1、1圆的基本性质一. 圆 二. 圆的轴对称性 三 .圆心角 四. 圆周角 五. 弧长及扇形的面积 六. 侧面积及全面积六大知识点：1、圆的概念及点与圆的位置关系2、三角形的外接圆3、垂径定理4、垂径定理的逆定理及其应用5、圆心角的概念及其性质6、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【课本相关知识点】1、圆的定义：在同一平面内，线段 OP 绕它固定的一个端点 O ，另一端点 P 所经过的 叫做圆，定点 O 叫做 ，线段 OP 叫做圆的 ，以点 O 为圆心的圆记作 ，读作圆 O。2、弦和直径：连接圆上任意 叫做弦，其中经过圆心的弦叫做 ， 是圆中最长的弦。3、弧：圆上任意 叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条
2、直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做 。小于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母上加上“”就可表示出来，大于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“”就可表示出来。4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆5、点与圆的三种位置关系：若点 P 到圆心 O 的距离为 d，O 的半径为 R，则：点 P 在O 外 ；点 P 在O 上 ；点 P 在O 内 。6、线段垂直平分线上的点 距离相等；到线段两端点距离相等的点在 上7、过一点可作 个圆。过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。8、过 的三点确定一个圆。9、经过三角形三个顶点的圆叫
3、做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 。三角形的外心是三角形三条边的 【典型例题】【题型一】证明多点共圆例 1、已知矩形 ABCD，如图所示，试说明：矩形 ABCD 的四个顶点 A、B、C 、D 在同一个圆上DB CA【题型二】相关概念说法的正误判断例 1、 （甘肃兰州中考数学）有下列四个命题： 直径是弦； 经过三个点一定可以作圆； 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等； 半径相等的两个半圆是等弧。其中正确的有（ ）A.4 个 B.3 个 C.3 个 D.2 个例 2、下列说法中，错误的是（ ）A.直径是弦 B.半圆是弧 C.圆内最长的弦是直径 D.弧小于半圆例 3、
4、下列命题中，正确的是（ ）7、圆周角定理8、圆周角定理的推论9、圆锥的侧面积与全面积2DBCOA ENM BAA三角形的三个顶点在同一个圆上 B过圆心的线段叫做圆的直径C大于劣弧的弧叫优弧 D圆内任一点到圆上任一点的距离都小于半径例 4、下列四个命题： 经过任意三点可以作一个圆； 三角形的外心在三角形的内部； 等腰三角形的外心必在底边的中线上； 菱形一定有外接圆，圆心是对角线的交点。其中真命题的个数（ ）A.4 个 B.3 个 C.3 个 D.2 个【题型三】点和圆的位置关系的判断例 1、O 的半径为 5，圆心 O 在坐标原点上，点 P 的坐标为（ 4，2） ，则点 P 与O 的位置关系是（
5、）A点 P 在O 内 B点 P 在O 上 C点 P 在O 外例 2、已知矩形 ABCD 的边 AB=3cm，AD=4cm，若以 A 点为圆心作A，使 B、C、D 三点中至少有一个点在圆内且至少有一个点在圆外，则A 的半径 r 的取值范围是 【题型四】 “不在同一条直线上的三点确定一个圆”的应用如“把破圆复原成完整的圆” ；如“找一点，使它到三点的距离相等”：方法就是找垂直平分线的交点例 1、平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为 【题型五】圆中角的求解如图，AB 为O 的直径，CD 为O 的弦，AB、CD 的延长线交于点 E，已知 AB=2DE，E=18，求AOC的度数温馨提醒：（1）在同圆或
6、等圆中，直径为半径的 2 倍；（2）圆中常用半径相等来构造等腰三角形，这些看似十分简单的性质和方法，却最容易被遗忘。巩 固 练 习1、如图，一根 5m 长的绳子，一端拴在柱子上，另一端拴着一只羊（羊只能在草地上活动） ，请画出羊的活动区域。2、如果O 所在平面内一点 P 到O 上的点的最大距离为 7，最小距离为 1，那么此圆的半径为 3、如图，点 A、D、G、M 在半圆上，四边形 ABOC，DEOF、HMNO 均为矩形，设 BC=a，EF=b，NH=c ，则a，b，c 的大小关系是 3m第 3 题第 5 题34、已知O 的半径为 1，点 P 与圆心 O 的距离为 d，且方程 x2-2x+d=0
