1、微积分练习册第八章 多元函数微分学习题 8-1 多元函数的基本概念1.填空题：（1）若 ，则yxxyftan),(2 _),(tyf（2）若 ，则xyf),(2(,3)_,(1)ffx（3）若 ，则)0()(2f_)(xf（4）若 ，则2,yxyf,yf（5）函数 的定义域是_)1ln(42z（6）函数 的定义域是_yx(7)函数 的定义域是_zarcsi（8）函数 的间断点是_xy22.求下列极限：（1） xyyx4lim0(2) yxsinl0(3) 220)(co1liyxyx3.证明 0lim2)0,(, yx4.证明：极限 不存在0li24)0,(,yxyx5.函数 在点（0，0）处
2、是否连续？为什么(,), ,01sin),(2yxxyf习题 8-2 偏导数及其在经济分析中的应用1.填空题（1）设 ，则 ;yxztanl_,yzz（2）设 ，则 ;)(ex_,x（3）设 ，则 ;zyu ,_, zuyuu（4）设 ，则xactn _, 222 yxz（5）设 ，则 ;zyu)(_yu（6）设 在点 处的偏导数存在，则,xf),ba_()(lim0 xfax2.求下列函数的偏导数 yz)1()zxu)arcsin()2(3.设 ，求函数在（1，1）点的二阶偏导数yz4.设 ，求 和)ln(xyz2323x5. ，试化简)1(yxez226.试证函数 在点（0，0）处的偏导数
3、存在，但不连续.),(, ,03),(2yxyxf习题 8-3 全微分及其应用1.X 公司和 Y 公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别为： QYPxPx4160;510公司 X、Y 现在的销售量分别是 100 个单位和 250 个单位。（1） X 和 Y 当前的价格弹性是多少？（2） 假定 Y 降价后，使 增加到 300 个单位，同时导致 X 的销量 下降到 75Qx个单位，试问 X 公司产品的交叉价格弹性是多少？(利用弧交叉弹性公式： )/1212PyQxErx2.假设市场由 A、B 两个人组成，他们对商品 X 的需求函数分别为：IKDPIDBA /;/)(r（1）
4、商品 X 的市场需求函数；（2）计算对商品 X 的市场需求价格弹性；若 Y 是另外一种商品， 是其价格，求商Pr品 X 对 Y 的需求交叉弹性3.求下列函数的全微分（1） tsu（2）设 ，求zyxf1)(,( ),(df（3） ，求当 的全增量 和全微ln2z 2.0,1.,2yxyz分 d4.计算 的近似值33)97.1()02.(习题 8-4 多元复合函数的求导法则1.填空题（1）设 而 ，则vuzln2yxy23, _,yzxz（2）设 而 ，则)si(xartdt（3）设 ,而 ，则12zyeuxzacos,sin_u（4）设 ,而 ，则)arctn(xzxe_d（5）设 ，则,2y
5、fu _,yuu（6） ，则),(xzf _（1） 2n2.设 具有二阶连续导数，求fyxfyfxz),()(yxz23.设 具有二阶连续偏导数，求fyfz),(2xz4.设 ，具有二阶连续偏导数，求 .fxfz),2( yxz25.设 ，具有二阶连续偏导数，求feyfzx),cos,(in 2xz7.设 与 有二阶连续导数，且 ，证明：fg )()(atgtxfz22zatx习题 8-5 隐函数的求导公式1.填空题：（1）设 ，则2lnarctnyxyx_d（2）设 ，则02xyzx _,yzxz（3）设 ，则zln_,y（4）设 ，则zxy_,zx2.设 ，求zey23.设 ，求33axx
6、z24.设 ，求zyzy3)sin(2yzx5.设 ，求2032zyxzd,6.设 ，而 是由方程 所确定的 的函数，求),(tf 0),(tyxFyx,dxy7.设由方程 确定 ，F 具有一阶连续偏导数，证明：),zyxF,zxyz8.设 ，都是由方程 所确定的有连续偏),(),(),(yzx 0),(zyxF导数的函数，证明： 1xz习题 8-6 多元函数的极值及其应用1.填空题：（1） z 驻点为_gyxyxz422（2） 的极_值为_2)(),(f（3） 的极_值为_2yxey（4） 在适合附加条件 下的极大值为_xyz1yx（5） 在 上的最大值为2),(fu1,2yxD_，最小值为
7、_2.从斜边长为 L 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.班级：姓名：学号：3.旋转抛物面 被平面 截成一椭圓，求原点到该椭圆的最长与2yxz1zyx最短距离微积分练习册第八章 多元函数微分学4.某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养 （万尾） ，乙种鱼放养 （万尾） ，收获时两xy种鱼的收获量分别为 ，求使产鱼总量最大的)0(,)24(,)3( yyx放养数班级：姓名：学号：5.设生产某种产品需要投入两种要素，和分别为两要素的投入量，Q 为产出量：若生产函数为 ，其中 为正常数，且 ，假设两种要素的价格分别为21x, 1和 ，试问：当产出量为 12 时，两要素各投入多少可以使得投入总费用
