圆学案(全章).doc

1、1第 1 课时 圆一、 学习准备1、探究活动让我们大胆的设想一下，如果我们的自行车轮做成正方形，会怎样？如图：E、B 表示车轮边缘上的两点，它们到轴心 O 的距离大小如何？ 这样会导致会导致什么后果？如果将车轮换成如图形状，是否保证车轮能够平稳地滚动？如图：A、B 表示车轮边缘上任意两点，则它们到轴心 O 的距离：_一些同学做投圈游戏，大家均站在线外，欲用圈套住离他们 2m 远的目标，有如图两种方案供选择，你的选择是_，理由：_。二、解读教材2、圆的概念平面上：_叫做圆，其中_圆心，_半径，以点 O 为圆心的圆记作_，读作_。确定一个圆需要两个要素：一是位置，圆的_确定圆的位置；二是大小，圆的

2、_确定圆的大小。即时练习：以 3cm 为半径可以画 _个圆，以点 O 为圆心可以画_个圆，_只能画一个圆。我们所学的圆，就是我们日常所说的_（填圆面或圆周）3、点与圆的位置关系如图是一个圆形靶的示意图，O 为圆心，小明向上面投了 A、B、C 、D、E 5 枚飞镖，则_在O 内，_在O 外，点 B 在_试比较每个点到 O 点的距离与O 半径 r 的大小 _ r _ = r _ r小结：（1）点与圆的位置关系有_，它们是_。（2）点与圆的位置关系可以按以下方法判断点在圆上 点到圆心的距离 d 等于圆的半径 r，即：d = r点在圆内 点到圆心的距离 d_圆的半径 r，即：d _ r点在圆外 点到圆

3、心的距离 d_圆的半径 r，即：d _ r即时练习：完成本节教材做一做三、 【达标检测】1、已知平面上有一个半径为 5cm 的O 和 A、B、C 三点，OA = 4.5cm，OB = 5cm，OC = 5.5cm，则点A 在O_，则点 B 在O_ ，则点 C 在O_ 。2、如图所示，在ABC 中，ACB = 90，AC = 2cm，BC = 4cm，CM 是中线，以 C 点为圆心， 为半径做圆，则 A、B 、C、M 四点在圆外的是_. 53、下列条件中，只能确定一个圆的是（ ）A、以点 O 为圆心 B、以 2cm 长为半径 C、以点 O 为圆心，5cm 长为半径 D、经过已知点 A* 4、若O

4、 所在平面内一点 P 到 O 上的点的最大距离为 a，最小距离为 b（a b） ，则此圆的半径为（ ）O O像这样条件和结论可以互推的我们用“ ”表示，读作“等价于” 2OC DABMOCDA BDEOCA BBA EFO_AB CDA、 B、 C、 或 D、a + b 或 a b2ba2ba2ba第 2 课时 垂径定理 一学习准备 1、圆的定义：在平面上，到 的距离等于 的所有点所组成的图形叫做圆。 2、圆 轴对称图形，它的对称轴有 条。 二解读教材 3、认识弧与弦 阅读教材 9697 页并填空 (1) 圆上任意两点间的部分叫做 。大于半圆的弧叫做 ，小于半圆的弧叫 ，弧 AB 记作 ，图中

5、劣弧有 (2) 连接圆上任意两点的线段叫做 ，经过圆心的弦叫 图中弦有 ，其中直径是 。(3) 下列说法正确的有（ ） A. 直径是圆的对称轴 B.半圆是弧 C.半圆既不是优弧也不是劣弧 D. 直径是弦 E. 圆中两点间的部分为弦 F. 过圆上一点有无数条弦 4、 垂径定理 如图，AB 是O 的一条弦，作直径 CD ，使 CD AB 于点 M (1) 右图是轴对称图形吗？如果是，对称轴是 ，根据轴对称性质图中相等线段有 ，相等的劣弧有 (2) 垂径定理：垂直于弦的直径 这条弦，并且 弦所对的弧几何语言表示为：在O 中， 是 直 径CDM 于AB 5、垂径定理的推论如图：AB 是O 的弦（不是直

6、径）作一条平分 AB 的直径 CD，交 AB 于点 E(1)图形是轴对称图形吗？(2)发现的等量关系有： 垂径定理的推论：平分弦( ) 的直径垂直平分 几何语言表示：在O 中 三挖掘教材6、你也能得到下面的结论(1)平分弦所对的一条弧的直径，必垂直平分弦，并平分弦所对的另一条弧.(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的另一条弧。(3)还有其它结论吗？事实上，垂径定理及推论是指（当为条件时，要对另一条弦增加它不是 的限制）7、垂径定理的运用例 1， 在直径 650mm 的圆柱形油槽中一些油后，截面如图。若油面宽 AB=600mm，求油的最大深度。解:过O 作 OF 于 E，交 O 于 F，

