1、图 形 的 相 似一、知识点总结：考点一、比例线段1、比例线段的相关概念若四条 a，b，c ，d 满足或 a： b=c：d，那么 a，b，c，d 叫做组成比例的项，线段 a，d 叫做比例外项，线段 b，c 叫比例内项，线段的 d 叫做 a，b，c 的第四比例项。如果作为比例内项的是两条相同的线段，即 或 a： b=b：c，那么线段 b 叫做线段a，c 的比例中项。2、比例的性质（1）基本性质a：b=c：d ad=bca：b=b：c acb2（2）更比性质（交换比例的内项或外项）（交换内项）d（交换外项）dcbacb（同时交换内项和外项）（3）反比性质（交换比的前项、后项）： cdab（4）合比
2、性质： dcbadc（5）等比性质： banfdbmecanfnmfedcba )0(3、黄金分割把线段 AB 分成两条线段 AC，BC（ACBC） ，并且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项，叫做把线段 AB 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，其中 AC= AB 0.618AB215考点二、平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线） ，所得的对应线段成比例。逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。（2）平行于三角形一边且
3、和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。考点三、相似三角形 1、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“”来表示，读作“相似于” 。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数） 。2、相似三角形的基本定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角cb形相似。用数学语言表述如下：DEBC，ADEABC相似三角形的等价关系：（1）反身性：对于任一ABC，都有ABCABC ；（2）对称性：若ABCABC ，则ABCABC（3）传递性：若ABCABC ，并且ABCABC，则ABC ABC。3、三角形相似的
4、判定（1）三角形相似的判定方法定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似（2）直角三角形相似的判
5、定方法以上各种判定方法均适用定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。4、相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形周长的比等于相似比（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。5、相似多边形（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）（2）相似多边形的性质相似多边形的对
6、应角相等，对应边成比例相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比相似多边形面积的比等于相似比的平方6、位似图形如果两个图形不仅是相似图形，而每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。性质：每组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。由一图形得到它的位似图形的变换叫位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。课堂练习：一选择题： 1、下列各组数中，成比例的是（ ）A7，5，14，5 B6，8，3，4 C3，5，9，12 D2，3，6，1
7、22、如果 x:(x+y)3:5，那么 x:y( )A. B. C. D.3、如图，F 是平行四边形 ABCD 对角线 BD 上的点，BFFD=13，则 BEEC=（ ）A、 B、2131C、 D、 44、下列说法中，错误的是（ ）（A）两个全等三角形一定是相似形 （B）两个等腰三角形一定相似（C）两个等边三角形一定相似 （D）两个等腰直角三角形一定相似5、如图，RtABC 中，C90，D 是 AC 边上一点，AB5，AC4，若ABCBDC，则 CD A2 B C D 3249二、填空题6、已知 4， 9， 是 的比例中项，则 abcab、 c7、如图，要使 ABCACD，需补充的条件是 （只
8、要写出一种）8、如图，小东设计两个直角，来测量河宽 DE，他量得 AD2m，BD3m ，CE9m，则河宽 DE 为 CBAD（第 5 题）AB CD（第 7 题）23832CBA P（第 10 题）9、一公园占地面积约为 800000 ，若按比例尺 12000 缩小后，其面积约为 2m2m10、如图，点 P 是 RtABC 斜边 AB 上的任意一点（A、B 两点除外）过点 P 作一条直线，使截得的三角形与 RtABC 相似，这样的直线可以作 条三、解答题11、如图 1895，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚 B 距墙 80cm，梯上点 D 距墙70cm，BD 长 55cm求梯子的长(8 分)1
9、2、如图，已知 ACAB，BDAB，AO78cm，BO42cm，CD159cm ，求 CO 和DO(8 分)13、如图，在正方形网格上有 1CBA 2，这两个三角形相似吗?如果相似，求出 21CBA和 的面积比 （15 分)14、已知：如图，在ABC 中，点 D、E、F 分别在 AC、AB、BC 边上，且四边形 CDEF是正方形，AC3，BC2，求ADE、EFB、ACB 的周长之比和面积之比(10 分)15、如图所示,梯形 ABCD 中,ADBC,A=90,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰 AB 上确定点 P 的位置,使得以 P,A,D 为顶点的三角形与以 P,B,C 为顶点的三角形相似.
10、PABDC参考答案一、选择题：1.B 2.D 3.A 4.D 5.D二、填空题：6、6；7、ACD=B 或ADC=ACB 或 AD：AC=AC：AB；8、6m；9、0.2；10、3三、解答题：11.梯子长为 440cm 12. cmDOC65.,.10（提示：设 xcmDO，则 cxC159，因为AB,， 90， BA，所以 AOCBDO，所以即 x94278，所以 .）13、相似，相似比为 （提示：，且 2135CAB） 14、周长之比： DE的周长： F的周长： AB的周长 5:23；:49:ACBEFADS设 x，则 xDE,所以523因为 ADEEFBACB，所以可求得周长比等于相似比
11、，面积比等于相似比的平方15、(1)若点 A,P,D 分别与点 B,C,P 对应,即APD BCP, , PBC ,273AAP2-7AP+6=0,AP=1 或 AP=6,检测:当 AP=1 时,由 BC=3,AD=2,BP=6, , PDBC又A= B= 90,APDBCP.当 AP=6 时,由 BC=3,AD=2,BP=1,又A= B=90,APDBCP.(2)若点 A,P,D 分别与点 B,P,C 对应,即APD BPC.1:4,:21S2121 , , AP= .APDBC273AP145检验:当 AP= 时,由 BP= ,AD=2,BC=3,145 ,P又A= B=90,APDBPC.因此,点 P 的位置有三处,即在线段 AB 距离点 A 1、 、6 处.45