7、 有实数根，则点 P 在O 的 5、如图，MN 所在的直线垂直平分线段 AB，利用这样的工具，最少使用 次就可以找到圆形工件的圆心6、若线段 AB=6，则经过 A、B 两点的圆的半径 r 的取值范围是 7、在 RtABC 中，C=90，两直角边 a、b 是方程 x2-7x+12=0 的两根，则ABC 的外接圆面积为 8、如图，平面直角坐标系中一第圆弧经过网格点 A、B、C，其中 B 点坐标为（4，4） ，那么该圆弧所在圆的圆心坐标为 9、已知圆上有 3 个点，以其中两个点为端点的弧共有 条【课本相关知识点】1、轴对称图形：如果一个图形沿着某一条直线直线 ，直线两旁的部分能够 ，那么这个图形就叫
8、做轴对称图形，这条直线就是对称轴。2、圆是轴对称图形， 都是它的对称轴3、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分 4、分一条弧成 的点，叫做这条弧的中点。5、 的距离叫做弦心距。6、垂径定理的逆定理 1：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且平分 垂径定理的逆定理 2：平分弧的直径 【典型例题】【题型一】应用垂径定理计算与证明例 1、如图所示，直径 CE 垂直于弦 AB，CD=1，且 AB+CD=CE，求圆的半径。OCED BA例 2、如图所示，已知线段 AB 交O 于 C、D 两点，OA 、OB 分别交O 于 E、F 两点，且 OA=OB，求证：AC=BDFE DC BA O温馨提醒：在垂径定理中，
9、 “垂直于弦的直径”可以是直径，可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段。【题型二】垂径定理的实际应用例 1、某居民区内一处圆形下水道破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图所示，污水的水面宽为 60cm，水面至管道顶部距离为 10cm，问：修理人员应准备内径多大的管道？xyO A B C 60cm10cm4COABMNBOA PACOM NB温馨提醒：要学会自己多画图，这样有助于书写解题过程。例 2、工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是 10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8mm，如图所示，则这个小孔的直径 AB 是 【题型三】垂径定理与逆定理的实际应用例 1、如图，已知
10、 M 是 的中点，过点 M 的弦 MN 交 AB 于点 C，设O 的半径为 4cm，MN=4 cm。AB 3（1）求圆心 O 到弦 MN 的距离（2）求ACM 的度数【题型四】应用垂径定理把弧 2 等份，4 等份等巩 固 练 习1、下列说法正确的是（ ）A.每一条直径都是圆的对称轴 B.圆的对称轴是唯一的 C.圆的对称轴一定经过圆心 D.圆的对称轴与对称中心重合2、下列命题： 垂直于弦的直径平分这条弦； 平分弦的直径垂直于弦； 垂直且平分弦的直线必定经过圆心。其中正确的有（ ）A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个3、如图，O 的直径为 10cm，弦 AB 为 8cm，P 是弦 AB
11、上一点，若 OP 的长是整数，则满足条件的点 P 有（ ）个A.2 B.3 C.4 D.54、半径为 5cm 的圆内有两条互相平行的弦，长度分别为 6cm 和 8cm，则这两弦之间的距离为 cm5、圆的半径等于 2 cm，圆内一条弦长 2 cm，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于 336、如图，矩形 ABCD 与O 相交于 M、N 、F 、E ，如果 AM=2，DE=1，EF=8，那么 MN 的长为 7、如图，AB 是O 的直径，CD 是弦。若 AB=10cm，CD=6cm，那么 A、B 两点到直线 CD 的距离之和为 8、如图，半径为 5 的P 与 y 轴交于点 M（0，-4 ） 、N （
12、 0，-10 ） ，函数 y= （x2CD B. ABCD，OM AB ，ON CD，M、N 为垂足，那么 OM、ON 的关系是（ ）A. OMON B. OM=ON C. OMON D. 无法确定9、如图所示，已知 AB 为O 的弦，从圆上任一点引弦 CDAB，作OCD 的平分线交O 于点 P，连续PA、PB。求证：PA=PBOAB C第 5 题OBACD第 6 题 第 7 题 第 8 题8NMOBADCPDCBOA10、如图所示，M、N 为 AB、CD 的中点，且 AB=CD。求证：AMNCNM11、如图，MONO，过 MN 的中点 A 作 ABON，交 于点 B，试求 的度数MN BNB