7、连接 OAAB设 EF=xmmOE= 650-x=325-x12OE ABAE= AB= 在 Rt AOE 中， = + OA2即 = + 解得 x1= ， x2= 答：油槽的最大深度为 即时练习 1，已知圆的半径为 5，两平行弦长为 6 和 8，则这两条弦的距离为 2，已知 AB 是半圆的直径，O 是圆心，C 是半圆上一点，OE 交 AC 于 D，AC=8，DE=2，求 OD 的长。【达标检测】1、下列命题正确的是( )A弦的垂线平分弦所对的弧 B. 平分弦的直径垂直于这条弦 C. 过弦的中点的直线必过圆心 D. 弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心2、如图已知的半径为 30mm,

8、弦 AB=36mm,点 O 到 AB 的距离是 ，AM=BM= AC= D一条直线在 直线过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 五个条件中任意具备两个条件，则必具有另外三个结论，简记 “知二推三”垂经定理是涉及圆内计算的重要定理3ABDCOP的余弦值为 OAB3、如图 在中，点是 的中点，40 o,则 等于（ ）ABBOC 40o .50 o .70 o .80 o4，圆的直径为 8cm,弦 CD 垂直平分半径 OA，这弦 CD 的长为 第 3 课时 圆的对称性（2）一、学习准备动手画一圆1）把O 沿着某一直径折叠，两旁部分互相重合观察得出：圆是 对称图形；2）若把O

9、沿着圆心 O 旋转 180时，两旁部分互相重合，这时可以发现圆又是一个 对称图形。3）若一个圆沿着它的圆心旋转任意一个角度，都能够与原来图形互相重合，这是圆的 不变性。二、解读教材1、认识圆心角、弦心距、弧的度数1） 圆心角的定义： 。2） 弦心距的定义： 。3） 弧的度数：把顶点在圆心的周角等分成 份时，每一份的圆心角是 1的角。因为在同圆中相等的圆心角所对的 相等，所以整个圆也被等分成 360 份，这时，把每一份这样得到的 叫做 1的弧。圆心角的度数和它们对的弧的 相等。2、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理自制两个圆形纸片(要求半径相等 )，并且在两个圆中，画出两个相等的圆心角，探究：在

10、 O 中，当圆心角AOB=AOB时，它们所对的弧 AB 和 AB，弦 AB 和 A B，弦心距 OM 和 OM是否也相等呢？定理总结：在 中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等，所对弦的 也相等。 即时训练：判断：1）圆心角相等，则圆心角所对的弧也相等； ( ) 2）在同圆或等圆中，弦的弦心距相等； ( )3）弦的弦心距相等，则弦相等； ( )4）相等的圆心角所对的弧相等。 ( )问题 2：在同圆或等圆中,若圆心角所对的弧相等,那么它们所对的弦相等吗？这个两个圆心角相等吗？你是怎样想的？如果弦相等呢？你会得到什么结论？归纳推论：在 中，如果两个 、两条 、两条 或两条弦的 中有一组量相等，

11、那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 （简记：“知一推三” ）即时训练：已知:AB、CD 是O 的两条弦,OE、OF 为 AB、CD 的弦心距，根据本节定理及推论填空。1）如果 ABCD，那么 ， ， ；2）如果 OEOG，那么 ， ， ；3）如果 = ，那么 ， ， ；4）如果AOBCOD，那么 ， ， 。三、挖掘教材例 1、如图，点 O 是EPF 的平分线上一点，以 O 为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点 A、B 和C、D， 求证：AB=CD。4DCOA BDCOA BEEOABDCOBACEOAD BCOB CA D例题拓展：当 P 点在圆上或圆内是否还有 AB=CD 呢？即时训

12、练：从O 外一点 P 向O 引两条割线 PAB、PCD 交O 于 A、B、C、D，且 = ，求证：圆心 O 必 在BPD 的平分线上例 2、如图，A、B、C、D 是O 上的四个点，AB=DC，ABC 与DCB 全等吗？为什么？即时训练：已知：如图，AD=BC，求证：AB=CD。【达标检测】1、判断题：1）相等的圆心角所对弦相等。 ( )2）相等的弦所对的弧相等。 ( )3）两条弧的长度相等,则这两条弧所对应的圆心角相等。 ( )2、在O 中，弦 AB 的长恰等于半径，则弦 AB 所对的圆心角是 度。3、下面的说法正确吗？为什么？如图，因为AOB=COD，根据圆心角、弧、弦、弦心距关系定理可知

