1、1zz 大学物理习题及解答习题一16 r与 有无不同? tdr和 有无不同? tdv和 有无不同?其不同在哪里?试举例说明解：（1） 是位移的模， r是位矢的模的增量，即 r12， 12r；（2） tdr是速度的模，即 tdvts.只是速度在径向上的分量.有 r（式中 叫做单位矢） ，则 trtddr式中 td就是速度径向上的分量， tr与不同如题 1-1 图所示. 题 1-1 图(3) tdv表示加速度的模，即 tvad， 是加速度 a在切向上的分量.有 (表轨道节线方向单位矢） ，所以 tvtd式中 dtv就是加速度的切向分量.(r与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论)17 设质点的运
2、动方程为 x= (t)， y= (t)，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出 r2yx，然后根据 v= trd，及 a 2tr而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即v=22tyt及 =22dtytx你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有 jyixr，2jtyitxrav22dd故它们的模即为 2222dtytxattvyxyx而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作 2dtrtrv其二，可能是将 2dtr与误作速度与加速度的模。在 1-1 题中已说明 trd
3、不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样， 2dtr也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一部分 22dtrta径。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢 r在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢 r及速度 v的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。18 一质点在 xOy平面上运动，运动方程为 x=3t+5, y= 21t2+3 -4.式中 t以 s 计， , 以 m 计(1)以时间 为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出=1 s 时刻和 t2s 时刻的位置矢量，计算这 1 秒内质点的位移；(3)计算 t0 s 时刻到 4s 时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量
4、表示式，计算 t4 s 时质点的速度；(5)计算 t0s 到 4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算 t4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)解：（1） jtitr)4321()53(m(2)将 t, 2代入上式即有 ji.081r25.43(3) jij167,50 14 sm0rtv (4) 1sm)3(djitrv则 jiv741s3(5) jivjiv73,4024sm1ta(6) djta这说明该点只有 y方向的加速度，且为恒量。19 质点沿 x轴运动，其加速度和位置的关系为 a2+
5、6 2x， 的单位为 2sm， x的单位为 m. 质点在 0 处，速度为 10 1s,试求质点在任何坐标处的速度值解： vtxtvadd分离变量： x)62(d两边积分得 cv321由题知， 0x时， , 50 13sm2x110 已知一质点作直线运动，其加速度为 a4+3 t2，开始运动时， x5 m， v=0，求该质点在 t10s 时的速度和位置解： ttv4d分离变量，得 )3(积分，得 12ctv由题知， 0t,v, 01c故 234t又因为 dtxv分离变量， tx)234(d积分得 2321ctx由题知 0t, 5x, 2c故 132t所以 st时 m705120s93410 12
6、xv1.11 一质点沿半径为 1 m 的圆周运动，运动方程为 =2+3 3t， 式中以弧度计， t以秒计，求：(1) t2 s 时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45角时，其角位移是多少?4解： tt18d,9d2(1) s2t时， 2sm3618Ra2229)(n(2)当加速度方向与半径成 45角时，有145tann即 R2 亦即 8)9(2则解得 93t于是角位移为rad67.293t1.12 质点沿半径为 的圆周按 s201btv的规律运动，式中 s为质点离圆周上某点的弧长, 0v， b都是常量，求： (1) 时刻质点的加速度；(2) t为何值时，加速度在数值上等于
7、 解：（1） btvts0dRtvan202)(则 2422bt加速度与半径的夹角为 20)(arctnbtv(2)由题意应有 242Rb即 0)(,)(402402 btvtv当 bvt0时， a1.14 一船以速率 130kmh -1沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率 2v40kmh -1沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?解：(1)大船看小艇，则有 121v，依题意作速度矢量图如题 1-13 图(a)题 1-13 图5由图可知 1212 hkm50vv方向北偏西 87.364arctnrt2(2)小船看大船，则有 12，依题意作出速度矢量图如题 1-13
8、 图(b)，同上法，得5012v1hk方向南偏东 o87.36习题二2.7 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为 1m的物体，另一边穿在质量为 2m的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度 a下滑，求 1m， 2相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计)解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为 1a，其对于 2则为牵连加速度，又知2m对绳子的相对加速度为 ，故 2对地加速度，由图(b)可知，为 1又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力 f在数值上等于绳的张力 T，由牛顿定律
9、，有 11amTg22 联立、式，得 211212)()magTfa讨论 (1)若 0a，则 21表示柱体与绳之间无相对滑动(2)若 g2，则 fT，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时 1m, 2均作自由落体运动题 2-1 图2.8 一个质量为 P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为 ）上以初速度 0v运动， 0的方向与斜面底边的水平线 AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道解: 物体置于斜面上受到重力 mg，斜面支持力 N.建立坐标：取方向为 X轴，平行斜面与 X轴垂直方向为 Y轴.如图 2-2.6题 2-2 图X方向： 0xF tvx0 Y方向： yymagsin 0t时 2i1t由、式消去
