1、-_集合问题中常见易错点归类分析有关集合问题，涉及范围广，内容多，难度大，题目灵活多变初学时，由于未能真正理解集合的意义，性质，表示法或考虑问题不全，而造成错解本文就常见易错点归纳如下： 1代表元素意义不清致误例 1 设集合 A（ , y） 2 y5 ，B （ , y） 2 y3 ，求 AxxB 错解： 由 得 从而 A B1，2 3251x分析 上述解法混淆了点集与数集的区别，集合 A、B 中元素为点集，所以 A B(1，2)例 2 设集合 Ayy 1， R ，Bxy 2，求 2xx错解： 显然y 所以 AB=B x分析 错因在于对集合中的代表元素不理解，集合 A 中的代表元素是 y，从而A
2、 1，但集合 B 中的元素为 , 所以 B 0 ，故 AB=A 变式：已知集合 ，集合 |2y，求1|2y B解： ，|2xy Rx|1|BA例 3 设集合 , ，判断 A 与 B 的关系。062x06|2xB错解： 3，分析：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。元素的属性可以是方程，可以是数，也可以是点，还可以是集合等等。集合 A 中的元素属性是方程，集合 B 中的元素属性是数，故 A 与 B 不具包含关系。例 4 设 B1,2，A x|x B ，则 A 与 B 的关系是 ( )AAB BBA CAB DBA错解：B分析：选 D.B 的子集为1，2，1,2，Ax|xB
3、1，2 ，1,2， ，从集合与集合的角度来看待 A 与 B，集合 A 的元素属性是集合，集合 B 的元素属性是数，两者不具包含关系，故应从元素与集合的角度来看待 B 与，BA.评注：集合中的代表元素，反映了集合中的元素所具有的本质属性，解题时应认真领会，以防出错 2 忽视集合中元素的互异性致错例 5 已知集合 A=，3， ，B=， , 且 A B，求 的值a2aa-_错解：经过分析知，若 则 即 或 若2a,312a,01a22a则 即 从而 ， ,1a2,0分析 当 时，A 中有两个相同的元素 1，与元素的互异性矛盾，应舍去，故，例 6 设 （）， R ，求中所有元素之2x和错解：由 （）得
4、 （） （）2（）当时， 1 x 2 ，此时中的元素之和为（）当 时， 1 x 2 分析 上述解法错在（）上，当时，方程有二重根，集合 ，故元素之和为，犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性” 因此，在列举法表示集合时，要特别注意元素的“互异性” 评注：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。 忽视空集的特殊性致误例 7 若集合 Ax| x2x 60 ，Bx|mx10，且 B A，求实数 m 的值错解：A x|x2x 60 3,2B A，
5、（） 3mx10 的解为3，由 m(3) 10，得 m ；13（） 2Bmx10 的解为 2，由 m210，得 m ；12综上所述， 或3分析：空集是任何集合的子集，此题忽略了 的情况。B正解：A x|x2x 60 3,2B A，（） ，此时方程 无解，01mx0m（） 3mx10 的解为3，由 m(3) 10，得 m ；13（） 2B-_mx10 的解为 2，由 m210，得 m ；12综上所述， 或 或30例 8 已知 ， ，若 ，求4|2xA 01)(2|2axxBAB的取值范围。解： ,|x（） ， ，即B0)1(8)()1(2aa（） ，方程 有两等根42x由 得 ，所以无解0)(8
6、1607或（） ，方程 有两等根01)(22ax由 得 ，所以02a1a（） ，方程 有两不等根，,4B)(22x由 得 ，所以10)(2a1aa综上所述， 或 例 9 已知集合 ， ，若 ，求的4|xA或 32|axBAB取值范围。解：（） ， 得B32a（） ，则或 得 或13a432综上所述 或 a例 已知集合 ， ，若 ，41|xA或 1|axBBA求的取值范围。解：（1） ，则 ，符合题意B0（2） ，则241aa综上所述， 2变式：已知集合 ， ，若 ，求|xA或 1|axBBA的取值范围。解：当 时，Ba所以当 时，评注：对于任何集合，皆有 ， ， 的特殊性不容忽-_视尤其是在解
7、含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。忽视端点值能否取得致误例 11 已知集合 A，或， ，a若，求 得取值范围a错解：由得 ，或 ，解得 ，或 a分析 ：上述解法忽视了等号能否成立，事实上，当 时，不符合题意；当时，符合题意，故正确结果应为 ，或 a评注：在求集合中字母取值范围时，要特别注意该字母在取值范围的边界能否取等号，否则会导致解题结果错误忽视隐含条件致误例 12 设全集， ， ， ，2aa ，ACU求实数 的值a错解： ， 且 ，从
