1、 九年级年级数学学科相似三角形知识点 1：相似形1图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动2将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形3形状相同的两个图形叫做相似的图形，即相似形【总结】1相似图形的大小不一定相同，如果两个相似图形的大小相同，则两个相似形全等，当两个多边形是全等形时，它们的对应边的长度的比值都是 1；2对于大小不同的两个相似图形，可以看作是大（小）的图形由小（大）的图形放大（缩小）得到4如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例【注意】1理解相似多边形的定义，明确“对应”关系； 2多边形的相似，要求边数相同，形状相同（对应角相等，对应边的长度成比
2、例）知识点 2：比例线段1一般来说，两个数或两个同类的量 与 相除，叫做 与 的比，记作 ： （或 ），其中 ababab0ba除以 所得的商叫做 与 的比值如果 ： 的比值等于 ，那么 babk=k2两条线段的长度的比叫做两条线段的比3如果 （或 ），那么就说 成比例其中 叫做第一比例项， 叫做第二比例:cd=cabcd、项； 叫做第三比例项； 叫做第四比例项4在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段【注意】要注意比例线段的顺序性与单位要统一5如果比例的两个内项（或两个外项）相同，那么这个相同的项叫做比例中项如 :abc（ ）时， 叫
3、做 和 的比例中项 、 、 满足： :bacbacabc2bac【注意】比例中项的应用一定要注意题目中的表述：比如题目中若出现“线段”或“单位”时，值为正值；否则，取正、负两个值6比例的基本性质：（1）如果 ，那么 =acbdabc（2）比例线段的比例式中，只要乘积形式不变， 的位置可以灵活变化 abcd、若 ，则 、 、 、 、 、 、 acbdacdbc=bac【思考】判断命题“如果 ，那么 ”是真命题还是假命题，为什么？=7合比性质：如果 ，那么 ； bd+db如果 ，那么 ；acac如果 ，那么 ；=bd=+bd如果 ，那么 acac8等比性质：如果 ，那么 （ ）；kbdkbd+0b
4、d如果 ，那么 （ ）=acemfn =acemacekfndfn +0bdfn 【注意】等比性质的存在条件9如果点 把线段 分割成 和 （ ）两段，其中 是 和 的比例中项，那么称这PABPBAPAPB种分割为黄金分割点 称为线段 的黄金分割点 与 的比值 称为黄金分割数，它的近似值512为 0.618【注意】1一般来说，一条线段的黄金分割点有两个；2利用黄金分割时一定是： 51=2、边 长 边长 边 长知识点 3：三角形一边的平行线1三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例 2三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两
5、边所在的直线，截得的三角形 的三边与原三角形的三边对应成比例3三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边AB C B BC CAADDE DEElll4三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边【总结】三角形一边平行线的定理可以理解为两个基本图形：“ ”字形与“8” 字形【注意】在运用判定定理时一定要是两边上的比才能得平行。5平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例【总结】平行线分线段成
6、比例定理可以理解为基本图形：“井”字形6平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等知识点 4：三角形的重心1三角形三条中线的交点叫做三角形的重心2三角形重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍知识点 5：相似三角形的概念1如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三条边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形两个三角形是相似三角形也可以表述为“两个三角形相似”、“一个三角形与另一个三角形相似” 2对应相等的角的顶点是这两个相似三角形的对应顶点，以对应顶点为端
7、点的边是这两个相似三角形的对应边3相似三角形的对应角相等，对应边成比例.两个相似三角形的对应边的比，叫做这个三角形的相似比（或相似系数）.lEDCBA lEDACBlE DACB【注意】两个三角形的相似比与表述这两个三角形相似的顺序有关4两三角形相似用相似符号“”来表示，读作“ 相似于”.例如，在 与 中，若 ， ， ， ，则1ABC212A12B12C111222ABC与 相似，其中点 与点 、点 与点 、点 与点 分别是对应点，记作 1AB212 12【注意】用符号表示两个三角形相似时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“”后的相应位置上.思考：用符号表示两个相似三角形相似时，通常把对
8、应顶点的字母分别写在三角形记号“”后的相应的位置上.所以 就一定意味着点“ ”与点“ ”的对应关系么？ABC DEF AE若已知“ ”或“ 相似于 ”，除非题目中给出点的对应关系，否则不能够确12ABC12BC定点 与点 、点 与点 、点 与点 分别是对应点12 2【总结】全等三角形是相似三角形的特例. 当两个相似三角形的相似比 时，这两个相似三角形就成为全等三1k角形.两个全等三角形一定是相似三角形；两个相似三角形不一定是全等三角形知识点 6：相似三角形的判定1三角形相似的传递性：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似2相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他
