1、1圆锥曲线解题方法技巧第一、知识储备：1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容倾斜角与斜率 tan,0,)k21ykx点 到直线 的距离 0(,)PxyAxByC02AxByCd夹角公式：直线 夹角为 ， 则1122:lkb12tank（3）弦长公式直线 上两点 间的距离ykxb12(,)(,)AxyB 21()AB 2kx2211()4kxx 122y（4）两条直线的位置关系（） 1122:lykxb =-1 11l212121/bkl且（） 22:0AxByCl 11 或 者（ ）1212121/ 0lABCA-=0
2、且 -1122BC20A2两平行线距离公式距离1122:lykxb12|bdk距离1122:0lABCxy12|CAB2、圆锥曲线方程及性质1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点 F ，F 的距离的12和等于常数 ，且此常数 一定要大于 ，当常数等于 时，轨迹是线段 F Fa2a21F21 1，当常数小于 时，无轨迹； 双曲线中，与两定点 F ，F 的距离的差的绝对值等21F于常数 ，且此常数 一定要小于 |F F |，定义中的“绝对值”与 |F F |不可12 a12忽视。若 |F F |，则轨迹是以 F ，F 为端点的两条射线，若 |F F |，则轨
3、12迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如方程 表示的曲线是_（答：双曲线的左支）2(6)(6)8xyxy2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在 轴上时 （ ） ，焦点在 轴上时 1（x12bya0ay2bxa） 。方程 表示椭圆的充要条件是什么？（ ABC0，且 A，B，C 同0ab2ABC号，AB） 。椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）标准方程：21(0,)xymn且距离式方程： 22)(cxcya参数方程： os,inxayb若 ，且 ，则 的最大值是_， 的最小值是Ry, 623yx2yx_（
4、答： ）52（2）双曲线：焦点在 轴上： =1，焦点在 轴上： 1（x2ba 2bxa） 。方程 表示双曲线的充要条件是什么？（ABC0，且 A，B0,ab2AByC异号） 。3如设中心在坐标原点 ，焦点 、 在坐标轴上，离心率 的双曲线 C 过O1F2 2e点 ，则 C 的方程为 _（答： ）)10,4(P 6xy（3）抛物线：开口向右时 ，开口向左时 ，开口向2(0)yp2(0)ypx上时 ，开口向下时 。2()xpy3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由 , 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。x2y如已知方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m
5、的取值范围是1m_（答： ）)23,1(,(（2）双曲线：由 , 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；xy2（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。提醒：在椭圆中， 最大， ，在双曲线中， 最大， 。a2bcc22ab4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以 （ ）为例）：范围：12byax0；焦点：两个焦点 ；对称性：两条对称轴 ，,axb(,)c0,xy一个对称中心（0,0） ，四个顶点 ，其中长轴长为 2 ，短轴长为 2 ；(,)abab准线：两条准线 ； 离心率： ，椭圆 ， 越小，椭圆越圆；2xce01e越大，椭圆越扁。e如（1）若椭圆 的离心率 ，则
6、的值是_（答：3 或 ） ；152my51m325（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时，则椭圆长轴的最小值为_（答： ）（2）双曲线（以 （ ）为例）： 范围： 或 ；2xyab0,abxa,yR焦点：两个焦点 ；对称性：两条对称轴 ，一个对称中心（0,0） ，(,)c0,y两个顶点 ，其中实轴长为 2 ，虚轴长为 2 ，特别地，当实轴和虚轴的长,0b相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 ；准线：两条准线,xyk； 离心率： ，双曲线 ，等轴双曲线 ， 越小，2axccea1e2e开口越小， 越大，开口越大；两条渐近线： 。双曲线的方程的形式有e byxa两种4标
7、准方程：21(0)xymn距离式方程： 22|)(|cxcya（3）抛物线（以 为例）：范围： ；焦点：一个焦点2(ypx0,xyR，其中 的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴 ，没(,0)2p 0y有对称中心，只有一个顶点（0,0） ；准线：一条准线 ； 离心率： ，2pcea抛物线 。1e如设 ，则抛物线 的焦点坐标为_（答： ） ；Ra,024axy )16,0(5、点 和椭圆 （ ）的关系：（1）点 在椭圆外(,)Pxy12bx0Pxy；（2）点 在椭圆上 1；（3）点 在椭圆内201ab0(,)Py2byax0(,)2xy6.记住焦半径公式：（1） ，可简记为“左加右减
8、，上0 0;xaexaey椭 圆 焦 点 在 轴 上 时 为 焦 点 在 y轴 上 时 为加下减” 。（2） 0|xex双 曲 线 焦 点 在 轴 上 时 为（3） 1 1|,|22ppy抛 物 线 焦 点 在 轴 上 时 为 焦 点 在 y轴 上 时 为7.椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备1、点差法（中点弦问题）设 、 ， 为椭圆 的弦 中点则有1,yxA2,yxBbaM, 1342yxAB， ；两式相减得3421134202121y=21212121 yyxxABkba352、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？