10、t，得 220sinxgvy2.9 质量为 16 kg 的质点在 xO平面内运动，受一恒力作用，力的分量为 xf6 N， yf-7 N，当 t0 时， 0， x-2 ms -1， yv0求当 t2 s 时质点的 (1)位矢；(2)速度解： 2sm8316fax7y(1) 20 1sm87216453dtavyyxx于是质点在 s2时的速度 145ji(2) m874134)167(2)42(1220ji jijtattvryx210 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力 kv( 为常数)作用， t=0 时质点的速度为 0v，证明(1) t时刻的速度为 vtke)(0；(2) 由 0 到
11、 t的时间内经过的距离为 x( km)1-tmke)(；(3)停止运动前经过的距离为)(0kv；(4)证明当 kmt时速度减至 0v的1，式中 m 为质点的质量7答: (1) tvmkad分离变量，得 v即 tk0mktevlnl tk0(2) t tt mkmkeex0 )1(d(3)质点停止运动时速度为零，即 t，故有 00kvtvmk(4)当 t= km时，其速度为 evevkm0100即速度减至 0v的 e1.2.11 一质量为 m的质点以与地的仰角 =30的初速 0v从地面抛出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量解: 依题意作出示意图如题 2-6 图题 2.11 图在
12、忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下,而抛物线具有对 y轴对称性，故末速度与 x轴夹角亦为 o30，则动量的增量为vmp由矢量图知，动量增量大小为 0v，方向竖直向下2.12 一质量为 m的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞并在抛出 1 s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等求小球与桌面碰撞过程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒?解: 由题知，小球落地时间为 s5.0因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大小为 gtv5.01，小球上跳速度的大小亦为 gv5.02设向上为
13、 y轴正向，则动量的增量 12mp方向竖直向上，大小 mp)(128碰撞过程中动量不守恒这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒2.13 作用在质量为 10 kg 的物体上的力为 itF)210(N，式中 t的单位是 s，(1)求 4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量(2)为了使这力的冲量为 200 Ns，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度 j6ms-1的物体,回答这两个问题解: (1)若物体原来静止，则 ititFp 10401 smkg56d)21(d,沿 x轴正向，
14、 ipIv11s.若物体原来具有 61s初速，则 tt FvmFvmp0000 d)d(,于是 tpp12,同理， 1, 2I这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理(2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即 t ttI020d)(亦即 12解得 s10t，( s2t舍去)2.14 一质量为 m的质点在 xOy平面上运动，其位置矢量为 jtbitarsnco求质点的动量及 t0 到 2t 时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量解: 质点的动量为 )cossi(jttmvp将 t和 2t分
15、别代入上式，得 jb1, iap2,则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为 )(1jbI 2.15 一颗子弹由枪口射出时速率为 0smv，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 F =( bta)N( ,为常数)，其中 t以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量(3)求子弹的质量解: (1)由题意，子弹到枪口时，有 0)(btaF,得 bat(2)子弹所受的冲量9t btatbI021d)(将 bat代入，得 bI2(3)由动量定理可求得子弹的质量 00vam2.16 一炮弹质量为 ，以速率 v飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，
16、爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为 T，且一块的质量为另一块质量的 k倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率分别为 v+k2, v-T证明: 设一块为 1m，则另一块为 2，1m及 21于是得 ,2k又设 1的速度为 1v, 2的速度为 v，则有 2211vTm 联立、解得 12)(kvv将代入，并整理得 21kT于是有 mv将其代入式，有 kT22又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取 kmvv,21证毕2.17 设 N67jiF合(1) 当一质点从原点运动到 1643kjir时，求 F所作的功(2)如果质点到 r处时需 0.6s，试求平均功率(3)如果质点的质量为 1kg，试求动能的变
17、化解: (1)由题知， 合 为恒力， )1643()67(kjijirFA合J524110(2) w756.04tAP(3)由动能定理， JEk2.18 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内 1 cm，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同解: 以木板上界面为坐标原点，向内为 y坐标正向，如题 2-13 图，则铁钉所受阻力为题 2-13 图 kyf第一锤外力的功为 1Assfyf102dd式中 f是铁锤作用于钉上的力， 是木板作用于钉上的力，在 0t时， f设第二锤外力的功为 2，则同理，有 212dykykA由题意，有 )(212mv即 ky所以， 2于是钉子第二次能进入的深度为 c41.01y2.19 设已知一质点(质量为 m)在其保守力场中位矢为 r点的势能为 nPrkE/)(, 试求质点所受保守力的大小和方向解: 1d)(nkrEF方向与位矢 r的方向相反，即指向力心2.20 一根劲度系数为 1k的轻弹簧 A的下端，挂一根劲度系数为 2k的轻弹簧 B， 的下端一重物 C， 的质量为 M，如题 2.20 图求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比解: 弹簧 BA、 及重物 受力如题 2.20 图所示平衡时，有
