1、1第 1 讲 与相交有关概念及平行线的判定考点方法破译1了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.2掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.3掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.经典考题赏析【例 1】如图，三条直线 AB、CD、EF 相交于点 O，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？【解法指导】对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.有 6 对对顶角. 12 对邻补角.【变式题组】01如
2、右图所示，直线 AB、CD、EF 相交于 P、Q 、R ，则：ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .中有几对对顶角，几对邻补角？02当两条直线相交于一点时，共有 2 对对顶角；当三条直线相交于一点时，共有 6 对对顶角；当四条直线相交于一点时，共有 12 对对顶角.问：当有 100 条直线相交于一点时共有 对顶角.【例】如图所示，点 O 是直线 AB 上一点，OE、OF 分别平分BOC、AOC求EOF 的度数；写出BOE 的余角及补角.【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】OE、OF 平分BOC、AOC EOC 21BOC
3、 ，FOC 21AOC EOFEOCFOC BOC AOCAOCB21又BOCAOC180 EOF 2118090 BOE 的余角是：COF、 AOF；BOE 的补角是：AOE.【变式题组】01如图，已知直线 AB、CD 相交于点 O，OA 平分EOC ，且EOC100，则BOD 的度数是（ ）A20 B 40 C50 D8002 （杭州）已知12362，则4 .【例】如图，直线 l1、l2 相交于点 O，A、B 分别是 l1、l2上的点，试用三角尺完成下列作图：经过点 A 画直线 l2 的垂线.画出表示点 B 到直线 l1 的垂线段.【解法指导】垂线是一条直线，垂ABCDEFA BCDEFP
4、Q RA BCEFOEA ACDO（第 1 题图）1 43 2（第 2 题图）ABO l2l12线段是一条线段.【变式题组】01P 为直线 l 外一点，A 、B、C 是直线 l 上三点，且PA4cm，PB5cm ，PC6cm，则点 P 到直线 l 的距离为（ ）A4cm B 5cm C不大于 4cm D不小于 6cm02 如图，一辆汽车在直线形的公路 AB 上由 A 向 B 行驶，M、N 为位于公路两侧的村庄；设汽车行驶到路 AB 上点 P 的位置时距离村庄 M 最近.行驶到 AB 上点 Q 的位置时，距离村庄 N 最近，请在图中的公路上分别画出点 P、Q 的位置.当汽车从 A 出发向 B 行
5、驶的过程中，在 的路上距离 M 村越来越近.在的路上距离村庄 N 越来越近，而距离村庄越来越远.【例】如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OECD，OFAB，DOF65，求BOE 和AOC 的度数.【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：AOF90，OFAB 【变式题组】01如图，若 EOAB 于 O，直线 CD 过点 O，EODEOB13，求AOC、AOE 的度数.02如图，O 为直线 AB 上一点，BOC3AOC ，OC 平分AOD求AOC 的度数；试说明 OD 与 AB 的位置关系.03如图，已知 ABBC 于 B，DB EB 于 B，并且
6、CBEABD 12，请作出CBE 的对顶角，并求其度数.【例】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称：1 和2：1 和3：1 和6：2 和6：2 和4：3 和5：3 和4：FBA OCDECDBAEOB ACDOABAEDCFEBAD142 3 653【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.【变式题组】01如图，平行直线 AB、CD 与相交直线 EF，GH 相交，图中的同旁内角共有（ ）A4 对 B 8 对 C12
7、对 D16 对02如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.03如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）A1 和2 是同旁内角 B3 和4 是内错角C5 和6 是同旁内角D5 和7 是同旁内角【例】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由CBDADB；BCDADC180ACDBAC【解法指导】图中有即即 有同旁内角，有“ ”即有内错角.【解法指导】由CBDADB，可推得 ADBC；根据内错角相等，两直线平行.由BCDADC 180，可推得 ADBC；根据同旁内角互补，两直线平行.由ACDBAC 可推得 ABDC；根据内错角相等，两直线平行.【变式题组】01如图，推理填空.A
8、 （已知）ACED（ ）C （已知）ACED（ ）A （已知）ABDF （ ）02如图，AD 平分BAC，EF 平分DEC，且12，试说明DE 与 AB 的位置关系.解：AD 是BAC 的平分线（已知）BAC21（角平分线定义）又EF 平分DEC（已知） （ ）又12（已知） （ ）ABDE（ ）03如图，已知 AE 平分CAB，CE 平分A BDCHEF71 568412乙 丙323 4561234甲1AB C2 3456 7AB CDOAB DEFCA BC DEAB CDEF124ACDCAEACE90，求证：ABCD04如图，已知ABCACB，BE 平分ABC，CD 平分ACB，EBF
9、EFB ，求证：CDEF.【例】如图，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于 31.【解法指导】如图，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图.证明：假设图中的 12 个角中的每一个角都不小于 31则 1231372360这与一周角等于 360矛盾所以这 12 个角中至少有一个角小于 31【变式题组】01平面内有 18 条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于 11.02在同一平面内有 2010 条直线 a1,a2,，a2010,如果a1a2,a2a3，a3 a4，a4a5那么 a1 与 a2010 的位置关系是 .03已知