8、而， ，解得U2a，或 分析 导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为是全集，所以 当时， ，符合题意；当 时， ，aa 不符合题意；故 评注：在解有关含参数的集合时，需要进行验证结果是否满足题设条件，包括隐含条件6、忽视补集的含义致错例 13 已知全集 ，集合 ，集合 ，则下列关RI0|2xM1|xN系正确的是（ ）A. B. C. D. 错解： 的补集为 ，故选 C。1|xN1|xNCI-_剖析：本题错误地认为 的补集为 。事实上0)(|xfA0)(|xfACI对于全集 ，由补集的定义有 ，但RIRI，即为 的定义域。)(|0)(|0)(| xxfxfxf 有 意 义 ，使 )(xf所以只
9、有当 的定义域为 R 时才有 的补集为0)(|fA，否则先求 A，再求 。)(|xfACI CI正解： ，所以10|1|1| xxN或，而 ，应选 A0|xI |M7、考虑问题不周导致错误例 14 已知集合 只有一个元素，求 a 的值和这个元,04|2 RaxaxA素。解：（1） ，由 得 ，此时 符合题意0411A（2） 得 ，此时 符合题意16a2综上所述， 或0一、对代表元素理解不清致错。例 1. 已知集合 Rx,16xy|B,Rx,2y|A2 ，求 BA。错解 1：令 ,16x2得 ，所以 8BA,。错解 2：令 ，得 2x，所以 ,2,y。剖析：用描述法表示的集合 p|中，x 表示元
10、素的形式， px表示元素所具有的性质，集合 R),x(fy|),(表示函数 )(f的图象上全体点组成的集合，而本题Rx)fy|表示函数 的值域，因此求 BA实际上是求两个函数值域的交集。正解：由 ,1y|)1x(y|,2|A2 7|B,7|)3(|,16|B22 得。二、遗漏空集致错。-_例 2. 已知集合 5x2|A， 1m2x|B，若 BA，求实数 m的取值范围。错解：解不等式 3,1m得 。剖析：空集 是特殊集合，它有很多特殊性质，如 ,空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集。本题错解是因考虚不周遗漏了空集，故研究 BA时，首先要考虑 B的情况。正解：若 时，则 2m,12
11、即 。若 ,1m,B即则时 。由 5,1得 3m。所以32。由知 m 的取值范围是 3,(。三、忽视元素的互异性致错。例 3. 已知集合 yx,|,0)xylg(,求 的值。错解：由 0，根据集合的相等，只有 1,0)lg(。所以可得 1|y|x或 。1y,x或所以 2或 。剖析：当 1yx时，题中的两个集合均有两个相等的元素 1，这与集合中元素的互异性相悖。其实，当 y|,x0,1,集 合时 ，这时容易求解了。正解：舍去 1yx，故 2yx。四、混淆相关概念致错。例 4. 已知全集 U=R，集合 222 ax)1(|xB,R,03a4x|A R,0ax2|C,Rx,0，若 A、B、C 中至少
12、有一个不是空集，求实数a 的取值范围。-_错解：对于集合 A，当 21a3,0)3a4()(2 或得时，A 不是空集。同理当 31a时，B 不是空集；当 0a2或 时，C 不是空集。求得不等式解集的交集是空集，知 a 的取值范围为 。剖析：题中“A、B、C 中至少有一个不是空集 ”的意义是“A 不是空集或 B 不是空集或 C 不是空集” ，故应求不等式 解集的并集，得),123,(a。五、忽视补集的含义致错。例 5. 已知全集 RI，集合 0x|M2，集合1x|N，则下列关系正确的是（ ）A. NCMIB. CIC. ID. RI错解：1x|的补集为1x|NI，故选 C。剖析：本题错误地认为
13、0)(f|xA的补集为 0)x(f|AI。事实上对于全集 RI，由补集的定义有 RCI，但 |0)x(f|)x(f|使 有意义， x，即为 )x(f的定义域。所以只有当 的定义域为 R 时才有0)(f|A的补集为 0)x(f|AI，否则先求 A，再求 CI。正解：1x|1|x1|N或，所以 1x0|NI，而0|xM，应选 A。感悟与提高1. 设集合Zk,412y|B,Zk,41x| ，则它们之间的关系是（ ）A. A=B B. A B C. A B D. 2. 已知集合 x|m关 于的不等式 03mx)1(22有解，若 1x3y，且 Ax，则 y 的取值范围是_。-_答案提示：1. 由集合 A 得)1k2(4yB),1k4(x得由 集 合。B 是由奇数的 41组成，A 是由比 4 的整数倍大 1 的数的 组成的，所以 A B，选 C。2. 由 A 易得 2m0)3()m(2。 5123xy。