13、= 。4、如图，O 为两个同圆的圆心，大圆的弦 AB 交小圆于 C、D 两点，OE 垂直于 AB，垂足为 E，若AC=2.5cm，ED=1.5cm ，OA=5cm，则 AB= cm。（4 题图） （5 题图）5、已知：如图 AB、DE 是O 的直径，AC DE，AC 交O 于 C，求证：BE=EC。6、在O 中，AB=BC，求证：OAB=OCB。5A BDOCMN 图3ODCBA图1OCBA 图2ODCBAEODCBA图1OCBAODCBAQPA7、 已知：AB 是O 的直径，M、N 分别是 AO 和 BO 的中点，CMAB ，DNAB，求证：AC=BD。【学习课 题】 第 4 课时 圆周角与

14、圆心角的关系【学习目 标】 1、圆周角的概念及圆周角定理 2、了解分类讨论及转化的思想【学习重点】 圆 周角的概念及圆周角定理【候课朗读】 垂径定理，圆心角、弦、弦心距、弧之间的关系一、 学习准备1、 叫圆心角。2、等弧所对的圆心角 。二、解读教材3、圆周角的概念顶点在 ，两边 ，像这样的角叫圆周角。4、及时练习 下列各图是圆周角的是（ ）A B C D E指出下图的圆周角5、议一议看图 1、2、3 猜一猜，圆心角AOC 与圆周角ABC 之间的大小关系 。先讨论特殊情况：ABC 的一边经过圆心，如图 1 三、挖掘教材例 1 量角器外缘边上有 A、P、Q 三点，它们所表示的读数分别是 180、

15、70 、30 ，则PAQ 是多少度？即时练习如图， 、是O 上三点，AOC=100，则ABC=例 1 题 22 如图， 四边形 ABCD 是O 的内接正方形，点 P 是 弧 CD 上不同于点 C 的任意一点，则BPC 的度数是 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的 。 四、反思小结1、圆周角的概念61图OCBA2图DOCBA3图DOCBA4图D OCBAQPBAO图1EDBCA图3DC BAOFE COBADCBA图4图2ODCB A2、圆周角等于圆心角的一半吗？3 、定理的证明用了分类讨论的思想。【达标测评】1、如图，在O 中 BOC=150，BAC= 。2、如图，在中,BOC=50,

16、则BAC= ，BDC= 。33、如图, A,B,C,D 是O 上的四点，且BCD=100,则BOD= ，BAD= 。4、如图, AB,CD 是两条直径，连 AC，那么 的数量关系是 。5、如图，在世界杯足球比赛中，甲带球向对方球门 PQ 进攻，当他带球冲到 A 点时，同伴已经助攻冲到 B 点。有两种射门方式：第一种时甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门。仅从射门角度考虑，应选择 种射门方式。【学习课题】 第 5 课时 圆周角与圆心角的关系（2）【学习目标】、记住并能熟练使用圆周角与圆心角的关系定理、通过推理证明得出圆周角与圆心角的关系定理的推论、会熟练运用定理及推论解决相关问题【学习重点

17、】、进一步熟悉圆周角与圆心角关系定理的使用、圆周角与圆心角关系定理推论的使用【学习过程】一、学习准备、圆周角与圆心角关系定理：一条弧所对的 等于它所对的 的 。、如图，在中中，ABC= ，AEC= ，ADC= 。二、解读教材3、在图 1 中，由题 2 中可得，ABC= = = 推论 1. 所对的圆周角相等。4、图 2 中，因为ACB 与ADB 共对弧 ，而弧 所对的圆心角为 ，由圆周角与圆心角的关系定理可得ACB= =ADB推论 2.直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。例题 1 如图 3，AB 是直径，BD 是的弦，延长 BD 到 C，使AC=AB，BD 与 CD 的大小有什么

18、关系？为什么？解：BD=CD。理由是：如图，连接 ADAB 是的直径ADB= 即 AD BC又AC=AB BD=CD即时练习5、如图 4，已知等腰三角形 ABC 中，AB=AC,以腰 AC 为直径作半圆交 AB 于点 E，交 BC 于点 F，若A=50，求弧 EF、弧 AE、弧 FC 的度数三、挖掘教材 5、例题 2 如图 5，ABC 中，D 为 AB 中点，CD 等于 AB 的一半，求证：ABC 为直角三角形7EOD CBADCBAODCBAOCDBAPDCBAM CBA图5图6图7图8图9ODC BA图10图11图1图图11图2图PD CA B推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半

