1、1复合函数的定义域和解析式以及单调性【复合函数相关知识】1、复合函数的定义如果 是 的函数， 又是 的函数，即 ， ，那么 关于 的 函数yux()yfu()gxyx叫做函数 （外函数）和 （内函数）的复合函数，其中 是中间变量，()fgx()yfu u自变量为 函数值为 。 例如：函数 是由 和 复合而成立。21xyuy21x说明：复合函数的定义域，就是复合函数 中 的取值范围。()fg 称为直接变量， 称为中间变量， 的取值范围即为 的值域。xuu()gx 与 表示不同的复合函数。)(gf)(xf2求有关复合函数的定义域 已知 的定义域为 ，求 的定义域的方法：)(xf)(ba,)(xgf
2、已知 的定义域为 ，求 的定义域。实际上是已知中间变量的 的取值范围，即u， 。通过解不等式 求得 的范围，即为 的定义域。)(bau,)(xg, bxa)( )(xgf 已知 的定义域为 ，求 的定义域的方法：f )(，f若已知 的定义域为 ，求 的定义域。实际上是已知直接变量 的取值范围，)(xb(即 。先利用 求得 的范围，则 的范围即是 的定义域。ba，xa)xg)(xg)(xf3求有关复合函数的解析式已知 求复合函数 的解析式，直接把 中的 换成 即可。)(xf)(f )(f)(已知 求 的常用方法有：配凑法和换元法。g配凑法：就是在 中把关于变量 的表达式先凑成 整体的表达式，再直
3、接把)(fx)(xg换x成 而得 。)(f换元法：就是先设 ，从中解出 （即用 表示 ） ，再把 （关于 的式子）直接代入tgxtxt2中消去 得到 ，最后把 中的 直接换成 即得 。)(xgf )(tf)(tfx)(f4.求复合函数的单调性若 )(xgu)(xfy则 )(xgfy增函数 增函数 增函数减函数 减函数 增函数增函数 减函数 减函数减函数 增函数 减函数即“同增异减”法则5.复合函数的奇偶性一偶则偶，同奇则奇【例题讲解】一、复合函数定义域解析式例 1 设函数 ，求 53)(,2)(xgxf )(),(xfgf例 2 已知 ，求xxf)1(2)12(f例 3 已知 求 ；,)(2f
4、 )(f已知 ，求 112x(xf例 4 若函数 的定义域是 0，1，求 的定义域；)(xf )2(xf若 的定义域是-1，1，求函数 的定义域；12已知 定义域是 ，求 定义域)3(xf5,4)3(xf例 5 已知 ，求 ；xf1)()(f3已知 ，求 21)(xxf)1(f例 6 已知 是一次函数，满足 ，求 ；)(xf 172)()1(3xfxf )(xf已知 ，求 ff4)1(23)(f二、复合函数单调性及其值域初等函数复合求单调区间与值域例 1 已知函数 ，求其单调区间及值域。2513xy变式练习 11.求函数 = 的单调区间及值域)(xf215.0x2.求函数 的单调区间和值域.3
5、421xxy例 2 求 = 的单调区间及值域)(xf2-45x变式练习 2求函数 f(x)= 的单调区间及值域21x4例 3 求 2112(log)l5yxx在 区 间 ,4上 的 最 大 值 和 最 小 值变式练习 31.求函数 的单调区间及值域)45(log)(22xxf2.求函数 的最大值和最小值.2logyx4l2)81(,x含参数的复合函数单调性与值域问题例 4 已知函数 （ 且 ）试讨论其单调性。)253(log)(2xxfa0a1例 5 求函数 的值域。)2(log2xay变式练习 41.讨论函数 的单调性其中 ，且 )1(logxay0a15根据复合函数单调性或值域求参数取值范
6、围例 6 设函数 ，若 的值域为 ，求实数 的取值范围)12lg()xaxf )(xfR例7 已知 在区间 上时减函数，求 的取值范围.)2(logaxy10,a例8 若函数 在区间 上为减函数，求实数 的取值范围.)3(log2axy 21(a,a变式练习 5已知函数 在区间 上是增函数,求 的范围.12axy3a解:令 ,则原函数是由 与 复合而成. 原函数在区间 上是u 12xuuy23,增函数,而外层函数 始终是增函数,则易知内层函数 在区间 上也是增uy2 1ax,函数.而实质上原函数的最大单调增区间是 ,由 得 ,即 .2a3,2,36a【过关检测】1. 求下列函数的定义域、值域及
7、其单调区间：（1） ; （2）)(xf4525)21(4)(xxg2.求下列函数的单调递增区间： （1） ;(2) .26xy62xy63.已知函数 ，如果对于任意 x 都有 成立，试求 的取值范围.)10(log)(axfa, )3,1)(fa4.已知函数 f（x）=log 2(x2-ax-a)在区间 上是单调递减函数.求实数)(log)(2axfa 31,(a的取值范围.5 求函数 的单调区间)32(log15.0xy【考试链接】1.（2008 山东临沂模拟理，5 分）若 ，且 ，则 与 之间的大小关系是（ 1ayaxayxloglogx）A B C D无法确定0yx0yx02.函数 的图
8、象大致是（ ）|1|lne 3 （2008 江苏南通模拟，5 分）设 （ 且 ） ，若 （xfalog)(01a1)()(21nxfxff， ） ，则 的值等于_。Rxi ni,21 )(33231nfx74 （2008 海南海口模拟文、理，5 分）若函数 y=log2（kx 2+4kx+3）的定义域为 R，则实数 k 的取值范围是_。5 （2008 江苏无锡模拟，5 分）给出下列四个命题：函数 （ 且 ）与函数 （ 且 ）的定义域相同；xay01axaylog01a函数 和 的值域相同；3x函数 与 都是奇函数；12xyxy2)(函数 与 在区间 上都是增函数。)(1x),0其中正确命题的序号是：_。 （把你认为正确的命题序号都填上）
