1、复变函数积分方法总结键入文档副标题acer选取日期2复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：z=x+iy i=-1 ，x,y 分别称为 z 的实部和虚部，记作 x=Re(z),y=Im(z)。 arg z= 称为主值 - ，Arg=argz+2k 。利用直角坐标和极坐标的关系式 x=rcos ，y=rsin,故 z= rcos+i rsin；利用欧拉公式 ei=cos+isin。z=re i。1.定义法求积分：定义：设函数 w=f(z)定义在区域 D
2、内，C 为区域 D 内起点为 A终点为 B 的一条光滑的有向曲线，把曲线 C 任意分成 n 个弧段，设分点为 A=z0 ，z 1，z k-1，z k，z n=B，在每个弧段 zk-1 zk(k=1,2n)上任取一点 k并作和式 Sn= (zk-zk-1)=-1f()zk 记z k= zk- zk-1，弧段 zk-1 zk 的长度 = Sk 1f() 1 (k=1,2,n),当 0 时，不论对 c 的分发即 k的取法如何，S n 有唯 一的极限，则称该极限值为函数 f(z)沿曲线 C 的积分为：= zk()lim 01f()设 C 负方向 (即 B 到 A 的积分记作) .当 C 为闭曲线时，
3、()f(z)的积分记作 (C 圆周正方向为逆时针方向)()例题：计算积分 ,其中 C 表示 a 到 b 的任一曲线。1) 2) 23（1） 解：当 C 为闭合曲线时， =0.f(z)=1 Sn= (zk-zk-1)=b-a1f() =b-a,即 =b-a.lim 0 1)(2)当 C 为闭曲线时， =0. f(z)=2z;沿 C 连续，则积分 存 在，设 k=zk-1,则 1= (zk-zk-1)1（ 1）有可设 k=zk，则 2= (zk-zk-1)1（ 1）因为 Sn 的极限存在，且应与 1 及 2 极限相等。所以Sn= ( 1+ 2)= =b2-a2 1(221) =b2-a221.2
4、定义衍生 1：参数法：f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy 带入 得：()= - vdy + i + udy () 再设 z(t)=x(t)+iy(t) ( t ) =()()()参数方程书写：z=z 0+(z1-z0)t（0t1） ；z=z 0+rei， (02)例题 1： 积分路线是原点到 3+i 的直线段3+0 2解：参数方程 z=（3+i ）t=3+0 210(3+)2(3+)=(3+i)3102=6+ i2634例题 2： 沿曲线 y=x2 计算 1+0 （ 2+） 解： 参数方程 或 z=t+it2 (0t1)=2=1+0 （ 2+） 10（ 2+2） (1+2)
5、=(1+i) + 2i 10（ 2） 103=- + i16561.3 定义衍生 2 重要积分结果：z=z0+ rei ， (02)由参数法可得：= d= d (0)+120 （ +1） +1 1+0 = (0)+12 =00 0 例题 1： 例题 2：|=12 |=112解： =0 解 =2i 2.柯西积分定理法：2.1 柯西 -古萨特定理：若 f(z)dz 在单连通区域 B 内解析，则对 B 内的任意一条封闭曲线有：=0()2.2 定理 2：当 f 为单连通 B 内的解析函数是积分与路线无关，仅由积分路线的起点 z0 与终点 z1 来确定。52.3 闭路复合定理：设函数 f(z)在单连通区
6、域 D 内解析，C 与C1 是 D 内两条正向简单闭曲线，C 1 在 C 的内部，且以复合闭路=C+C1 所围成的多连通区域 G 全含于 D 则有：= + =0 ()()1()即 =()1()推论： =()=1()例题： C 为包含 0 和 1 的正向简单曲线。212解： 被积函数奇点 z=0 和 z=1.在 C 内互不相交，互不包含的正向曲线 c1 和 c2。= +212121(1)221(1)=111+1+211+1= + + +1111121121=0+2i+2i+0=4i2.4 原函数法( 牛顿- 莱布尼茨公式) ：定理 2.2 可知，解析函数在单连通域 B 内沿简单曲线 C 的积分只
7、与起点 z0 与终点 z1 有关，即 6= 这里的 z1 和 z0 积分的上下限。当()10()下限 z0 固定，让上限 z1 在 B 内变动，则积分 在 B 内确定10()了一个单值函数 F(z),即 F(z)= 所以有10()若 f(z)在单连通区域 B 内解析，则函数 F(z)必为 B 内的解析函数，且 =f(z).根据定理 2.2 和 2.4 可得 = F(z1) - F(z0).F(z) 10()例题：求 10解： 函数 zcosz 在全平面内解析 =zsinz -10 |010= isin i+cosz =isin i+cos i-1|0=i + -1=e-1-11121+12此方
8、法计算复变函数的积分和计算微积分学中类似的方法，但是要注意复变适合此方法的条件。2.5 柯西积分公式法：设 B 为以单连通区域，z 0 位 B 中一点，如 f(z)在 B 内解析，则函数在 z0 不解析，所以在 B 内沿围绕 z0 的闭曲线 C 的积分()0一般不为零。 取 z0 位中心，以 0 为半径的正向圆周()0 = 位积分曲线 ，由于 f(z)的连续性，所以|0| = =2if(z0)()0()02.5.1 定理：若 f(z)在区域 D 内解析，C 为 D 内任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于 D，z 0 为 C 内的任一点，有：7f(z0)=12()0例题：1） 2）|=2 |
