1、 高等数学公式1 / 12高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：2221cos1sin udxtguxux ， ， ， axactgxxctgln1)(logs)(es)(2 221)(1)(arcosinxarctgxxCaxaxdshcxadCxctgxctgddxx)ln(lnsseesineco2222CaxadxaxadxCrctgtxxdctgCrcsinl21n1slsenilcos22Caaxdaxx aaxdaIndInnn rcsinl22)(1cossi2 22222020高等数学公式2 / 12一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式：诱导公式：函数
2、角 A sin cos tg ctg- -sin cos -tg -ctg90- cos sin ctg tg90+ cos -sin -ctg -tg180- sin -cos -tg -ctg180+ -sin -cos tg ctg270- -cos -sin ctg tg270+ -cos sin -ctg -tg360- -sin cos -tg -ctg360+ sin cos tg ctg和差角公式： 和差化积公式： 2sini2cosco2sin2sincoictgtctg1)(1sincos)cos(ini xarthcxsechstxeshxxx1ln2)(l:2:2）双
3、曲 正 切双 曲 余 弦双 曲 正 弦 .59047182.)1(limsin0exx高等数学公式3 / 12倍角公式：半角公式： cos1insico12cos1insico12 scsssin tgtg 正弦定理： 余弦定理： RCBbAa2iiin Cab22反三角函数性质： rctgxarctgxxxarcosrcsi 高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式： )()()2()1()(0)()( !)1()! nknnnnnkk uvuknvuvuCv 中值定理与导数应用： 拉 格 朗 日 中 值 定 理 。时 ， 柯 西 中 值 定 理 就 是当柯 西 中 值 定 理 ：拉 格
4、朗 日 中 值 定 理 ：xFfabfab)(F)()( )曲率： .1;0.)1(limMsM:.,13202aKayds MsKtgydxs 的 圆 ：半 径 为直 线 ：点 的 曲 率 ： 弧 长 。：化 量 ；点 ， 切 线 斜 率 的 倾 角 变点 到从平 均 曲 率 ： 其 中弧 微 分 公 式 ： 23313cos4cosiniintgt22 2221sicosin1cossinitgtt高等数学公式4 / 12定积分的近似计算： ba nnnba nnba n yyyyxff yyxf )(4)(2)(3)( 21)()( 13124011010 抛 物 线 法 ：梯 形 法
5、：矩 形 法 ：定积分应用相关公式：。babadtfxfykrmFApsW)(1),221均 方 根 ：函 数 的 平 均 值 ： 为 引 力 系 数引 力 ：水 压 力 ：功 ：空间解析几何和向量代数： 。代 表 平 行 六 面 体 的 体 积 为 锐 角 时 ，向 量 的 混 合 积 ： 例 ： 线 速 度 ：两 向 量 之 间 的 夹 角 ： 是 一 个 数 量 轴 的 夹 角 。与是向 量 在 轴 上 的 投 影 ：点 的 距 离 ：空 间 ,cos)( .sin,cos,Pr)(Pr ,cos)()()(2 2222121 21212121 bacbaccba rwvkjic bab
6、ababjjj uABABzyxMzyxzyxzyx zyxzyx zyxzyxuu 高等数学公式5 / 12（ 马 鞍 面 ）双 叶 双 曲 面 ：单 叶 双 曲 面 ：、 双 曲 面 ： 同 号 ）（、 抛 物 面 ：、 椭 球 面 ：二 次 曲 面 ： 参 数 方 程 ：其 中空 间 直 线 的 方 程 ： 面 的 距 离 ：平 面 外 任 意 一 点 到 该 平、 截 距 世 方 程 ：、 一 般 方 程 ： ， 其 中、 点 法 式 ：平 面 的 方 程 ： 13,2211 ;,1302 ),(,)()()(12222 0000 2200 0000 czbyaxqpzyxcba pt
