1、六年级奥数第三讲工程问题顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量=工作效率工作时间，工作时间=工作量工作效率，工作效率=工作量工作时间。工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数 1 表示，也可工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。例 1 单独干某
2、项工程，甲队需 100 天完成，乙队需 150 天完成。甲、乙两队合干 50 天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位 1。甲队单独干需 100 天，甲的工作效例 2 某项工程，甲单独做需 36 天完成，乙单独做需 45 天完成。如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了 18 天才完成任务。问：甲队干了多少天？分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干 18 天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。例 3 单独完成某工程，甲队需 10 天，乙队需 15 天，丙队需 20 天。开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结
3、果一共用了 6 天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天？分析与解：乙、丙两队自始至终工作了 6 天，去掉乙、丙两队 6 天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了例 4 一批零件，张师傅独做 20 时完成，王师傅独做 30 时完成。如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做 60 个零件。这批零件共有多少个？分析与解：这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间，例 5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管 5 时可将空池灌满，单开排水管 7 时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管 1 时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？例 6 甲、乙二人同时从
4、两地出发，相向而行。走完全程甲需 60 分钟，乙需 40 分钟。出发后 5 分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了 5 分钟。甲再出发后多长时间两人相遇？分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。甲出发 5 分钟后返回，路上耽误 10 分钟，再加上取东西的 5 分钟，等于比乙晚出发15 分钟。我们将题目改述一下：完成一件工作，甲需 60 分钟，乙需 40 分钟，乙先干 15 分钟后，甲、乙合干还需多少时间？由此看出，这道题应该用工程问题的解法来解答。1.某工程甲单独干 10 天完成，乙单独干 15 天完成，他们合干多少天才可完成
5、工程的一半？2.某工程甲队单独做需 48 天，乙队单独做需 36 天。甲队先干了 6 天后转交给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了 10 天，将工程做完。求乙队在中间单独工作的天数。3.一条水渠，甲、乙两队合挖需 30 天完工。现在合挖 12 天后，剩下的乙队单独又挖了 24 天挖完。这条水渠由甲队单独挖需多少天？则完成任务时乙比甲多植 50 棵。这批树共有多少棵？5.修一段公路，甲队独做要用 40 天，乙队独做要用 24 天。现在两队同时从两端开工，结果在距中点 750 米处相遇。这段公路长多少米？6.蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需 18 时注满，单开乙管需 24 时注满。如果要求
6、 12 时注满水池，那么甲、乙两管至少要合开多长时间？7.两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需 8 时，比快车从40 千米。求甲、乙两地的距离。答案与提示 练习 52.14 天。3.120 天。6.8 时。提示：甲管 12 时都开着，乙管开7.280 千米。一、 单独修一条公路，甲工程队需 100 天完成，乙工程队需 150 天完成。甲、乙两工程队合修50 天后，余下的工程由乙工程队单独做，还需几天才能完成？解：设全部工程量为“1”，则甲队的工作效率为： ，乙队的工作效率为： ，余下的工作量为： 。故还需： （天）。答：余下的工程由乙独做还需 25 天完成。（综合算式为： （天）二