19、，那么这个三角形是直角三角形。6、例题 3 如图 6，AD 是ABC 的高，AE 是ABC 的外接圆直径求证：AB注意 在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆 周角，以便利用直径所对的圆周角是直角的性质。四、反思小结、圆周角与圆心角的关系定理及推论的作用是什么？、根据定理及推论，设想一下，在解决圆的有关问题时，常用辅助线有哪 些？【达标测评】1、如图 7，写出所有相等的角。 2、若是ABC 的外接圆，ODBC 于 D，且BOD=48，则BAC= 。3、ABC 是半径为 2cm 的圆的内接三角形，若 BC= cm，则23A 的度数为 4、在O 中，直径 AB=10cm，弦 AC

20、=6cm，A CB 的平分线交 O 于 D，则 BC=Cm，AD= cm，BD= cm。5、如图 8，点 D 在以 AC 为直径的O 上，如果BDC=20 ，那么ACB= 。6、如图 9，AB 为O 的直径，弦 AC=3cm，BC=4cm，CD AB，垂足为 D，求 AD、BD 和 CD 的长。7、如图 10，OA 是O 的半径，以 OA 为直径的C 与O 的弦 AB 相交于点 D，求证：D 是 AB 中点。【资源链接】根据顶点、角的两边与圆的位置关系，我们定义了圆心角与圆周角，并探讨了圆周角、圆心角与它们所对的弧的度数的关系。类似的，如图 11（1） ，当角的顶点在圆外（或圆内） ，角的两边

21、与圆相交，这样的角叫圆外角（圆内角） 。想一想（1）APB 与弧 AB、弧 CD 的度数有怎样的关系？（2）你能比较APB 与弧 AB 所对圆周角的大小吗？根据上面的结论，请你解决下列问题：如图 11（2） ，A、B 是两座灯塔，在弓形 AmB 内有暗礁，游艇 C 在附近的海上游弋，问游艇上的导航员如何通过观测才能知道有没有触礁的危险？PD CA B【学习课题】第 6 课时：不在同一条直线上的三点共圆8【学习目标】：不在同一直线上的三个点确定一个圆，过不在同一直线上的三个点作圆的方法【学习重点】过在不同一直线上的三个点作圆的方法【学习过程】一、学习准备1、经过一点有_条直线。2、经过二点有_条

22、直线。二、解读教材3、作圆结论：经过一点能作_个圆结论，经过两点能_个圆4、 探究：经过不在同一直线上的三点 A、B、C 作圆结论：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。因此，三角形的三个点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。三、挖掘教材5、三角形的外心在哪里？己知下面三个三角形，分别作出它们的处接圆，它们外心的位置有怎样的特点？锐角三角形 直角三角形 钝角三角形（2）只要三角形确定，那么它们的外心外接圆的半径就确定。6、四点共圆四点共圆的概念如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，那么四边形叫圆内接四边形。这个圆叫做这个四边形的外接

23、圆。我们就说这四点共圆。性质 1：如果这四点首尾顺次连接成的四边形的对角互补，那么这四点共圆。性质 2：如果这四点首尾顺次连接成的四边形的一个外角等于它的内对角，那么这四点共圆。性质 3：共边的两个三角形，在这条边的同侧且共边所对的角相等，那么这四点共圆。 、小结：经过任意四点不一定作圆。【达标测评】1、判断正误：（1）任意一个三角形一定有一个外接圆，任意一个圆也只有一个内接三角形（2）三角形的外心在三角形的外部在平面上有 A、O 1、 O2、 O3、 点以 O1 为圆心，O 1A 为半径画图以 O2 为圆心，O 2A 为半径画图以 O3 为圆心， O3A 为半径画图在平面上有 A、B 两点，

24、连结 AB，作 AB 的中垂线EF，在 EF 上任意取点为圆心结论：（1）三角形外心的位置：锐角三角形 外心在其内部直角三角形 外心在斜边中点钝角三角形 外心在其外部无论哪种三角形，它们的外心就是各边垂平分线的交点。9（3）三角形的外心是三角形角平分线的交点（4）三形的外心到三边的距离相等2、己知点 A、B，经过 A、B 作圆，则半径为 2的圆的个数为_个。3、己知ABC，AC=15。BC=8，AB=17，求ABC 的外接圆半径。4、己知 A、B 分别为MON 边上异于 O 点的两点，则过 AOB 三点能作一个圆吗？5、能在同一个圆上的是（ ）A、平行四边形的四个顶点 B、等腰梯形四边的中点C