7、znymxpnmstpznymxCBADzyxdczbyaxDCBA zyxMCBAnz多元函数微分法及应用zyzx yxxyxyxFzyxF dFdddyvdvyudxvxzuxzfz tvtdttvu xffzdzududyxzd ， ， 隐 函 数 ， ， 隐 函 数隐 函 数 的 求 导 公 式 ： 时 ，当 ：多 元 复 合 函 数 的 求 导 法全 微 分 的 近 似 计 算 ： 全 微 分 ： 0),( )()(,),(),()(, ),(),(2高等数学公式6 / 12),(1),(1,)(,)( ,)(0),(yuGFJyvvyGFJyuxxxx GFvuFvJvuyxF v
8、u 隐 函 数 方 程 组 ：微分法在几何上的应用： ),(),(),(3 0)(,(,2 )(),()(1,0),( ,0),( 0)()()( (,)(000 0000 000 0000 zyxFzyxzyxF zyxFzyxzyxzyxnMzyxF GFGFTGzyxFztytxt tyxzytzytx zzyxzy 、 过 此 点 的 法 线 方 程 ： ：、 过 此 点 的 切 平 面 方 程、 过 此 点 的 法 向 量 ： ， 则 ：上 一 点曲 面 则 切 向 量若 空 间 曲 线 方 程 为 ：处 的 法 平 面 方 程 ：在 点 处 的 切 线 方 程 ：在 点空 间 曲
9、线 方向导数与梯度： 上 的 投 影 。在是单 位 向 量 。 方 向 上 的， 为， 其 中：它 与 方 向 导 数 的 关 系 是 的 梯 度 ：在 一 点函 数 的 转 角 。轴 到 方 向为其 中 的 方 向 导 数 为 ：沿 任 一 方 向在 一 点函 数 lyxflf ljieyxflf jyfxyxpyxfzl yffllfz),(grad snco),(grad,),(),( sinco),(),( 多元函数的极值及其求法： 不 确 定时 值时 ， 无 极为 极 小 值为 极 大 值时 ，则 ： ， 令 ：设 ,0),( ),(,),(,),(0),(),(202 0000BA
10、CyxA CyxfByxfAfff xyx高等数学公式7 / 12重积分及其应用： DzDyDx zyxDyDx DyxDD adfaFayxdfFayxdfF FMzo IyI dxydyxzAyxfzrdrfdf232232232 2222 )(,)(,)(, )0( ),(,),(,),(1),()sin,co(),( ， ， ， 其 中 ：的 引 力 ：轴 上 质 点平 面 ） 对平 面 薄 片 （ 位 于 轴 对 于轴对 于平 面 薄 片 的 转 动 惯 量 ： 平 面 薄 片 的 重 心 ：的 面 积曲 面柱面坐标和球面坐标： dvyxIdvzxIdvzyI MMyxM drrFd
11、drrFdyzf vrxzrfzF dzrFdxyzfryx zyx )()()( 1,1,1 sin),(sin),(),( siicosin),si,(),( ,),(,(,sinco 222 20),022 2， ， 转 动 惯 量 ： ， 其 中 重 心 ： ， 球 面 坐 标 ：其 中 ： 柱 面 坐 标 ：曲线积分： )()()(),(),( ,)(, 22 tyxdtttfdsyxf tytxLfL 特 殊 情 况 ： 则 ： 的 参 数 方 程 为 ：上 连 续 ，在设 长 的 曲 线 积 分 ） ：第 一 类 曲 线 积 分 （ 对 弧高等数学公式8 / 12。， 通 常 设
12、 的 全 微 分 ， 其 中 ：才 是 二 元 函 数时 ，在 ：二 元 函 数 的 全 微 分 求 积 注 意 方 向 相 反 ！减 去 对 此 奇 点 的 积 分 ， ， 应。 注 意 奇 点 ， 如， 且内 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数在，、 是 一 个 单 连 通 区 域 ；、 无 关 的 条 件 ：平 面 上 曲 线 积 分 与 路 径 的 面 积 ：时 ， 得 到， 即 ：当 格 林 公 式 ：格 林 公 式 ： 的 方 向 角 。上 积 分 起 止 点 处 切 向 量 分 别 为和， 其 中系 ：两 类 曲 线 积 分 之 间 的 关 ， 则 ：的 参 数 方 程 为设 标