7、、 单独完成某项工程，甲、乙、丙三人分别需 10 小时、15 小时、20 小时，开始三人一起干，后因工作需要，甲中途调走了，结果共用了 6 小时完成了这项工作。问甲实际工作了多少小时？解法一：甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，丙的工作效率为 ，由此得，甲实际的工作时间为：（小时）。解法二：甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，丙的工作效率为 ，由此得，甲实际的工作时间为：（小时）。三、 一件工作，甲 5 小时完成了全部工作的 ，乙 6 小时又完成剩下工作的一半，最后，余下的工作由甲、乙合做，还需几小时才能完成？解：甲的工作效率为： ，乙的工作效率为： ，余下的工作量为： ，甲、 乙的工作效率和
8、为： 。于是，还需 （小时）。答：还需 小时才能完成任务。（综合算式： （小时）四、 一项工程，甲单独做 9 小时完成，乙单独做需 12 小时。如果按照甲、乙、甲、乙、甲、乙的顺序轮流工作，每天每次工作 1 小时。那么，完成这项工程共需要几小时？解：甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，甲工作 1 小时，乙再工作 1 小时，即一个循环完成工作量为 ，由 知，最多可以有 5 次循环，而 5 次循环将完成工作量： ，还剩下 的工作量，剩下的工作量甲仅需（小时）即可完成。因此，共需 （小时）完成这项工程。五、 一批零件，甲独做 20 小时完成，乙独做 30 小时完成。如果甲、乙两人同时做，那么完成任务
9、时乙比甲少做 60 个零件。这批零件共有多少个？解：甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，两人合做所需时间为： （小时）。甲、乙两人的工作效率之差为 。从而两人的工作量的差为 。这 的工作量为 60 个零件，因此，共有零件 （个）。综合算式为： （个）答：这批零件共有 300 个。六、 一项工程，甲单独做需 12 天完成，乙单独做需 9 天完成。若甲先做若干天后乙接着做，共用 10 天完成，则甲做了多少天？一、 某工程，甲队单独做 24 天完成，乙队单独做 30 天完成。甲、乙两队合做 8 天后，余下的工作由丙队单独做，又做了 6 天才完成。问这项工程由丙队单独做需几天完成？解： （天）。答：余
10、下的工程由丙队单独做需 15 天完成。二、 一项工程，甲队独做 20 天完成，乙队独做 30 天完成。现由两队一起做，其间甲队休息了 3天，乙队也休息了若干天，这样，从开始到工程完成共用了 16 天。问乙队休息了多少天？解： （天）。三、 一件工程，小明 4 小时完成了全部工作的 ，小军 5 小时又完成了剩下任务的 ，最后余下的部分由小明与小军合做。问完成这项工作共用多少小时？解： （小时）。答：完成这项工作共用了 小时。四、 一件工程，甲独做需 24 小时，乙独做需 18 小时。若甲先做 2 小时，然后乙接替甲做 1 小时，再由甲接替乙做 2 小时，再由乙独做 1 小时两人如此交替工作。问完
11、成任务时共用多少小时？解：甲做 2 小时，乙做 1 小时为一个循环。一个循环完成工作量： ，七个循环完成工作量： ，余下的工作量由甲完成，需： （小时）。于是，完成这项任务共需： （小时）。答：完成任务时共用 小时。五、 有一批待加工的零件，甲单独做需 4 天，乙单独做需 5 天，如果两人合作，那么完成任务时，甲比乙多做了 20 个零件。问这批零件共有多少个？解：完成任务所需的时间为 （天），此时，甲比乙多完成工作量 ，于是，这批零件共有 （个）。答：这批零件共有 180 个。六、 单独完成一件工程，甲需要 24 天，乙需要 32 天。若甲先独做若干天后乙单独做，则共用26 天完成工作。问甲做
12、了多少天？七、 打印一份稿件，甲单独打需 50 分钟完成，乙单独打需 30 分钟完成。现在甲单独打若干分钟后乙接着打，共 42 分钟打完。问甲完成了这份稿件的几分之几？一、 单独修一条公路，甲工程队需 100 天完成，乙工程队需 150 天完成。甲、乙两工程队合修50 天后，余下的工程由乙工程队单独做，还需几天才能完成？解：设全部工程量为“1”，则甲队的工作效率为： ，乙队的工作效率为： ，余下的工作量为： 。故还需： （天）。答：余下的工程由乙独做还需 25 天完成。（综合算式为： （天）二、 单独完成某项工程，甲、乙、丙三人分别需 10 小时、15 小时、20 小时，开始三人一起干，后因工
