1、1.1 一质点在 Oxy平面内运动，运动方程为 )SI(53tx，)SI(432/tty。 （1 ）以时间 t为变量，写出质点位矢的表达式；（2）求出质点速度分量的表达式，并计算 st时，质点速度的大小和方向；（3）求出质点加速度分量的表达式，并计算出 时，质点加速度的大小和方向。解：（1） )I(5x， )SI(4/2tty质点位矢的表达式为： jttijixr)432/5；（2）m/s3)(tdtvx，m/s)3(tdtyvs4t， /s3， 7yv， /6.7/s582yx设 是 v和 x的夹角，则 3tanxy， .6；（3）2/s0)3(dta，2/s1)3(tdtvys4t，2m/
2、s0x， 1ya，2myxa方向沿 y轴方向。1.2 质点在 O平面内运动，运动方程为 )SI(3t， )SI(2t。 （1）写出质点运动的轨道方程；（2） st时，质点的位矢、速度和加速度。解：（1）质点运动方程 )SI(3tx， 2ty，质点运动的轨道方程为：9/xy或 218xy；（2） jtitjir)()2， st时： jir6v23， s时： iv43ja， t时： ja1.3 质点沿直线运动，其坐标 x与时间 t有如下关系： )SI(costAext（ A和皆为常量） 。 （1）求任意时刻质点的加速度；（ 2）质点通过原点的时刻 。解：（1） )SI(costAext， )sin
3、co(-e(t- ttdtvtx ， sin2cos()sice 2- ttAeta tt （2） 0ostAxt，21(， .,0n1.4 物体在水平面上以 60的倾角抛出，初速度为 v，求任意时刻物体的切向加速度和法向加速度的大小。解： 60cos0vx 021v， 021x；iny 3，g0v60gtvgtvy0023；物体运动到任意位置，和 x轴方向的夹角为 20202 )3()1(singtvvyx ，20202 )3()1(cos gtvvyx； 2202020 3)()3()1(sin)2cos( tgvgtvgga oo 2202020 3)3()1(cos)2sin( tgv
4、gtvgga oo1.5 在离水面高为 h的岸边，有人用绳拉船靠岸，船在离岸边 s处，当人以 0速度收绳时，如图所示，试求船的速度大小和加速度大小各是多少？解： 22xhr两边对时间 t求导得：dtrxvdtxtr2式中 v是船速的 分量，)(020xhvdtr，320xdta，当 s时， 02vs； 320shva。或：由 tr式再求导得xadttvdtr 2020)(x lh 0v 32020xvhva1.6 一质点沿半径为 R的圆周按规律201btvs运动， 0v和 b都是常量。 （1）求t时刻质点的总加速度；（2） t为何值时总加速度在数值上等于 ；（3）当加速度达到b时，质点已沿圆周
5、运行了多少圈？解：（1）201btvs，tv0； dta， Rbtvan202)(；tvRn 4022)(，方向与速度方向成 ，)(arct0bt（2）bRtv402)(， bvtvo0（3） bto，ts210， Rsn4)2/(201.7 一质点在半径为 0.10m 的圆周上运动，其角位置为： )SI(3t。 （1）求在s0.2t时质点的法向加速度和切向加速度；（2）当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时， 值为多少？（ 3） t为多少时，法向加速度和切向加速度的值相等？解： 34210.mR（1） tRaRttn2422 t时： /8./. smsan（2）2，当 时有：242)(
6、1tt224 )43)(1)4(tRt 上，得： st61.0代入 5.3t（3） t22，得 st50.1.8 竖直上抛一小球，若空气阻力的大小是重力的 0.1 倍，求小球上升到最高点所用的时间与从最高点落到原位置所需的时间之比。解：上升阶段：htg21.，下落阶段：htg29.11.902t，9.032t1.9 一质点在 Oxy平面内运动，运动方程为 tx4， 210ty，求质点的位置矢量与速度矢量恰好垂直的时刻。解： jtitr)210()4，jtidtjtitdtrv 4/)()2，质点的位置矢量与速度矢量垂直要求： 0104 ，则有 03863ttt ，解得 3t1.10 质量为 m
