1、- 1 -圆章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线） ；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且
2、到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内 点 在圆内；drC2、点在圆上 点 在圆上；B3、点在圆外 点 在圆外；drA三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；2、直线与圆相切 有一个交点；dr dr3、直线与圆相交 有两个交点； rd dCBA O- 2 -drd=rr d四、圆与圆的位置关系外离（图 1） 无交点 ； 外切（图 2） 有一个交点 dRr；dRr相交（图 3） 有两个交点 ； 内切（图 4） 有一个交点 rr；r内含（图 5） 无交点 ；dRr 周1rRd周3rRd五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分
3、弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧周2rRd- 3 -以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即： 是直径 弧 弧 弧 弧ABCDEBCDACD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在 中， OABCD弧 弧六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称 1 推 3 定理，即上述
4、四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即： ； ；AOBDEAB ； 弧 弧CF七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即： 和 是弧 所对的圆心角和圆周角AOBCAB 22、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在 中， 、 都是所对的圆周角OCDOE DCBAOC DA BFEDC BAO CBAOD CBAOCB AO- 4 - CD推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在 中， 是直径 或OAB90C 是直径
5、90CAB推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在 中，ABO 是直角三角形或C90C注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在 中，O四边形 是内接四边形ABCD 180180E九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： 且 过半径 外端MNOAA 是 的切线CB AOEDCB
6、ANM AO- 5 -（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即： 、 是的两条切线PAB 平分O十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在 中，弦 、 相交于点 ，OABCDP P（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的
7、比例中项。即：在 中，直径 ，OABCD2EAB（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在 中， 是切线， 是割线OPAB 2CPBAOPO DCBAO EDCB AD EC BPAO- 6 -（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图） 。即：在 中， 、 是割线OPBE CD十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图： 垂直平分 。12OAB即： 、 相交于 、 两点12 垂直平分12AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公
8、切线长： 中， ；12RtOC221ABOC（2）外公切线长： 是半径之差； 内公切线长： 是半径之和 。2 2十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形 在 中 是正三角形，有关计算在 中进行：OABCRtBOD；:1:32D（2）正四边形同理，四边形的有关计算在 中进行， ：RtOAE:1:2AEO（3）正六边形BAO1 O2CO2O1BADCB AOECBA DOBAO- 7 -同理，六边形的有关计算在 中进行， .RtOAB:1:32BOA十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式： ；180nl（2）扇形面积公式： 236RSl：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧
9、长 ：扇形面积nRlS2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图=2S侧表 底 2rh（2）圆柱的体积： 2V（2）圆锥侧面展开图（1） =S侧表 底 2Rr（2）圆锥的体积： 213Vh典型例题例 1两个同样大小的肥皂 泡黏在一起，其剖面如图 1 所示（点 O，O是圆心） ，分隔两个肥皂泡的肥皂膜 PQ 成一条直线，TP、NP 分别为两圆的切线，求 TPN 的大小S lBAO周周周周周周周周 C1D1DCBAB1RrC BAO- 8 -例 2如图，AB 为O 直径，E 是 中点，OE 交 BC 于点 D，BD=3，AB=10，则ABCAC=_例 3如图，O 的直径为 10，圆心 O 到弦 AB 的距离
10、 OM 的长为 3，则弦 AB 的长是（ ）例 4如图，在O 中，AB、CD 是两条弦，OEAB，OFCD，垂足分别为 EF（1）如果AOB=COD ，那么 OE 与 OF 的大小有什么关系？为什么？（2）如果 OE=OF，那么 与 的大小有什么关系？AB 与 CD 的大小有什么关系？ABCD为什么？AOB 与COD 呢？OBA CE DF例 5如图 3 和图 4，MN 是O 的直径，弦 AB、CD 相交于 MN上的一点P， APM=CPM（1）由以上条件，你认为 AB 和 CD 大小关系是什么，请说明理由（2）若交点 P 在O 的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明-
11、9 -理由BA CEDPONMFBACEDPNMF例 6 如图，点 O 是ABC 的内切圆的圆心，若 BAC=80，则BOC=（ ）A130 B100 C50 D65例 7如图，AB 为 O 的直径，C 是O 上一点，D 在 AB 的延长线上，且DCB=A（1）CD 与 O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由（2）若 CD 与 O 相切，且 D=30，BD=10 ，求 O 的半径例 8如图所示，点 A 坐标为（ 0，3） ，OA 半径为 1，点 B 在 x 轴上（1）若点 B 坐标为（4，0） ， B 半径为 3，试判断A 与B 位置关系；（2）若B 过 M（2，0）且与A
12、 相切，求 B 点坐标- 10 -例 9如图，已知正六边形 ABCDEF，其外接圆的半径是 a， 求正六边形的周长和面积例 10在直径为 AB 的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为 AB，顶点 C 在半圆圆周上，其它两边分别为 6 和 8，现要建造一个内接于 ABC的矩形水池 DEFN，其中 D、E 在 AB 上，如图 2494 的设计方案是使 AC=8，BC=6（1）求ABC 的边 AB 上的高 h （2）设 DN=x，且 hDNFAB，当 x 取何值时，水池DEFN 的面积最大？（3）实际施工时，发现在 AB 上距 B 点 185 的 M 处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树