10、n（n2）个点 P1，P2，P3 Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设 Sn 表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S21，S3 3，S4 6，S510则 Sn .演练巩固反馈提高01如图，EACADB90.下列说法正确的是（ ）A 的余角只有B B 的邻补角是DAC CACF 是 的余角 D 与ACF 互补02如图，已知直线 AB、CD 被直线 EF 所截，则EMB 的同位角为（ ）AAMF BBMF CENC DEND03下列语句中正确的是（ ）A在同一平面内，一条直线只有一条垂线B过直线上一点的直线只有一条C过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D垂线
11、段就是点到直线的距离04如图，BAC90，ADBC 于 D，则下列结论中，正确的个数有（ ）AB CD EFl1l2l3l4l5l6图l1l2l3l4l5l6图AEB C FDABC DFEMN第 1 题图 第 2 题图AB D C第 4 题图5ABAC AD 与 AC 互相垂直 点 C 到 AB 的垂线段是线段 AB 线段 AB的长度是点 B 到 AC 的距离 垂线段 BA 是点 B 到 AC 的距离 ADBDA0 B 2 C4 D605点 A、B、C 是直线 l 上的三点，点 P 是直线 l 外一点，且PA4cm，PB5cm ，PC6cm，则点 P 到直线 l 的距离是（ ）A4cm B5
12、cm C小于 4cm D不大于 4cm06将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合） ，则AOBDOC .ABCDOAB CDEFGHabc第 6 题图 第 7 题图 第 9 题图123 4567 8107如图，矩形 ABCD 沿 EF 对折，且DEF72，则AEG .08在同一平面内，若直线 a1a2,a2a3,a3a4,则 a1 a10.（a1 与a10 不重合）09如图所示，直线 a、b 被直线 c 所截，现给出下列四个条件：15，17，23180，47，其中能判断 ab的条件的序号是 .10在同一平面内两条直线的位置关系有 .11如图，已知 BE 平分ABD，DE 平分CDB
13、，且EABEEDC试说明 ABCD？12如图，已知 BE 平分ABC，CF 平分BCD，12，那么直线 AB 与 CD 的位置关系如何？13如图，推理填空：A （已知）ACED（ ）2 （已知）ACED（ ）A 180 （已知）ABFD14如图，请你填上一个适当的条件 使 AD BCAC DEBA BC DE F12AB CDEF第 14 题图6CBAD培优升级奥赛检测01平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（ ）A1，3 B0，1，3 C0，2，3 D0，1，2，302平面上有 10 条直线，其中 4 条是互相平行的，那么这 10 条直线最多能把平面分成（ ）部分.A60 B 55 C5
14、0 D4503平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的 6个点之外，这些直线最多还有（ ）个交点.A35 B 40 C45 D5504如图，图上有 6 个点，作两两连线时，圆内最多有 _交点.05如图是某施工队一张破损的图纸，已知 a、b 是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性.06平面上三条直线相互间的交点的个数是（ ）A3 B1 或 3 C1 或 2 或 3 D不一定是 1，2，307请你在平面上画出 6 条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？ 08平面上有 1
15、0 条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现 31 个交点，怎么安排才能办到？09如图，在一个正方体的 2 个面上画了两条对角线AB、AC，那么两条对角线的夹角等于（ ）A60 B 75 C90 D13510在同一平面内有 9 条直线如何安排才能满足下面的两个条件？任意两条直线都有交点；总共有 29 个交点.第 13 讲 平行线的性质及其应用考点方法破译1掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系；2初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；3灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.经典考题赏析【例】如图
16、，四边形 ABCD 中，ABCD， BCAD，A38，求C的度数. 【解法指导】两条直线平行，同位角相等；两条直线平行，内错角相等；两条直线平行，同旁内角互补.平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.【解】：ABCD BCADABCDEFa bABC7AB180 BC180(两条直线平行，同旁内角互补)AC A38 C 38【变式题组】01如图，已知 ADBC ，点 E 在 BD 的延长线上，若ADE155 ，则DBC的度数为（ ）A155 B50 C45 D25（第 1 题图）EDCBA 321l1l2（第 2 题图）EA BD 12CF
17、（第 3 题图）02 （安徽）如图，直线 l1 l2,155，265 ，则3 为（ ）A 50 B 55 C 60 D6503如图，已知 FCABDE，：D ：B2: 3: 4, 试求、D、B的度数.【例】如图，已知 ABCDEF，GCCF，B 60，EFC45，求BCG 的度数.【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.【解】ABCDEF BBCD FFCD(两条直线平行，内错角相等)又 B60 EFC45 BCD60 FCD45 又GCCF GCF90（垂直定理） GCD9045 45 BCG60 4515【变式题组】01如