7、的机动车，在恒定的牵引力 F的作用下工作，它所受的阻力与其速率的平方成正比，它能达到的最大速率是 mv，试计算从静止加速到 2/mv所需的时间以及所能走过的路程。解：机动车所受合力为： dsvtdstakf 2，当合力为 0时，机动车的速度达到最大值 mv， 02kF， kFm，dtavFkf)1(2，/02/00 11vvmt，设sinm， vmcos，当 2/mv时， 2sin， 6；6/02/06/00 )taln(ec1 vmtd3l)6tancosl(mvvtF3l2Fvtmdsvakvf2， /0201vmsd，/022/02 )ln(m vmsF， 34ln2Fvs1.11 一质
8、点在水平面内沿半径 R的圆轨道转动，转动角速度 与时间 t的关系0.1mgmg上升阶段0.1mgmg下降阶段为 2At（ 为常量） ，已知 s1t时，质点的速率大小为 m/s4，求 s2t时质点的速率和加速度的大小。解： 2Rtv， 时， RAv， st时， /s642A，2m/s16tda，218an，22/95n1.12 质量为 的小球，在水中所受浮力的大小为常量 F。当它从静止开始沉降时，受到水的阻力 kvf（ 为常量） 。以沉降开始计时，求小球在水中竖直沉降的速度与时间的关系。解： dtvaFg， dtvmkg，tkmvk)(，kFv001et-g1.13 质量为 6的物体置于光滑水平
9、面上，在大小为 )SI(43t的水平力作用下，沿 x轴运动，当 0t时， 0x， 0v。求 st时，物体的速度、加速度和位置坐标。解： amtF643， 643， t时：2/s5.6a， m/s5.4)31(030 tdttv 2.9)21( 322tttts1.14 小滑块沿固定光滑的四分之一圆弧，从 A 点由静止开始下滑，圆弧半径为 R，求小滑块在 A 点处的切向加速度大小 a，及小滑块在 B 点处法向加速度的大小 na。解：A 点： gaB 点根据机械能守恒有：21mvRv2gRan1.15 一条长为 l，质量均匀分布的细链 AB，挂在半径可忽略的光滑钉子 C 上，开始处于静止状态，BC
10、 段长为 L（ll213） ，释放后链条将做加速运动，试求当ABCABRl32BC时链条的加速度大小和运动速度大小。解：细链线密度为 ，滑落过程中在运动切线方向有： dtvlgxl)(，glxtva)12(当 32时， 3， dxglvgldtxvt )2(，lLux320)(，)9(2lL。1.16 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力为时间 t的函数，SI1485tF，子弹质量为 g，假设子弹离开枪口合力刚好为零，求子弹从枪口射出时的速率。解： kmt02.05 02.18)148( 5050 ttdtvdtIt 式中 是子弹出口时刻， F， st/05，代入 v中得：sv 2./).12.8
11、( 25。1.17 质量为 m的子弹以速度 0v水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为 k，忽略子弹的重力，求：（）子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；（）子弹进入沙土的最大深度（）子弹进入沙土后受力为 ，由牛顿定律dtvk vdt， vtdmk00mkte/0（）求最大深度解法一： tx tek/0tmkxdevd0/0 mktv/1ma 解法二： dxtxvt dkx， 00mavk v/0ma 1.18 一人从 1深的水井中提水，开始时桶中装有 10.kg的水，桶的质量为 1.0kg。由于水桶漏水，每升高 .漏去 .2g的水。求把水桶匀速地从井中提到井
12、口，人所作的功。解： h.dhmgdhFW8.9)20.1(10100J8.98.9( 101.19 一链条总长度为 l，质量为 ，放在桌面上，并使其下垂，下垂一端的长度为 a。设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为 。令链条由静止开始运动，则：（1）到链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条作的功；（2）链条离开桌面时的速率。解：（）建坐标 ox如图，摩擦力的功 lafdxfW，某一时刻的摩擦力为： xlmgf/， la laf almgldlgW221（）以链条为对象，应用质点的动能定理： 021v其中： fp， 0v， lgxdlPWalap 2， 由上问知：2almgf，所以：2221mvallm
