1、高等数学（上）期末复习要点第 1 页 共 9 页高等数学上册复习要点、 函数与极限、 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数；4、 函数的连续性与间断点；函数 在 连续 )(xf0 )()(lim00xffx第一类：左右极限均存在.间断点 可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在.无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.、 极限1、 定义1、 数列极限 axNnax nn , , ,0lim2
2、、 函数极限 AxfxxAxfx )( 0 , ,0)(li 00 使使左极限： 右极限：)(lim)(00xffx )(lim)(00ffx高等数学（上）期末复习要点第 2 页 共 9 页)()( )(lim000 xffAxfx使2、 极限存在准则1、 夹逼准则：1） )(0nzxynn2） annlimli axnlim2、 单调有界准则：单调有界数列必有极限.3、 无穷小（大）量1、 定义：若 则称为无穷小量；若 则称为无穷大量.0limlim2、 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、 阶无穷小kTh1 ;)(oTh2 （无穷小代换） limli lim,使4、 求极限的方
3、法1、 单调有界准则；2、 夹逼准则；3、 极限运算准则及函数连续性；4、 两个重要极限：a) b) 1sinlm0xx exxxx )1(lim)1(li05、 无穷小代换：（ ）0a) xxxx arctnarcsintnsib) 21co1高等数学（上）期末复习要点第 3 页 共 9 页c) （ ）xex1axaxln1d) （ ）)ln(xal)(loge) xx1、 导数与微分、 导数1、 定义： 00)()(lim)(0xffxfx左导数： 00)()(li)(0fffx右导数： 00)()(li)(0xfffx函数 在 点可导xf )()(0xff2、 几何意义： 为曲线 在点
4、处的切线的斜率.)(0y)(,0f3、 可导与连续的关系：4、 求导的方法1、 导数定义；2、 基本公式；3、 四则运算；4、 复合函数求导（链式法则）；5、 隐函数求导数；6、 参数方程求导；7、 对数求导法.5、 高阶导数高等数学（上）期末复习要点第 4 页 共 9 页1、 定义： dxydxy22、 Leibniz 公式： nkknkvuCuv0)()(、 微分1、 定义： ，其中 与 无关.)()()(00 xoAxfxfy Ax2、 可微与可导的关系：可微 可导，且dffdy)(00、 微分中值定理与导数的应用、 中值定理1、 Rolle 罗尔 定理：若函数 满足：)(xf1） ；
5、2） ； 3） ；,)(baCxf),(baD)()(bfaf则 .0)()f使2、 Lagrange 拉格朗日中值定理：若函数 满足：)(xf1） ； 2） ；,)(baCxf,()(baDxf则 .) af使3、 Cauchy 柯西 中值定理：若函数 满足：(,xF1） ； 2） ；3）,)(,baCxFf),)(,bDxf),(,0)(baxF则 )()(, Fffba使、 洛必达法则、 Taylor 公式高等数学（上）期末复习要点第 5 页 共 9 页、 单调性及极值1、 单调性判别法： ， ，则若 ，则,)(baCxf),()(baDxf0)(xf单调增加；则若 ，则 单调减少.)(
6、xf 0)(f2、 极值及其判定定理：a) 必要条件： 在 可导，若 为 的极值点，则 .)(xf00x)(f 0)(xfb) 第一充分条件： 在 的邻域内可导，且 ，则若当0)(xf时， ，当 时， ，则 为极大值点；若当0x)(xf 0x)(f时， ，当 时， ，则 为极小值点；若在0x0x的两侧 不变号，则 不是极值点 .0x)(xf 0xc) 第二充分条件： 在 处二阶可导，且 ， ，则)(0xf 0)(xf若 ，则 为极大值点；若 ，则 为极小值点.0)(xf0x3、 凹凸性及其判断，拐点1） 在区间 I 上连续，若 ，则称 在)(xf 2)()()2( , 1121 xffxfIx
7、 )(xf区间 I 上的图形是凹的；若 ，则称 在)()()( , 21121 fffI)(f区间 I 上的图形是凸的.2）判定定理： 在 上连续，在 上有一阶、二阶导数，则)(xf,ba),(baa) 若 ,则 在 上的图形是凹的；0)(,fxfb) 若 ,则 在 上的图形是凸的.(xx)(,3）拐点：设 在区 间 I 上连续， 是 的内点，如果曲线 经过)fy0x)(f )(xfy点 时，曲 线 的凹凸性改变了，则称点 为曲线的拐点.(,00x )(,00xf、 不等式证明高等数学（上）期末复习要点第 6 页 共 9 页1、 利用微分中值定理；2、 利用函数单调性；3、 利用极值（最值）.
8、、 方程根的讨论1、 连续函数的介值定理；2、 Rolle 定理；3、 函数的单调性；4、 极值、最值；5、 凹凸性.、 渐近线1、 铅直渐近线： ，则 为一条铅直渐近线；)(limxfax ax2、 水平渐近线： ，则 为一条水平渐近线；by、 不定积分、 概念和性质1、 原函数：在区间 I 上，若函数 可导 ，且 ，则 称为)(xF)()(xfF )(xF的一个原函数.)(xf2、 不定积分：在区间 I 上，函数 的带 有任意常数的原函数称为 在区)(xf )(xf间 I 上的不定积分.3、 基本积分表（P188，13 个公式）；4、 性质（线性性）.高等数学（上）期末复习要点第 7 页
9、共 9 页、 换元积分法1、 第一类换元法（凑微分）： )()(d)( xudfxxf 2、 第二类换元法（变量代换：三角代换、倒代换、根式代换等）： )(1d)()( xttfdxf 、 分部积分法： （反对幂指三，前 U 后 V）vuuv、 有理函数积分1、“拆”；2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.、 定积分、 概念与性质：1、 定义： ni iiba xfdxf10)(lm)(2、 性质：（7 条）性质 7 （积分中值定理） 函数 在区间 上连续，则 ，使)(xf,ba,ba（平均值： ）)()(abfdxfba abdxff)()(、 微积分基本公式（NL 公式）1、 变上
10、限积分：设 ，则xadtf)()( )()(xf高等数学（上）期末复习要点第 8 页 共 9 页推广： )()()()( xfxfdtfdx 2、 NL 公式：若 为 的一个原函数，则F)(xf )()()(aFbdfba、 换元法和分部积分1、 换元法： ttfdxfba d)()(2、 分部积分法： babba vuuv、 反常积分1、 无穷积分： tata dxfdxf )(lim)(bttb ff )(li)( 00 )()()( dxfdxfdxf2、 瑕积分：（a为瑕点）btatba dxfdxf )(lim)(（b为瑕点）tabtba ff )(li)(两个重要的反常积分：1) 1 , ,d1paxap高等数学（上）期末复习要点第 9 页 共 9 页2) 1 , ,1)()(d)(d qabxbax qaqbaq
