数 发散 则级数 必发散 因为若级数 收敛 由上已证明的1nu1nv1nv结论 将有级数 也收敛 与假设矛盾1n7推论 设 和 都是正项级数 如果级数 收敛 且存在自然数 N 使当1nunv1nv时有 成立 则级数 收敛 如果级数 发散 且当 时Nn)
9、0(kn1nu1nn有 成立 则级数 发散)(kvun1n例 1 讨论 p级数 1 4321 pppn n的收敛性 其中常数 0p解 设 这时 而调和级数 发散 由比较审敛法知 当 时级数1n1n 1p发散 pn1设 此时有 111 )(pnpnpp ndx ),32(对于级数 其部分和12)(pnn11111 )()( 32 pppppn nns因为 所以级数 收敛 从而根据比较)(limli 1pnn 12)(pn审敛法的推论 1 可知 级数 当 时收敛 pn1综上所述 p级数 当 时收敛 当 时发散pn11p例 2 证明级数 是发散的 1)(n8证明 因为 而级数 是发散1)()1(2n
10、n 1 321nn的 根据比较审敛法可知所给级数也是发散的定理 3 （比较审敛法的极限形式)设 和 都是正项级数 如果 则级数 和级数1nunv )0(limlvun 1nu同时收敛或同时发散 1nv证明 由极限的定义可知 对 存在自然数 N 当 时 有不等式l21n lvuln21即 . nnlvul231再根据比较审敛法的推论 1 即得所要证的结论例 3 判别级数 的收敛性 sin解 因为 而级数 发散 根据比较审敛法的极限形式 级数1ilm n1n发散1sin用比较审敛法审敛时，需要适当地选取一个已知其收敛性的级数 作为比较的基1nv准.最常选用做基准级数的是等比级数和 p级数.定理 4
11、 (比值审敛法 达朗贝尔判别法) 若正项级数 的后项与前项之比值的极限1nu等于 ，即nu1lim则当 时级数收敛当 (或 )时级数发散 当 时级数可能收敛也11n1li 1可能发散9例 4 判别级数 收敛性 1!n解 因为10lim !1)(li lim 1 nnun根据比值审敛法可知，所给级数收敛例 5 判别级数 的收敛性13!n解 因为,31lim 3!)1(li lim 1 nnunn根据比值审敛法可知,所给级数发散定理 5 (根值审敛法 柯西判别法 )设 是正项级数 如果它的一般项 的 n 次根的极限等于 ，即1nuunlim则当 时级数收敛 当 (或 )时级数发散 当 时级数可能收
12、敛1u1也可能发散定理 6（极限审敛法）设 为正项级数，1n（1）如果 （或 ） ，则级数 发散；0limlun nuli 1nu（2）如果 ，而 （ ） ，则级数 收敛.1plnplil1n证明 （1）在极限形式的比较审敛法中，取 ，由调和级数 发散，知结论vn1n成立.（2）在极限形式的比较审敛法中，取 ，当 时，p级数 收敛，pnv11np10故结论成立.例 6 判定级数 的收敛性.)1ln(12解 因 ，故)l(2，1lim)1ln(ilim222 nunn根据极限审敛法，知所给级数收敛.2.2 交错级数及其审敛法则下列形式的级数 ,4321uu称为交错级数. 交错级数的一般形式为 其中 nn1)(0n定理 7（莱布尼茨定理）如果交错级数 满足条件 nnu1)(1) 1(,23)nu(2) 0lim则级数收敛 且其和 其余项 的绝对值 1usnr1nur证明 设前 项部分和为 ，由n,)()()( 2143212 nns 及，nnn uuuu 212543212 )()()(看出数列 单调增加且有界 所以收敛 s1sn设 则也有 所以 ，)(2n )(122 sn )(sn从而级数是收敛的 且 1us因为 |也是收敛的交错级数 所以 .21nnr 1nur2.3 绝对收敛与条件收敛