9、=2 (92)(+)解：=2 isin z|z=0=0 解： =|=292()=2i |z=-i=92 52.6 解析函数的高阶导数：解析函数的导数仍是解析函数，它的 n 阶导数为f(n)(z0)= dz(n=1,2)!2 ()(0)+1其中 C 为 f(z)的解析区域 D 内围绕 z0 的任一条正向简单闭曲线，而它的内部全含于 D.例题： C: =15 |解：由高阶导数的柯西积分公式：原式=2i (ez)(4)|z= =14! 2123.解析函数与调和函数：定义：（1）调和函数：如果二元实函数 (x,y)在区域 D 内具有二阶连续函数，且满足拉普拉斯方程：+ =0，则称 (x,y)为区域 D
10、 内的调和函数。若 f(z)=u+iv 为解析2222 函数，则 u 和 v 都是调和函数，反之不一定正确（2）共轭调和函数:u(x，y)为区域内给定的调和函数，我们把是 u+iv 在 D 内构成解析函数的调和函数 v(x,y)称为 u(x,y)的共轭调和8函数。若 v 是 u 的共轭调和函数，则 -u 是 v 的共轭调和函数关系：任何在区域 D 内解析的函数，它的实部和虚部都是 D 内的调和函数；且虚部为实部的共轭调和函数。3.1 求解方法：（1）偏积分法 ：若已知实部 u=u(x,y),利用 C-R 方程先求得 v 的偏导数 = ，两边对 y 积分得 v= .再由 = 又得 +() + =
11、- 从而 = dx + C () ()v= + dx + C 同理可由 v(x,y)求 u(x,y).3.2 不定积分法：因为 =Ux+i Vx= Ux-iUy= Vy+iVX()所以 f(z)= +c f(z)= +cU() ()3.3 线积分法：若已知实部 u=u(x,y),利用 C-R 方程可得的 dv= dx+ dy=- dx+ 故虚部为v= +C（ ， ）（ 0， 0， ） -+该积分与路径无关，可自选路径，同理已知 v(x,y)也可求 u(x,y).例题：设 u=x2-y2+xy 为调和函数，试求其共轭函数 v(x,y)级解析函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解：利用 C
12、-R 条件=2x+y =-2y+x =2 =-2 22 22所以满足拉普拉斯方程，有9= =2y-x = =2x+y 所以 v= + =2xy- +(2y-x)()22 ()=2x+ =2x+y ()=y = +c()()22v(x,y)=2xy- +c22+22f(z)=u(x,y)+iv(x,y)= (2-i) +iC12 24.留数求积分：留数定义：设 z0 为函数 f(z)的一个孤立奇点，即 f(z)在去心邻域、0 ,我们把 f(z)在 z0 处的洛朗展开式中负一次幂项系数 c-1|0|称为 f(z)在 z0 处的留数，记为 Resf(z),z0即 Resf(z),z0=c-1或者 R
13、esf(z),z0= C 为 0 12() |0|4.1 留数定理：设函数 f(z)在区域 D 内除有限个孤立奇点 z1z2zn,=2i () =1(),其中 zk 表示函数 的孤立奇点()4.2 孤立奇点：定义：如果函数 在 z0 不解析，但在 z0 某个去心邻域 0 () |0|内解析，则称 z0 为 的孤立奇点。 例如 、 都是以 z=0 为孤 ()1 1立奇点函数 以 z=-1、z=2 为孤立奇点 .1（ +1） （ +2）在孤立奇点 z=z0 的去心邻域内，函数 可展开为洛朗级数()=()=（ 0） 10洛朗级数中负幂项是否存在，若存在是有限项还是无限项，这对 f(z)在z0 处的奇
14、异性将起着决定性的作用。讨论孤立奇点 z0 的类型：4.2.1 可去奇点：若函数 f(z)在孤立奇点 z0 的去心邻域内的洛朗展开式中不含负幂项，即对一切 n0 有 cn=0，则称 z0 是 f(z)的可去奇点因为没有负幂项，即 c-n=0,(n=1,2.)故 c-1=0。遇到函数 f(z)的奇点类型是可去奇点 ，一般对函数 求积分一般为零()=2i =0。 () =1(),判断可去奇点方法 ：函数 在某个去心邻域 0 内解析，() |0|则 z0 是 的可去奇点的充要条件是存在极限 =c0，其中()lim0（ ）c0 是一复常数; 在的假设下，z 0 是 f(z)可去奇点的充要条件是：存在 r ，使得 f(z)在 0 r 内有界 |0|4.2.2 极点： 若函数 f(z)在孤立奇点 z0 的去心邻域内洛朗级数展开式中只有有限个负幂项，即有正整数 m，c -m 0，而当 n-m 时c-n=0则称 z0 是 f(z)的 m 级极点。其洛朗展开式是：f(z)= + + +c0+c1(z-z0)（ 0） +1（ 0） +1 10n+m+c0(z-z0)n +这里 c-m 0，于是在 0 有 f(z) |0|= + + +c0+c1(z-z0)n+m+c0(z-z0)n +=（ 0） +1（ 0） +1 10