18、图，已知 AFBC, 且 AF 平分EAB，B48，则C 的的度数_AB CD O EF AEB C（第 1 题图）（第 2 题图）02.如图,已知ABCACB120，BO 、CO 分别ABC 、ACB ，DE 过点O 与 BC 平行，则BOC _03如图，已知 AB MPCD, MN 平分AMD，A40，D50，求NMP 的度数.【例】如图，已知12，CD 求证：AF. 【解法指导】因果转化，综合运用.逆向思维：要证明AF，即要证明 DFAC 要证明 DFAC, 即要证明DDBC180，即：CDBC180；要证明C DBC180即要证明 DBEC 要证明 DBEC 即要证明13.证明：12，
19、23（对顶角相等）所以13 DBEC（同位角相等两直线平行）DBCC180（两直线平行，同旁内角互补）CD DBCD180 DFAC （同旁内角，互补两直线平行）AF（两直线平行，EAFGDCBBAM CDNP（第 3 题图）CDABE F1328DA2E1B CBFEACD内错角相等）【变式题组】01如图，已知 ACFG ，12，求证：DE FG02如图，已知12180，3B 求证：AEDACB03如图，两平面镜 、 的夹角 ，入射光线 AO 平行于 入射到 上，经两次反射后的出射光线 OB 平行于 ，则角 等于_.【例】如图，已知 EGBC，ADBC，13. 求证：AD 平分BAC【解法指
20、导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的：13）证明：EGBC，ADBC EGCADC 90（垂直定义）EGAD（同位角相等，两条直线平行） 13 3BAD（两条直线平行，内错角相等） AD 平分BAC（角平分线定义）【变式题组】01如图，若 AEBC 于 E，12，求证：DCBC02如图，在ABC 中，CE AB 于 E,DFAB 于 F, ACED ，CE 平分ACB 求证：EDF BDF. 3已知如图，ABCD，B40，CN 是BCE 的平分线. CMCN，求：BCM 的度数.ADMCNEBGB3C
21、A 1 D2EF（第 1 题图）A2CF3ED1B（第 2 题图）O/O B31AB G D CE9PBC DAP321 4DEBCAFHF DEBCAFDEBCABCAAlBC【例】已知，如图，ABEF，求证：ABCBCFCFE 360【解法指导】从考虑 360这个特殊角入手展开联想，分析类比，联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.过点 C 作 CD AB 即把已知条件 ABEF 联系起来，这是关键.【证明】：过点 C 作 CDAB CDAB 1ABC180(两直线平行，同旁内角互补) 又ABEF，CDEF（平行于同一条直线的两直线平行） 2CFE180(两直线平行，同旁内角互补
22、) ABC 12CFE 180180360即ABCBCFCFE360【变式题组】01如图，已知，ABCD，分别探究下面四个图形中APC 和PAB、PCD的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.结论：_ _ _BAPCACC DAAPCBDPBPDBD 【例】如图，已知，ABCD，则、 之间的关系是180【解法指导】基本图形善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路.【解】过点 E 作 EHAB 过点 F 作 FGAB ABEH 1（两直线平行，内错角相等）又FGAB EHFG（平行于同一条直线的两直线平行）23 又ABCD FGCD（平行于同一条直线
23、的两直线平行）4180（两直线平行，同旁内角互补）134124180【变式题组】01如图， ABEF ，C90，则 、 、 的关系是（ ）A B 180C 90 D 9002如图，已知，ABCD，ABE 和CDE 的平分线相交于点F，E140，求BFD 的度数.【例】如图，平移三角形 ABC，设点 A 移动到点 A/，画出平移后的三角形A/B/C/.【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”定，找，移，连.定：确定平移的方向和距离.找：找出图形的关键点.移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点. 连: 按原图形顺次连接对应点 .【解】连接 AA/ 过点 B 作 AA/的平行线 l 在 l
24、截取FED21A BC10DBCA西 B30A 北东南BB/AA/,则点 B/就是的 B 对应点，用同样的方法作出点 C 的对应点 C/.连接A/B/，B/C/，C/A/就得到平移后的三角形 A/B/C/.【变式题组】01如图，把四边形 ABCD 按箭头所指的方向平移 21cm，作出平移后的图形.02如图,已知三 角形 ABC 中，C90, BC4，AC 4，现将ABC 沿 CB 方向平移到A/B/C/的位置，若平移距离为3, 求ABC 与A/B/C/ 的重叠部分的面积. B B/A A/C C/03原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着 BC 方向平移 BE 的距离，就得到此图形，
25、求阴影部分的面积.（单位：厘米）D538AFCB E演练巩固 反馈提高01如图，由 A 测 B 得方向是（ ）A南偏东 30 B南偏东 60C北偏西 30 D北偏西 6002命题：对顶角相等；相等的角是对顶角；垂直于同一条直线的两直线平行；平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个03一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（ ）A第一次向左拐 30，第二次向右拐 30 B第一次向右拐 50，第二次向左拐 130C第一次向左拐 50，第二次向右拐 130 D第一次向左拐 60，第二次向左拐 12004下列命题中，正确的是（ ）A对顶角相等 B 同位角相等 C内错角相等 D同旁内角互补05学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的如图P . P .P .P . 从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ）两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行.A B C D06在 A、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从 A 地测得 B 地的走向是南偏东 52.现 A、B 两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则 B 地所修公路的走向应该是（ ）