9、两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似【总结】直线 截 两边 、 两边所在的直线，截得的三角形 与原三角形 相似.lAAADAB3相似三角形判定定理 1：如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两个三角形相似相似三角形判定定理 2：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似相似三角形判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两个三角形相似4直角三角形相似的判定定理：如果一个直角
10、三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角 三角形相似.简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似.【记忆技巧】类比全等三角形的判定“ 、 ”、“ ”、“ ”、“ ”，相似的判定可以对照来理ASSAHL解记忆.【注意】通过相似的判定应明确：相似只是图形的放缩，与位置无关两个三角形中，如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似注意：因为三角形的高线可能不在三角形内部，所以高线不具备相关的判定推论知识点 7：相似三角形的性质1当我们知道两个三角形是相似的，我们能得到什么结论呢？根据相似三角形的定理，
11、我们可以直接得到相似三角形最基本的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例【思考】 我们一般从哪些角度来讨论一个三角形？我们一般从角和边两方面出发来讨论三角形，当我们知道边角的对应关系之后，那么相关的对应高、对应中线、对应角平分线的比，分别与相似比有什么关系呢？【总结】我们由相似三角形的对应角相等，对应边成比例可以联想到它们对应的特殊线段及周长、面积，这样就形成了对于“对应特殊线段的比”、“ 周长比”、“面积比”分别与相似比之间的关系进行研究探索的三个问题 .整个相似三角形性质的学习内容，就是围绕这些问题展开.【注意】“相似比”是揭示相似三角形本质特征与重要性质的一个基本概念，也是有关几何证
12、明与计算中经常运用的一个数值2. 我们利用相似三角形的判定和相似三角形的基本性质可以得到：相似三角形性质定理 1 相似三角形对应高的比、对应中线的和对应角平分线的比都等于相似比.三角形的周长是三边之和，面积可用一边及这边上的高来表示，可见两个相似三角形的周长比、面积比与相似比之间有直接关系：相似三角形性质定理 2 相似三角形的周长之比等于相似比.相似三角形性质定理 3 相似三角形的面积的比等于相似比的平方.知识点 8：向量的有关概念1规定了方向的线段叫做有向线段有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，我们把前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方
13、向【思考】我们知道线段 与线段 是一样的，那么有向线段 与有向线段 一样吗？如果不一样，那PQPQP么它们有什么差别？2既有大小、又有方向的量叫做向量向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）【思考】在数学中，时间和速度都是向量吗？3向量的表示（1）向量可以用有向线段表示，有向线段的长度就表示向量的长度，有向线段的方向就表示向量的方向如果有向线段 表示一个向量，通常就直接说向量 这个向量的长度记作 ，它是一个数量；AB ABAB（2）向量还可以用一个小写的英文字母在上方加箭头表示，如 、 、 、向量 的长度记作 abcaa【注意】（1）用有向线段表示向量时，通常与有向线段的位置无关，我们把有向线
14、段的起点和终点称为它所表示的向量的起点和终点；（2）两条不同的有向线段分别表示的向量，我们就说是“两个向量”知识点 9：向量的线性运算1. 方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量2方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量向量 的相反向量用 表示aa3方向相同或相反的两个向量叫做平行向量【思考】向量 与 是什么关系？AB4一般地，我们把长度为零的向量叫做零向量，记作 0规定 的方向可以是任意的（或者说不确定）； 0 5长度为 1 的向量叫做单位向量设 为单位向量，则 e1e全等三角形的性质 相似三角形的性质全等三角形的对应角相等，对应边相等全等三角形对应高、对应中线的和对应角平分线都相等
15、全等三角形的周长相等.全等三角形的面积相等.相似三角形的对应角相等，对应边成比例相似三角形对应高的比、对应中线的和对应角平分线的比都等于相似比.相似三角形的周长之比等于相似比.相似三角形的面积的比等于相似比的平方.cabC AB231 3060ABC211 45 ABC对于任意非零向量 ，与它同方向的单位向量记作 ，则 ， a0a0a1【注意】（1） 表示一个向量， 0 表示一个数量，它们是不一样的；0（2）单位向量有无数个，不同的单位向量是指它们的方向不同1零向量 的方向是任意的， 与任何向量都平行2平行向量（1）平行向量不具有传递性，即根据 ， ，只有在 时才可以得到 ；abc0bac（2
16、）方向相同或相反的两个向量叫做平行向量，也可以叫做共线向量；（3）当向量 时，直线 与直线 的位置关系有两种：平行或共线ABCDABCD锐角的三角比知识点 1：锐角的三角比1如图，在 中， ，直角边 和 分别叫做 的对边和邻边RtABC90BCA2（1）直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦=asinc、锐 对 边 边（2）直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦AbcoB、锐 邻 边 边（3）直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切=Catanb、锐 对 边锐 邻 边（4）直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切AcotBa、锐 邻
