1、课题: 3.4 基本不等式 2ab第 1 课时授课类型：新授课【学习目标】1知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【能力培养】培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程；2ab【教学难点】基本不等式 等号成立条件2ab【板书设计】课题: 3.4 基本不等式 （第 1 课
2、时）2ab1.课题导入基本不等式 的几2ab何背景：如图是在北京召开的第24 界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。2.讲授新课1问题探究探究图形中的不等关系。2总结结论： 3思考证明：你能给出它的证明吗？补充例题3.随堂练习4.课时小结5、能力提高【教学过程】1.课题导入基本不等式 的几何背景：2ab如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个
3、风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。2.讲授新课1问题探究探究图形中的不等关系。将图中的“风车”抽象成如图，在正方形 ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为 a,b 那么正方形的边长为 。这样，4 个直角三角形的面积的2ab和是 2ab，正方形的面积为 。由于 4 个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们2ab就得到了一个不等式： 。当直角三角形变为等腰直角三角形，即 a=b 时，正方形 EFGH 缩为一个点，这时有。2ab2总结结论：一般的，如果 )“(2R,2 号时 取当 且 仅
4、当那 么 baba结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导。3思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 22)(baba当 2,0,()0,ab时 当 时所以， ，即0)(2ba.2)(2ab4 1） 从几何图形的面积关系认识基本不等式 2ab特别的，如果 a0,b0,我们用分别代替 a、b ，可得 ，通常我们把上式写作： (0,)2ab2） 从不等式的性质推导基本不等式 2ab用分析法证明：要证 (1)2ab只要证 a+b (2)要证（2） ，只要证 a+b- 0 （3）要证（3） ，只要证 （ - ） （4）2显然， （4）是成立的。当且仅当 a=b 时， （4）中的
5、等号成立。3） 理解基本不等式 的几何意义2ab探究：课本第 110 页的“探究”在右图中，AB 是圆的直径，点 C 是 AB 上的一点，AC=a,BC=b。过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE，连接 AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式 的几何解释吗？2ab易证 t A D t D B，那么 D2 A B即 D .ab这个圆的半径为 ，显然，它大于或等于 CD，即 ，其中当且仅当点 C 与2ab2圆心重合，即 a b 时，等号成立.因此：基本不等式 几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把 看作是正数 a、 b 的等差中项， 看作是正数 a、 b 的等比中项，2ab那么该定理可以叙
6、述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称 为 a、 b 的算术平均数，称 为 a、 b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.补充例题例 1 已知 x、 y 都是正数，求证：(1) 2；yx(2)（ x y） （ x2 y2） （ x3 y3） x3y3.分析：在运用定理： 时，注意条件 a、 b 均为正数，结合不等式的性质ab(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.解： x， y 都是正数 0， 0， x20， y20， x30， y30yx(1) 2 即 2.xyyx(2)x y2 0 x2 y22 0 2x3 y32 03
7、（ x y） （ x2 y2） （ x3 y3）2 2 2 x3y3x2y3即（ x y） （ x2 y2） （ x3 y3） x3y3.3.随堂练习1.已知 a、 b、 c 都是正数，求证（ a b） （ b c） （ c a） abc分析：对于此类题目，选择定理： （ a0， b0）灵活变形，可求得结b2果.解： a， b， c 都是正数 a b2 0b c2 0c a2 0（ a b） （ b c） （ c a）2 2 2 abcbca即（ a b） （ b c） （ c a） abc.4.课时小结本节课，我们学习了重要不等式 a2 b22 ab；两正数 a、 b 的算术平均数（ ） ，2ba几何平均数（ ）及它们的关系（ ）.它们成立的条件不同，前者只要求aba、 b 都是实数，而后者要求 a、 b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题： ab ， ab（ ） 2.2baba