8、最小？1p2微积分练习册第九章 二重积分习题 9-1 二重积分的概念与性质1.填空题（1）当函数 在闭区域 D 上_时，则其在 D 上的二重积分必定存在),(yxf（2）二重积分 的几何意义是_Dd（3）若 在有界闭区域 D 上可积，且 ，当 时，则),(yxf 210),(yxf；21 ),(_),(DD dyxfdyxf 当 时，则021 ),(_Ddyxf（4） ，其中 是圆域 的面积，_)sin(2Ddyx 224（注：填比较大小符号）162.比较下列积分的大小：(1) 与 其中积分区域 D 是由 轴， 轴与直线DdyxI21)(DdyxI32)( xy所围成(2) 与 ，其中1ln(
9、)DIxyd 22ln()DIxyd10,53,3.估计下列积分的值（1） ，其中()DIxyd20,1),(yxy（2） ，其中2(49)DIxy 4),(2yxD4求二重积分 221xyd5.利用二重积分定义证明（其中为 常数）(,)(,)DDkfxydkfxydk习题 9-2 利用直角坐标计算二重积分1.填空题（1） 其中323()_Dxyd 10, yxD：(2) 其中 D：顶点分别为 的三角形cos ),()(（闭区域(3)将二重积分 ，其中 D 是由 轴及上半圆周 所围成的(,)Dfxydx)0(22yrx闭区域，化为先 后 的积分，应为_（4）将二重积分 ，其中 D 是由直线 及
10、双曲线 所(,)Dfxyd 2,xy)0(1xy围成的闭区域，化为先 后 的积分，应为_（5）将二次积分 改换积分次序，应为_dyxfd2 2 1),(（6）将二次积分 改换积分次序，应用_sin2- 0,（7）将二次积分 改换积分次序，应为2 2 1 12 -lny(1)(,),e ydfxdfxd _（8）将二次积分 ，改换积分次序，应为xfxfyy3 1 020 1 ),(),(_2.计算下列二重积分：(1) ,其中2xyDeddycbxay,),(2) ,其中 D 是由直线 ，及 所围成的闭区域.() 2x2(3) ,其中Ddxy2 0,1yx（3.计算二次积分 1 0yxed4.交换
11、积分次序，证明： axama dfedxf0)(0 y )-m(a(5.求由曲面 及 所围成的立体的体积.2xz26z习题 9-3 利用极坐标计算二重积分1.填空题（1）把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分 ; xy dxyyf22 _)arctn,( DyxdeD _,41),( 22（2）化下列二次积分为极坐标系下的二次积分2 20 ()_,(0)axdfyda 1 ; 230 (arctn)xfy2 1 ,_.d2.计算下列二重积分(1) ,其中 D 是由圆周 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭2ln(1)Dxy 12yx区域.(2) ,其中 D 是由曲线 与直线 所围成的闭区域.Dd
12、xy2 2xyxy(3) ,其中 D 是由圆周 所围成的闭区域22DR R2(4)(2) ,其中(2) .2xyd3:2yx3.计算二重积分 ，其中 D 由不等式 确定（注2()Dx 0,22yRxR意选用适当的坐标）4.计算以 面上的圆周 围成的区域为底，而以曲面 为顶xoy2(0)xya2yxz的曲顶柱体的体积微积分练习册第十章 微分方程与差分方程习题 10-1 微分方程的基本概念1.填空题（1）方程 称为_阶微分方程0ln3)(42xyyx（2）设 是方程 的通解，则任意常数的个数),21cyxy2n=_（3）设曲线 上任一点 的切线垂直于此点与原点的连线，则曲线所满足的微)(xy),(
13、x分方程_（4）设曲线 上任一点 的切线在坐标轴间的线段长度等于常数 a，则曲线所)(),(y满足的微分方程_（5）某人以本金 元进行一项投资，投资的年利率为 ，若以连续复利计，t 年后资0p金的总额为 _)(t（6）方程 可化为形如_微分方程 0xyd2.已知 满足微分方程 ，问 C 和 K 的取值应如何？ktceQ.03Qt3.、若可导函数 满足方程 ，将（1）式两边求导，)(xf 0()2()1()xftfd 得 22)( xf易知 为任意常数）是（2）的通解，从而 为（1）的解，对吗？cex( ()xfce4.证明： 是微分方程 的通解.yln102yx习题 10-2 一阶微分方程(一)1.求下列微分方程的通解：（1） 2xy(2)230ye