13、 的 曲 线 积 分 ） ：第 二 类 曲 线 积 分 （ 对 坐 0),(),(),( ),( )0,(),(),(21 212, )()( cos()(),),(),(),( 0),0 yxdyxQyPyxu uQyPxQGyxPG ydxdxyADPQQPdyxdyxL dQPttttPyxdyPLx DLDLL 曲面积分： dsRQPRdxyQzPdyxzdzxyQyzPdxzxRxyzR dxyzRzdxyyP dfszfzxyzy xyDDD )cosco(),(,),( ),(),( ),(),( ),(1),( 22 系 ：两 类 曲 面 积 分 之 间 的 关 号 。， 取
14、曲 面 的 右 侧 时 取 正 号 ；， 取 曲 面 的 前 侧 时 取 正 号 ；， 取 曲 面 的 上 侧 时 取 正 ， 其 中 ：对 坐 标 的 曲 面 积 分 ：对 面 积 的 曲 面 积 分 ：高斯公式： dsAvsRQPdsAnzRyx szvzPnn i )cocos( .,0div,di )s()(成 ：因 此 ， 高 斯 公 式 又 可 写 ，通 量 ： 则 为 消 失的 流 体 质 量 ， 若即 ： 单 位 体 积 内 所 产 生散 度 ： 通 量 与 散 度 ：高 斯 公 式 的 物 理 意 义 高等数学公式9 / 12斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系： dstAR
15、zQdyPxARQPzyx yPxQRzPyzQPxdxyzdy RdzyPxRPzQyR 的 环 流 量 ：沿 有 向 闭 曲 线向 量 场旋 度 ： ， ， 关 的 条 件 ：空 间 曲 线 积 分 与 路 径 无上 式 左 端 又 可 写 成 ： kjirot coscos)()()( 常数项级数： 是 发 散 的调 和 级 数 ：等 差 数 列 ：等 比 数 列 ： nqqnn13212)(12 级数审敛法： 散 。存 在 ， 则 收 敛 ； 否 则 发、 定 义 法 ： 时 ， 不 确 定时 ， 级 数 发 散时 ， 级 数 收 敛， 则设 ：、 比 值 审 敛 法 ： 时 ， 不
16、确 定时 ， 级 数 发 散时 ， 级 数 收 敛， 则设 ： 别 法 ） ：根 植 审 敛 法 （ 柯 西 判、 正 项 级 数 的 审 敛 法 nnnnsusUulim;31li21lim211 。的 绝 对 值其 余 项， 那 么 级 数 收 敛 且 其 和如 果 交 错 级 数 满 足 莱 布 尼 兹 定 理 ：的 审 敛 法或交 错 级 数1113243 ,0li )0,( nnn n urrusuu绝对收敛与条件收敛：高等数学公式10 / 12时 收 敛 时 发 散 级 数 ： 收 敛 ； 级 数 ： 收 敛 ；发 散 ， 而调 和 级 数 ： 为 条 件 收 敛 级 数 。收 敛
17、 ， 则 称发 散 ， 而如 果 收 敛 级 数 ；肯 定 收 敛 ， 且 称 为 绝 对收 敛 ， 则如 果 为 任 意 实 数 ；， 其 中1)1(1)()2()1(232pnpnuun 幂级数： 01)3(lim)3(111 1121032 RaaRRxxaxaxx nnnn 时 ，时 ，时 ，的 系 数 ， 则是， 其 中求 收 敛 半 径 的 方 法 ： 设 称 为 收 敛 半 径 。， 其 中时 不 定时 发 散时 收 敛， 使在数 轴 上 都 收 敛 ， 则 必 存 收 敛 ， 也 不 是 在 全， 如 果 它 不 是 仅 在 原 点 对 于 级 数 时 ， 发 散时 ， 收 敛 于 函数展开成幂级数： nnn nnxfxffxfx RfR xfxfxfx !)0(!2)0()(0)(0 lim,()!1 )(!)(!)()10( 00)(2000时 即 为 麦 克 劳 林 公 式 ： 充 要 条 件 是 ：可 以 展 开 成 泰 勒 级 数 的余 项 ：函 数 展 开 成 泰 勒 级 数 ：一些函数展开成幂级数： )()!12()!53sin )1(1(1)( 2 xnxxx nmmm 欧拉公式： 2sincosicoixiiiix exe 或三角级数：