13、ANMO【课本相关知识点】1、顶点在 上，且两边 的角叫圆周角。2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的 3、圆周角定理推论 1：半圆（或直径）所对的圆周角是 ；90的圆周角所对的弦是 4、拓展一下：圆内接四边形的对角 5、圆周角定理推论 2：在同圆或等圆中， 所对的圆周角相等；相等的圆周角所对 的也相等【典型例题】【题型一】圆周角定理的应用例 1、ABC 为O 的内接三角形，BOC=100，求 BAC 的度数。【题型二】圆周角定理推论的应用例 1、如图所示，点 A、B、C、D 在圆上，AB=8，BC=6，AC=10，CD=4，求 AD 的长。CABD例 2、如图所示，A、B、C 三点在
14、 O 上，CE 是O 的直径，CDAB 于点 D。（1）求证：ACD=BCE；（2）延长 CD 交O 于点 F，连接 AE、BF，求证：AE=BF9DFBOCEA【题型三】应用圆周角知识解决实际生活问题例 1、将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点 C 在半圆上，点 A、B 的读数分别为 86，30，则ACB 的大小为 例 2、现需测量一井盖（圆形）的直径，但只有一把角尺（尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖半径） 请配合图形、文字说明测量方案，写出测量的步骤 （要求写出两种测量方案）解法一：如图（1） ，把角尺顶点 A 放在井盖边缘，记角尺一边与井盖边缘交于点 B，另
15、一边交于点 C（若角尺另一边无法达到井盖的边上，把角尺当直尺用，延长另一边与井盖边缘交于点 C） ，度量 BC 长即为直径；解法二：如图（2） ，把角尺当直尺用，量出 AB 的长度，取 AB 中点 C，然后把角尺顶点与 C 点重合，有一边与CB 重合，让另一边与井盖边缘交于 D 点，延长 DC 交井盖边于 E，度量 DE 长度即为直径；巩 固 练 习1、图中圆周角有（ ）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个2、如图，正方形 ABCD 内接于O，点 P 在 AB 上，则DPC = .3、如图，已知 EF 是O 的直径，把 A 为 60的直角三角板 ABC 的一条直角边 BC 放在直线
16、EF 上，斜边AB 与O 交于点 P，点 B 与点 O 重合，将三角板 ABC 沿 OE 方向平移，使得点 B 与点 E 重合为止设POF=x，则 x 的取值范围是（ ）A30x60 B30x90 C30x120 D60x1204、如图，PB 交O 于点 A、B，PD 交O 于点 C、D，已知 的度数为 42， 度数为 38，则P+Q= DQ BQ5、如图，AB 是O 的直径，C, D, E 都是O 上的点，则12 = .6、如图，AB 是O 的直径，AD=DE，AE 与 BD 交于点 C，则图中与BCE 相等的角有（ ）EABDC第 1 题 第 3 题 第 4 题 第 5 题第 2 题图形
17、1 图形 2答案：10A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个7、已知，如图，AB 为O 的直径， AB=AC，BC 交O 于点 D，AC 交O 于点 E，BAC=45。给出下列四个结论： EBC=22.5 ； BD=DC； 是 的 2 倍； AE=BC。其中正确结论的序号是 AE DE8、如图，O 的半径为 1cm，弦 AB、CD 的长度分别为 cm，1cm，则弦 AC、BD 所夹的锐角为 9、如图，AB, AC 是O 的两条弦，且 AB=AC延长 CA 到点 D使 AD=AC， 连结 DB 并延长,交O 于点E求证：CE 是O 的直径10、如图，在O 中 AB 是直径， CD 是弦，ABCD.(1)P 是 上一点（不与 C, D 重合） 求证：CPD=COB； ACD(2)点 P在劣弧 CD 上（不与 C , D 重合）时，CP /D 与COD 有什么数量关系？请证明你的结论BADOCPP11、 （1）如图（1）已知，已知ABC 是等边三角形，以 BC 为直径的O 交 AB、AC 于 D、E求证：ODE 是等边三角形；（2）如图（2）若A=60，ABAC，则（1）的结论是否成立？如果成立，请给出证明，如果不成立，请说明理由第 6 题 DECBOA第 7 题 第 8 题