13、g得： /12/lv1.20 在倾角为 30的光滑斜面上，质量为 .8k的物体由静止开始下滑，到达底部时将一个沿斜面放置的劲度系数 N/0k的弹簧压缩了 0.2后达到瞬时静止，求：（1）物体达瞬时静止前在斜面上滑过的路程；（2）它与弹簧开始接触时的速率。解：（1）物体下滑重力势能的减小量等于弹簧压缩后的弹性势能。 30sinmgl21x， 2.08.9l， m54.l（2）3si12gv ).(l， /s2.6v1.21 一人造卫星绕地球作椭圆运动，近地点为 A，远地点为 B。A 和 B 两点距地心分别为 1r和 如图所示。设地球质量为 M，卫星的质量为 ，万有引力常数为 G，求卫星在 A、B
14、 两点处万有引力势能之差和动能之差。al1.19 图Oxm0.2m30aLa解： 1rGMmEpA， 2rEpB引力势能之差： )(21rpBA动能之差：)()( 21rGEEpkBA 1.22 已知地球质量为 M，半径为 R，质量为 m的火箭从地面上升到距离地面高度为R3处，求在此过程中，地球引力对火箭作的功。解：引力对火箭作的功，等于引力势能的减小量： Gmp1， )3(2p， RGREW412。1.23 如图所示的圆锥摆，质量为 的小球在水平面内以角速度 匀速转动，在小球转动一周过程中，小球所受绳子张力的冲量是多少？解：合力冲量=（拉力+重力）的冲量，即 上上上II而 0vmI上，所以)
15、(2jmgjt上上1.24 子弹的速度为 时，击穿一块木块后速度恰好变为零，设木板对子弹的阻力是恒定的，那么当子弹射入木板的深度为其厚度的 n/1时，子弹的速度是多少。解： 阻力做功等于动能的减小量：2vFl221xvnlF，。1.25 地球的质量为 m，太阳的质量为 M，地心与日心的距离为 R，引力常量为 G，求地球绕太阳做圆周运动的轨道角动量。解：地球受到太阳的万有引力为： 2RG，则加速度 Ran2， 3地球转动过程中的转动惯量为 2mJ，TA BM1r 2r地球绕太阳做圆周运动的轨道角动量为：GMRmRJL321.26 设作用在质量为 1.0kg的物体上的力 )SI(6tF。如果物体在
16、这一力的作用下，由静止开始沿直线运动，求在 s到 2.0的时间间隔内，这个力作用在物体上冲量的大小。解： FdtI，Ns18)3()36(0.2.0 tdtI1.27 两个质量分别为 1m和 2，不受外力作用，它们之间的相互作用符合万有引力定律。开始时，两质点间距离为 l，处于静止状态。试求两质点的距离变为 2/l时，它们各自的速度大小。解：看作一个整体，系统动量守恒，能量守恒，021v， )2(2111lmGlvm，lmGv)(2， lG)(2121.28 一半圆形的光滑槽，质量为 M，半径为 R，放在光滑的桌面上。一小物体质量为 m，可在槽内滑动，初始位置如图所示，半圆槽静止，小物体静止于
17、与圆心同高的 A处。求：（1）小物体滑到任意位置 C 处时，小物体对半圆槽及半圆槽对地的速度各为多少；（2）当小物体滑到半圆槽最低点 B 时，半圆槽移动了多少距离？解：（1）设球相对槽运动的速度为 1v，槽对地的速度为 2v，OC 与 OA 间的夹角为 。小球相对与地的速度分量分别为： 21sinvx， cos1y，能量守恒：小球下落势能减小转变为小球的动能和槽的动能。有：22121 )i()cos(2sinMvvmgR水平方向系统的动量守恒，有： v得：21sin)(Mgv， 2sin)(sinmgR。（2） 221siv，dtvdt21si， tmdtvn，lMR，。1.29 将一块质量为
18、 的平板 PQ 放在劲度系数为 k的轻弹簧上，如图所示。现有一MR OB CAm质量为 m的小球放在光滑的桌面上，桌面与平板 PQ 的高度差为 h，现给小球一个水平初速度 v。小球与平板的碰撞为完全弹性碰撞。求弹簧的最大压缩量是多少？解：整个过程分为三个阶段：小球平抛下落 h，小球和平板 PQ 碰撞，平板 PQ 获得一定的初速度压缩弹簧。下落过程： 0vx， gy2碰撞过程动量守恒，能量守恒。考虑 y方向有：Mmvy，2211Mvmy，解得碰撞后，平板获得的速度为：ghv压缩过程：初始压缩量为 0x， k， kx0，压缩过程机械能守恒有（重力势能和弹性势能零点都选在弹簧原长处）： 2002002 )(1)(11ggv 解得： kMhmkx2.1 一飞轮的转动惯量为 J，初始角速度为 0。飞轮受阻力矩 M的大小与角速度的平方成正比，比例系数 .0k求：当 3/，飞轮的角速度；以及从制动开始到3/0所经历的时间。阻力矩： 2M，根据转动定理： dtJ，3/2000dtJkt， 031tk， 02kJm 0vhP QM
