1、习题解答习题一1-1 与 有无不同? 和 有无不同? 和 有无不同?其不同在哪里?rtdrtdv试举例说明解：（1） 是位移的模， 是位矢的模的增量，即 ， ；rrr1212r（2） 是速度的模，即 .tdtdvts只是速度在径向上的分量.tr有 （式中 叫做单位矢） ，则r trtddr式中 就是速度径向上的分量，trd 不同如题 1-1 图所示. trd与 题 1-1 图(3) 表示加速度的模，即 ， 是加速度 在切向上的分量.tdvtvada有 表轨道节线方向单位矢） ，所以(tvtdd式中 就是加速度的切向分量.dtv( 的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论)tr与1-2 设质点的运
2、动方程为 = ( )， = ( )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求xtyt出 r ，然后根据 = ，及 而求得结果；又有人先计算速度和加速2yxvtrda2tr度的分量，再合成求得结果，即= 及 = 你认为两种方法哪一种v22tytx 22dtytx正确？为什么？两者差别何在？解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有 ，jyixrjtyitxrav22dd故它们的模即为 222222dtytxattvyxyx而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作 2dtratrv其二，可能是将 误作速度与加速度的模。在 1-1 题中已说明
3、不是速度的模，2dtr与 trd而只是速度在径向上的分量，同样， 也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中2dtr的一部分 。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢 在径向22dtrta径 r（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢 及速度 的方向随间的变化率对速度、rv加速度的贡献。1-3 一质点在 平面上运动，运动方程为xOy=3 +5, = 2+3 -4.xty1t式中 以 s计， , 以m计(1)以时间 为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t=1 s 时刻和 2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算 0 s时刻到t t4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速
4、度矢量表示式，计算 4 s 时质点的速度；(5)t计算 0s 到 4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算 4s t t时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)解：（1） jtitr)4321()53(m(2)将 , 代入上式即有t2jir5.081m42jr.31(3) ijr67,540 14 sm5320jijtv (4) 1sm)3(djitrv则 jiv741s(5) ji3,4024sm1jvta(6) 2djta这说明该点只有 方向的加速度，且为恒量。y1-4 在离水面高h米的岸上，有人用
5、绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示当人以(m )的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小0v1s图1-4解： 设人到船之间绳的长度为 ，此时绳与水面成 角，由图可知l22sh将上式对时间 求导，得t题 1-4 图tstld2 根据速度的定义，并注意到 , 是随 减少的， tsvtlvd,0船绳即 cosd0ltst船或 vhlv02/120)(船将 再对 求导，即得船的加速度船vt 32020 020)(ddsvhsl vsltsltva船船1-5 质点沿 轴运动，其加速度和位置的关系为 2+6 ， 的单位为 ， 的单xa2x2smx位为 m. 质点在 0处，速度为10 ,试求质
6、点在任何坐标处的速度值1sm解： xvttvadd分离变量： )62(两边积分得 cxv321由题知， 时， ,0xv50c 13sm2x1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 4+3 ，开始运动时， 5 m，at2x=0，求该质点在 10s 时的速度和位置vt解： ttv34d分离变量，得 tvd)34(积分，得 12ct由题知， , ,0tv01c故 234tv又因为 dtx分离变量， tx)234(d积分得 2321ctx由题知 , ,0t5x2c故 523tx所以 时s1t m705120s93410 12xv1-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 =2+3 ， 式中以
7、弧度计， 以秒3tt计，求：(1) 2 s 时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45t角时，其角位移是多少?解： tt18d,9d2(1) 时， s2t 2sm3618Ra2229)(n(2)当加速度方向与半径成 角时，有451tann即 R2亦即 tt18)9(则解得 923t于是角位移为 rad67.23t1-8 质点沿半径为 的圆周按 的规律运动，式中 为质点离圆周上某点的Rs201btvs弧长, ， 都是常量，求：(1) 时刻质点的加速度；(2) 为何值时，加速度在数值上等0vbt t于 解：（1） btvts0dRtvatn202)(则 24022)(btn加速度
8、与半径的夹角为 20)(arctbtvRn(2)由题意应有 2402)(Rtba即 )(,)(402402 btvtv当 时，bvt0a1-9 半径为 的轮子，以匀速 沿水平线向前滚动：(1)证明轮缘上任意点 的运动方程R0v B为 ， ，式中 / 是轮子滚动的角速度，当x)sin(ttyR)cos1(t0vR与水平线接触的瞬间开始计时此时 所在的位置为原点，轮子前进方向为 轴正方向；BBx(2)求 点速度和加速度的分量表示式解：依题意作出下图，由图可知)sin(2coi0tRtvtx题 1-9 图(1) )cos1()cos1(2ty(2)sindco1(tRtyvxtvRatyyxxdco
9、si21-10 以初速度 20 抛出一小球，抛出方向与水平面成幔60的夹角，01m求：(1)球轨道最高点的曲率半径 ；(2)落地处的曲率半径 1R2R(提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)解：设小球所作抛物线轨道如题 1-10 图所示题 1-10 图(1)在最高点， o016csvx2mgan又 12van m10)60cos(22nv(2)在落地点，,202v1s而 o6c2gan m80s10)(222nv1-11 飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度为 =0.2 rad ，求 2s时边缘2st上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度解：当 时， s2t 4.02.t1
10、srad则 16.04.Rv1s 064.).(22Ran 2sm840 2222 s1.).()6.( n1-12 如题 1-12 图，物体 以相对 的速度 沿斜面滑动， 为纵坐标，开始ABvgyy时 在斜面顶端高为 处， 物体以 匀速向右运动，求 物滑到地面时的速度AhuA解：当滑至斜面底时， ，则 , 物运动过程中又受到 的牵连运动影响，yhvA2 B因此， 对地的速度为 jghighuA )sin2()cos2( 地题 1-12 图1-13 一船以速率 30kmh -1沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率 40kmh -11v 2v沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船
11、的速度又为何?解：(1)大船看小艇，则有 ，依题意作速度矢量图如题 1-13 图(a)121v题 1-13 图由图可知 1212 hkm50vv方向北偏西 87.364arctnrt2(2)小船看大船，则有 ，依题意作出速度矢量图如题 1-13 图(b)，同上法，得12v50121hkm方向南偏东 o87.361-14 当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2 m的甲板上，篷高4 m 但当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3 m ，如雨滴的速度大小为8 ms -1，求轮船的速率解： 依题意作出矢量图如题 1-14 所示题 1-14 图 船雨雨 船 vv 船雨 船雨 由图中比
12、例关系可知1sm8雨船 v习题二2-1 因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为 a1，其对于 m2则为牵连加速度，又知 m2对绳子的相对加速度为 a，故 m2对地加速度，由图(b)可知，为a2=a1-a 又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力 f 在数值上等于绳的张力 T，由牛顿定律，有m1g-T=m1a1 T-m2g=m2a2 联立、式，得 211212)()magTfaag讨论 (1)若 a=0，则 a1=a2表示柱体与绳之间无相对滑动(2)若 a=2g，则 T=f=0，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时 m1,m2均作自由落体运动题 2-1 图2-2 以梯子为对象，其受力图如图(b)所示，则在竖直方向上，NB-mg=0 又因梯无转动，以 B 点为转动点，设梯子长为 l，则NAlsin-mg cos=0 2l在水平方向因其有加速度 a，故有f+NA=ma 题 2-2 图式中 f 为梯子受到的摩擦力，其方向有两种可能，即 f= 0mg 联立、式得 )(2tan,)(2tan00ggMm2-3 28316smfx27mfay