17、边锐 对 边【记忆技巧】正（正对）弦（斜边）：对边比斜边； 余（余邻“鱼鳞”）弦（斜边）：邻边比斜边知识点 2：特殊角的三角比1特殊角的锐角三角比：【记忆技巧】1图形推导法 2表格记忆法ACcbaBh l仰仰仰 仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰知识点 3：解直角三角形1在直角三角形中，由已知元素求未知元的过程叫做解直角三角形2在 中， 90，则它的三条边和两个锐角这五个元素间有以下关系：RtABC（1）锐角之间的关系： 90；=B（2）三边之间的关系： ；22abc（3）边角之间的关系： ； ； ； Asin、对 边边 Aos、邻 边边 Atan、对 边邻 边 cot、邻 边对 边知识点 4：解直角三角
18、形的应用1水平线：水平面上的直线以及和水平面平行的直线.2铅垂线：垂直于水平面的直线，我们通常称为铅垂线.3在测量时，如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.4如图，坡面的铅垂高度( )和水平宽度( )的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作 ，即 .hl il坡度通常写成 的形式，如 11.51:mi5坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作 .坡度 与坡角 之间的关系 : . iitanl1方向角：以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标的方向线所成的小于90的角，通常表达成北（南）偏东（西）* 度.若正好为 45，则表示为西（东
19、）南（北）方向.2方位角：从标准方向的北端起，顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角.方位角 的取值范围为 . 036二次函数知识点 1：二次函数30 45 60sin12232co3 1tan1 3co31【注意】抛物线的对称轴是一条直线，答题时一定要写直线 .0x【注意】在二次函数中，我们常常会做到平移的题目，一般我们在做平移时都会把二次函数化为顶点式来进行平移的求解。.【记忆技巧】一般地，我们通常做二次函数平移时都会记住“左加右减，上加下减”.其中左右和上下分别代表着平移的方向，若二次函数向左右平移，则在 后进行加减，若二次函数向上下平移，则在 后进行加减mk一般的，解析式形如 （其
20、中 是常数，且 ）的函数叫做二次函数2yaxbcabc、 、 0a【总结】函数的定义给出了基本形式，因此我们通常可以用待定系数法去求解函数解析式，一般有几个未知系数就需要几个点的坐标来求解知识点 2：二次函数的基本性质1抛物线 （其中 是常数，且 ）的对称轴是 轴，即直线 ；顶点是原点抛物线的开口方yax0ay0x向由 所取之的符号决定，当 时，它的开口向上，顶点式抛物线的最低点；当 时，它的开口向下， a顶点式抛物线的最高点2抛物线 （其中 、 是常数，且 ）的对称轴是 轴，即直线 ；顶点坐标是（0， ）.2yaxcacayxc抛物线的开口方向由 所取之的符号决定，当 时，它的开口向上，顶点
21、式抛物线的最低点；当 时，0 0a它的开口向下，顶点式抛物线的最高点3抛物线 （其中 、 是常数，且 ）的对称轴是过点（ ，0）且平行（或重合）于2()yaxmaam轴的直线，即直线 ；顶点坐标是（ ，0）当 时，它的开口向上，顶点式抛物线的最低点；m0当 时，它的开口向下，顶点式抛物线的最高点04抛物线 （其中 、 、 是常数，且 ）的对称轴是过点（ ，0）且平行（或重合）2()yaxkaka于 轴的直线，即直线 ；顶点坐标是（ ， ）当 时，它的开口向上，顶点式抛物线的最低0点；当 时，它的开口向下，顶点式抛物线的最高点05抛物线 （其中 、 、 是常数，且 ）的对称轴是直线 ，顶点坐标是
22、2yaxbcabc0a2bxa（ ， ），与 轴交点为（0， ）.当 时，它的开口向上，顶点式抛物线的最低点；当b4cy时，它的开口向下，顶点式抛物线的最高点0a6一般地，对于抛物线 ，沿着 轴正方向看，可见它的变化情况如下：2axbcx当 时，抛物线在对称轴（即直线 ）左侧部分是下降的，在对称轴的右侧部分是上升的；2ba当 时，抛物线在对称轴（即直线 ）左侧部分是上升的，在对称轴的右侧部分是下降的0ax【注意】图像的上升或下降，是对图像变化情况的直观描述.规定以 轴正方向为参照，一般不说明.x圆知识点 1：圆和扇形1用字母 表示圆的周长， 表示直径长， 表示半径长，那么 Cdr2Cdr2圆上
23、任意两点之间的部分叫做弧3设圆的半径长为 ， 圆心角所对的弧长是 ，那么 rnl180nlr4设圆的半径长为 ，面积为 ，那么 S2r5由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形6设组成扇形的半径长为 ，圆心角度数为 ，弧长是 ，那么 rnl 21=360nSrl、知识点 2：圆的基本性质一、圆的确定：（一）相关定义：1圆是平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形这个定点是圆心联结圆心和圆上任意一点的线段是圆的半径这个定长是圆的半径长2在圆所在的平面上，以圆周为分界线，含圆心的部分叫做圆的内部（简称圆内）；不含圆心的部分叫做圆的外部（简称圆外）【总结】圆既是中心对称图形，
24、又是轴对称图形，其对称中心为圆心，对称轴为过圆心的直线（二）点与圆的位置关系：1一般来说，对于给定的一个圆，平面上的点与这个圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外2设一个圆的半径长为 ，点 到圆心的距离为 ，则RPd点 在圆外 ；Pd点 在圆上 ；点 在圆内 （三）圆的确定：1定理：不在同一直线上的三点确定一个圆2三角形的三个顶点确定一个圆经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形3如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：（一）相关定义：1圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧2联结圆上任意两点的线段叫做弦过圆心的弦就是直径