13、作需要，甲中途调走了，结果共用了 6 小时完成了这项工作。问甲实际工作了多少小时？解法一：甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，丙的工作效率为 ，由此得，甲实际的工作时间为：（小时）。解法二：甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，丙的工作效率为 ，由此得，甲实际的工作时间为：（小时）。答：甲实际工作了 3 小时。三、 一件工作，甲 5 小时完成了全部工作的 ，乙 6 小时又完成剩下工作的一半，最后，余下的工作由甲、乙合做，还需几小时才能完成？解：甲的工作效率为： ，乙的工作效率为： ，余下的工作量为： ，甲、 乙的工作效率和为： 。于是，还需 （小时）。答：还需 小时才能完成任务。（综合算式： （
14、小时）四、 一项工程，甲单独做 9 小时完成，乙单独做需 12 小时。如果按照甲、乙、甲、乙、甲、乙的顺序轮流工作，每天每次工作 1 小时。那么，完成这项工程共需要几小时？解：甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，甲工作 1 小时，乙再工作 1 小时，即一个循环完成工作量为 ，由 知，最多可以有 5 次循环，而 5 次循环将完成工作量： ，还剩下 的工作量，剩下的工作量甲仅需（小时）即可完成。因此，共需 （小时）完成这项工程。五、 一批零件，甲独做 20 小完成，乙独做 30 小时完成。如果甲、乙两人同时做，那么完成任务时乙比甲少做 60 个零件。这批零件共有多少个？解：甲的工作效率为 ，乙的工
15、作效率为 ，两人合做所需时间为： （小时）。甲、乙两人的工作效率之差为 。从而两人的工作量的差为 。这 的工作量为 60 个零件，因此，共有零件 （个）。综合算式为： （个）答：这批零件共有 300 个。六、 一项工程，甲单独做需 12 天完成，乙单独做需 9 天完成。若甲先做若干天后乙接着做，共用 10 天完成，则甲做了多少天？一、 答：甲做了 4 一、甲、乙、丙三人合挖一条水渠，甲、乙合挖 5 天挖了水渠的 ，乙、丙31合挖 2 天挖了余下的 ，剩下的又由甲、丙合挖 5 天刚好挖完，问甲、乙、丙三人单独挖这条1水渠分别需要多少天？解：甲、乙的工作效率之和为 ，153乙、丙的工作效率之和为
16、，24甲、丙的工作效率之和为 。10531由此可知，甲、乙、丙三人的工作效率之和为。812015从而甲的工作效率为 ，2418乙的工作效率为 ，01丙的工作效率为 。75于是，甲单独完成需 24 天，乙单独完成需 40 天，丙单独完成需 天。7120答：甲、乙、丙单独完成这条水渠分别需 24 天、40 天、 天。71二、 将一空池加满水，若同时开启 1、2、3 号进水管，则 20 分钟可以完成；若同时开启2、3 、 4 号进水管，则 21 分钟可以完成；若同时开启 1、3 、4 号进水管，则 28 分钟可以完成；若同时开启 1、2 、4 号进水管，则 30 分钟可以完成。求若同时开启 1、2
17、、3、4 号进水管，则需多少分钟可以完成？若单开 1 号进水管，则多少分钟可以完成？解：1、 2、3 号进水管的工作效率和为 ，202、3 、 4 号进水管的工作效率和为 ，11、3 、 4 号进水管的工作效率和为 ，81、2 、 4 号进水管的工作效率和为 。30相加后除 3 即得 1、2、3、4 号进水管的工作效率和：。80820从而同时开启 1、2 、3、4 号进水管需时（分） 。81再结合前面的条件可知，1 号进水管的工作效率为26于是，单开 1 号进水管需时 （分） 。126答：同时开启 1、2 、3、4 号进水管，需时 18 分钟。单开 1 号进水管需时 126 分钟。三、 单独完
18、成一件工作，甲比规定时间提前 2 天完成，乙则要比规定时间推迟 3 天完成。如果先让甲、乙两人合做 2 天，再由乙单独完成剩下的工作，那么刚好在规定时间完成。问甲、乙两人合干需多少天完成？规定时间是几天？解：由题设知,乙比甲多用 2+3=5(天),且甲做 2 天相当于乙做 3 天,即乙所需时间为甲所需时间的倍,从而,甲所需时间为 (天) 。2310235（这是差倍问题） ，乙所需时间为 （天） ，5于是，甲、乙合做需时 （天） 。610规定时间为 10+2=12（天） （或 15-3=12（天） ） 。答：甲、乙合做需 6 天，规定时间为 12 天。四、 一件工作甲先做 6 小时，乙再接着做
19、12 小时可以完成；甲先做 8 小时，乙接着做 6 小时也可以完成。问：如果甲先做 3 小时，那么乙再做几小时就可以完成？甲、乙单独完成分别要多少小时？解：比较可知，甲 1 小时的工作量等于乙 3 小时的工作量，由此，甲单独做需：6+123=10（小时） 。乙单独做需：12+36=30（小时） 。若甲先做 3 小时，则乙还需做12+3（6-3）=21 （小时） ，或 3（10-3）=21（小时） 。答：甲先做 3 小时，乙再做 21 小时完成；甲、乙单独完成分别需 10 小时、30 小时。五、 甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人轮流去做，恰好整数天完成。若按乙、丙、甲的顺序每人一天轮流去做，则比原计划多用 天；若按丙、甲、乙的顺序每人21一天轮流去做，则比原计划多用 天。已知甲单独做完这件工作要 13 天，问：甲、乙、丙三人31
