1、1大 学 生 数 学 竞 赛 （ 非 数 学 类 ） 试 卷 及 标 准 答 案考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分.题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分满 分 20 5 10 15 10 10 15 15 100得 分一、填空（每小题 5 分，共 20 分）.(1)计算 = .)cos1(lim0xx(2)设 在 连续，且 存在，则 = .()fx22)3lixf(2f(3)若 ，则 .txtt)1(lim(tf(4)已知 的一个原函数为 ，则 = .)f 2ln()xfd（1） . (2) 3 . (3) . (4) .2te21(Cx2ln二、 （5 分
2、）计算 ，其中dxyD2.10yx，：解： = + - 2 分dxyD2dyxD)(21:2:)(xDd= + -4 分x)(201 x)(02= -5 分.3姓名：身份证号：所在院校：年级：专业：线封密注意：1 .所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效.2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.得分 评阅人得分 评阅人2三、 （10 分）设 ，其中 具有二阶)(sin2xfyf导数，求 .2dx解： -3 分),(cos)(22xffxdy-7 分)(sin)(4)(cos4 222222 xfxfxffffx = -10 分.i)()(cos)( 22222
3、fffxfxff 四、 （15 分）已知 ，求 的值.312ln0dxeax a解： -3 分)23(213ln0ln0 xaxaxx edde令 ，所以tx2-6 分teaax 231ln0= -7 分at231= ，-9 分)(3由 ，故 = ，-12 分2ln0dxeax 1)23(1a3即 =0-13 分3)(亦即 -14 分a所以 -15 分.2得分评阅人得分评阅人3五、 （10 分）求微分方程 满0xey足条件 的特解.eyx1解：原方程可化为-2 分xey1这是一阶线性非齐次方程，代入公式得-4 分Cdexeyxd11= -5 分xlnln= -6 分Cdex1= .-7 分)(
4、所以原方程的通解是 .-8 分)(1Cexy再由条件 ，有 ，即 ，-9 分eyx1 0因此，所求的特解是 .-10 分.xy六（10 分） 、若函数 在 内具有二阶导()fx,ab数，且 ，其中123(f，证明：在 内至少有一点 ，使 。123axb13(,)x()0f证：由于 在 内具有二阶导数，所以 在 上连续，)(f,a)(xf,21在 内可导，再根据题意 ，,(21x)(21fxf由罗尔定理知至少存在一点 ，使 =0；-3 分,)(1同理，在 上对函数 使用罗尔定理得至少存在一点 ，23,x)(xf ),(32x使 =0； -6 分)(f得分评阅人得分评阅人姓名：身份证号：所在院校：
5、年级：专业：线封密4对于函数 ，由已知条件知 在 ， 上连续，在（ ， ）)(xf )(xf1212内可导，且 = =0，由罗尔定理知至少存在一点 （ ， ） ，1)(2f 使 ，而 ， ） ，故结论得证-10 分.0)(f ),31x七、 （15 分）已知曲线 和直线，xeysin， 围成平面图形 .0x1D（1）求平面图形 的面积 ；DA（2）求 绕 轴旋转所成立体的体积. 解：（1） -2 分10(sin)xAed-4 分10co-5 分s2（2）因为 ，-6 分baxdxfV)(所以 -9 分exsin(102= -11 分120i4x= -13 分2sin)1(2e= .-15 分.)i(2八、 （15 分）设 有连续的一阶),(zyxfu偏导数，又函数 及 分别)(x由下列两式确定：和 ，求 .2xyedtezx0sinux解： ， （1）-4 分zfyfdu 得分评阅人得分评阅人姓名：身份证号：所在院校：年级：专业：线封密5由 两边对 求导，得2xyex=0，-7 分)()(dyy即 -9 分xd又由 两边对 求导，得tezx0sinx，-11 分)1()si即 -13 分)sin(zxedz将其代入（1）式，得 .-15()1sinxdufyezfx分.