9、设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式 ，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点0，将这两点代入曲线方程得到 两个式子，然后 - ，整体12(,)(,)AxyB 1 2 1 2消元，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点 A、B、F 共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为 ，就意ykxb味着 k 存在。例 1、已知三角形 ABC 的三个顶点均在椭圆 上，且点 A 是椭圆短轴的一80542yx个端点（点 A 在 y 轴正半轴上） .（1）若三角形 AB
10、C 的重心是椭圆的右焦点，试求直线 BC 的方程;（2）若角 A 为 ，AD 垂直 BC 于 D，试求点 D 的轨迹方程.09分析：第一问抓住“重心” ，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦 BC 的斜率，从而写出直线 BC 的方程。第二问抓住角 A 为 可得出 ABAC，从而得09，然后利用联立消元法及交轨法求出点 D 的轨迹方程；016)(14221 yyx解：（1）设 B（ , ）,C( , ),BC 中点为( ),F(2,0)则有1xy2 0,yx 1620,12yxyx两式作差有 (1)16)0)( 222121 y450kF(2,0)为三角形重心，所以由 ，得 ，由 得 ，代入32
11、1x30x21y20y6（1）得 56k直线 BC 的方程为 028yx2)由 ABAC 得 （2）016)(14221 y设直线 BC 方程为 ，得85,xbkxy代 入 08510)54(22bkxk，221540x2214805代入（2）式得2121,8kbyky，解得 或0546392b)(4舍 94直线过定点（0， ，设 D（x,y ） ，则 ，即)91xy 0163292yxy所以所求点 D 的轨迹方程是 。)4(920)16(2 yx4、设而不求法例 2、如图，已知梯形 ABCD 中 ，点 E 分有向线段 所成的CDAB2AC比为 ，双曲线过 C、D、 E 三点，且以 A、B 为
12、焦点当 时，求 432双曲线离心率 的取值范围。e分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系 ，如图，若设 CxOy，代入 ，求得 ，进而求得 再代入 ，hc, 212byaxh ,Ex 12bya建立目标函数 ，整理 ，此运算量可见是难上加难.我们对 可(,)0fc(,)0fe h采取设而不求的解题策略,建立目标函数 ，整理 ,化繁为简.(,)fabc(,)fe解法一：如图，以 AB 为垂直平分线为 轴，直线 AB 为 轴，建立直角坐标系yx7，则 CD 轴因为双曲线经过点 C、D，且以 A、B 为焦点，由
13、双曲线的对称性xOyy知 C、 D 关于 轴对称 依题意，记 A ，C ，E ，其中 为双曲0 ,ch, 20 ,yx|21c线的半焦距， 是梯形的高，由定比分点坐标公式得h， 1210ccx 0hy设双曲线的方程为 ，则离心率2byaxace由点 C、E 在双曲线上，将点 C、E 的坐标和 代入双曲线方程得， 142bhe 12bh由式得 ， 142ebh将式代入式，整理得 ，2142e故 3由题设 得，432421e解得 07所以双曲线的离心率的取值范围为 1, 7分析：考虑 为焦半径,可用焦半径公式, 用 的横坐标表示，回避AEC,AEC,的计算, 达到设而不求的解题策略h解法二：建系同
14、解法一， ，,ECAaexaex8，又 ，代入整理 ，由题设211Eccx1AEC132e得，432432e解得 107所以双曲线的离心率的取值范围为 , 75、判别式法例 3 已知双曲线 ，直线 过点 ，斜率为 ，当 时，双曲12:xyCl0,2Ak10线的上支上有且仅有一点 B 到直线 的距离为 ，试求 的值及此时点 B 的坐标。分析 1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有” 这个微观入手，对照草图，不难想到：过点 B 作与 平行的直线，必与双曲线 C 相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的l判别式 . 由此出发
15、，可设计如下解题思路：01)2(: kxkyl kkxyl 2: 的 值解 得 k解题过程略.分析 2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点 B 到直线 的距离为 ”，相当于化归的方程有唯一解 . 据此设计出如下解l2题思路：把直线 l的方程代入双曲线方程，消去 y，令判别式 0直线 l在 l 的上方且到直线 l 的距离为 2转化为一元二次方程根的问题求解问题关于 x 的方程 有唯一解10212kkx9简解：设点 为双曲线 C 上支上任一点，则点 M 到直线 的距离为：)2,(xM l212k10k于是，问题即可转化为如上关于 的方程.x由于 ，所以 ，从
16、而有10kk2 .2kxxk 于是关于 的方程x)1(22kk0)1( ,)(22xkxx.)( ,02)1(2)(22 kk由 可知：10方程 的二根同正，故 02)1(2)1(22 kxkkxk恒成立，于是 等价于0)1(2.)()( 2222 kkxkxk由如上关于 的方程有唯一解，得其判别式 ，就可解得 .05点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.例 4 已知椭圆 C: 和点 P（4 ，1） ，过 P 作直线交椭圆于 A、B 两点，在xy2810线段 AB 上取点 Q，使 ，求动点 Q 的轨迹所在曲线的方程.APB分析：这是一个轨迹问题，解
17、题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点 Q 的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.由于点 的变化是由直线 AB 的变化引起的，自然可选择直线 AB 的斜率 作),(yx k为参数，如何将 与 联系起来？一方面利用点 Q 在直线 AB 上；另一方面就是运用k题目条件： 来转化.由 A、B、P、Q 四点共线，不难得到 ，APBQ )(824BAxx要建立 与 的关系，只需将直线 AB 的方程代入椭圆 C 的方程，利用韦达定理即可.xk通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数. 将直线方程代入椭圆方程，消去 y，利用韦达定理利用点 Q 满足直线 AB 的方程：y = k (x4)+1，消去参数 k点 Q 的轨迹方程QBAP)(824BAxxkfx