25、、矩形四边的中点 D、正方形四边中点【资源链接】如图,A、B、C、表示三个村庄,现要建一座深水井泵站,向三个村庄分别送水,为使三条输水管线长度相同,请画出图,并说明理由.第 7 课时 直线与圆的位置关系【学习目标】1、 理解直线和圆的位置关系，掌握直线和圆的三种位置关系的判定方法。2、 能用 d 和 r 的三种数量关系判断直线与圆的位置关系。【学习重点】能根据能用 d 和 r 的三种数量关系判断直线与圆的位置关系【学习过程】一、 学习准备1、 如图 1 O 的半径为 r 若 A 点在 ，则 OA r;若 B 点在圆上，则 OB r若 C 点在圆外，则 OC r.2、在右图 2 上表示点 P 到

26、直线 AB 的距离二、解读教材1、阅读教材3.5 P123P124、如图 3（1）所示，如果一条直线与一个圆 公共点，那么就说这条直线与这个圆 ， 、如图 3（2）所示，如果一条直线与一个圆只有 个公共点，那么就说这条直线与这个圆 ，此时这条直线叫做圆的 ，这个公共点叫做 、如图 3（3）所示，如果一条直线与一个圆有 个公共点，那么就说这条直线与这个圆 ，此时这条直线叫做圆的 直线与圆的位置关系只有 、 和 三种三、挖掘教材例1、在RtABC 中，C=90 ，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？（1）r=2cm；（2）r=2.4cm (3)r=3

27、cm。例 2、已知A 的直径为 6，点 A 的坐标为（-3，-4） ，则A 与 X 轴的位置关系是_,A 与 Y 轴的位置关系是_图 1 图 3 如果O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，利用 d 与 r 之间的关系即可判断直线与圆的位置关系若 直线 l 与 O 相离；若 直线 l 与 O ;若 直线 l 与 O ；r画一画验证一下10例 3、圆的最大弦为 12cm，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为 ,那么（ ）dA. B. C. D. cmd60cmdc126c6cm12四、反思小结：直线与圆的位置关系 相交 相切 相离公共点个数公共点名称直线名称图 形圆心到直线距离

28、d 与半径 r 的关系【达标检测】1、已知圆的半径 r 等于 5 厘米，圆心到直线 l 的距离为 d：（1）当 d=4 厘米时；有 d r，直线 l 和圆有 个公共点，直线 l 与圆 （2）当 d=5 厘米时；有 d r，直线 l 和圆有 个公共点，直线 l 与圆 （3）当 d=6 厘米时；有 d r，直线 l 和圆有 个公共点，直线 l 与圆 2、O 的直径为 4，圆心到直线的 l 的距离为 3，则直线 l 与O 的位置关系是（ ）A、相离 B、相切 C、相交 D、相切或相交3、O 的半径为 5，点 A 在直线 l 上，若 OA=5，则直线 l 与O 的位置关系是（ ）A、相离 B、相切 C

29、、相交 D、相切或相交4、设O 的半径为 r，圆心到直线 l 的距离为 d，若直线 l 与圆有公共点，则 r 与 d 的关系是（ ）A、 B、 C、 D、drdr5、在 O 的半径为 1，当 时，直线与圆相切。,中C,2AAOB6、在 以 C 为圆心，r 为半径的圆与直线 AB 相切，,3,590Rt中 ，则 r 。【学习课题】 第 8 课时 切线的性质【学习目标】、知道圆的切线的性质。、会运用切线的性质进行证明或计算；、经历探究、计算、证明的过程，进一步培养分析、推理能力。、初步体会反证法的思想方法。【学习重点】切线性质的运用。【教学过程】一、学习准备：、直线与圆的三种位置关系是： ， 和 。、当直线与圆相切时，圆心到直线 l 的距离等于 。此时，直线与圆有且只有 个交点，这个交点叫做直线与圆的 。二、解读教材、切线的性质：阅读教材155-156 。如图（ 1） ，你能讲一讲半径A 与直线 l 必定垂直的道理吗？与同小组的同学说一说。圆的切线的性质是： 。如图（一） ，用符号语言表述为： 。 。4、切线性质的运用：例 1：已知，AB 是O 的直径，C 为O 上一点，过 A 作 AD 垂直于过 C 点的切线于点 D，连接 AC。求证：AC 平分BAD。ODC BA注意：利用切线的性质，我们经常连接圆心和切点，构造垂直关系。