1、Finite Element Method3面力的移置设三角形单元某边界 s 上受面力 q 作用，分量为 ， ，则xqyTyxq取 ds 则 sRd由一般公式：积分在边界 s 上sTsedqNp以上三种载荷的等效节点荷载由公式 e 导出通常我们称：为荷载移量的一般公式：ssTeAyxe eTmtdqNptpRp几点说明：1 虚功等效 静力等效。 唯一性N2 一般 sTsAyxTeTme tdqNdtPRNp 3 更多节点的单元公式形式不变，但 不同4 虽然公式 e 导出但对于面力和体力的计算都是很麻烦和困难的N 为 x,y 的函数，若 p, q 再为 x, y 的函数则更难，且 单移 分限不好
2、定。因此，我们将来还要进一步把这个问题解决好。四 三角形单元的面积坐标（自然坐标，局部坐标）1 面积坐标的定义：图示三角形单元 I ,j ,k 中任意一点 m ，其位置可由 xoy 坐标系中两个坐标来确定，即 m(x,y)若我们连接 , , ,则形成了 3 个小三角形 ijm, ikm, jkm.mijk则有：若 m(x,y)确定 ijm, ikm, jkm.面积确定。反之， ijm, ikm, jkm.面积确定 m(x,y)确定（用同底等高的概念解释！）因此，三角形单元内任一点可以 用 三 个 三 角 形 面 积 描 述用 直 角 坐 标 描 述我们如何用三角形面积来描述 m 点的位置呢？定
3、义：节点 I 对边为底的三角形面积为 ;iA节点 j 对边为底的三角形面积为 ;j节点 k 对边为底的三角形面积为 ;k设三角形单元的面积为 A令 （2-37）ALkKjJi则三个比值 ， ， 称为三角形单元中 m 点的面积坐标.ijLk2.三角形面积坐标的性质：1 面积坐标为三角形单元的局部坐标，与三角形的形状及位置无关。其定义域为 ；10,kjiL2 三个面积坐标之和： + + =1.即只有两个面积坐标是独ijk立的。 （2-38）证明： + + = + + = （ + + ）=1 （亦可几何iLjkAijkA1ijk解释） 。3 三角形单元内与 jk 边平行的直线上各点 相同（轮换） 。
4、 （同iL底等高三角形 = ）iLAi4 形心处的面积坐标为： = = =1/3 （2-39）iLjk5 三角形单元节点的面积坐标为：（2-40）1,0:KjikjiLkj节 点节 点节 点证：节点 I: =A. = =0.iAjk3.三角形面积坐标与直角坐标及形函数的关系下面我们来推导面积坐标与直角坐标的关系：设 m 点的坐标为 m(x,y),m 为任一点则： = = （ ）iA21kjjyx21 jkjkkjj yxxyyx= （ ）+（ ）jkjkj+（ ） xjky显然： ， ，iajkjxibkjyicjkx= （ ）iA21yciii（2-41）)(21ycxbaALkkKjjJi
5、ii与 表达式比较可知：三节点三角形单元的面积坐标就iiN是其形函数。 （对于一般的情况：面积坐标永远是线性坐标而形函数可以是非线性的，以后我们可以把形函数用面积坐标表示）即 = ， ， （2-42）iNiLjjkLN具有 的全部性质 ii式（2-41）还可写成矩阵的形式：直 面 （2-yxcbaALkkjjjiiikji 121 44）这就是直角坐标与面积坐标的转换关系。下面的结果留给大家自己证明：面 直 （2-kjijiLyxyx11 45）4 面积坐标函数的运算我们可以不加证明得地给出面积坐标函数的微积运算结果。 （证明复杂麻烦用 函数等）1.偏导 设 z=f( , , ) =g(x,y
6、) (I= I ,j ,k)iLjkiL则： （2-46） ikji kjiikji LzcALzcLzcAyz bbbx 21)(21,2 面积分 （2-47）dyxkji )!(!其中 ， ， 为正整数； 0! 1, A: 三角形面积ex: (I= I ,j ,k)32)!01(!AdLAyxi 6)!2(!2Ayxi 12)!01(!AdLAyxji 60)!(Ayxkji3.线积分：（s 为直线长） （2-48）dLssji )!1(以上公式要会用 注意 表示的边sd五 三角形单元的荷载移置有了面积坐标与形函数的关系，我们即可对荷载移置进行计算了。1 集中力的移置设 m 点 作用有集中
7、力)(myxTyxRm 点的形函数为：(I= I ,j ,k)(21miiii ycxbaAN等效节点荷载为：ymkxyjxmyixyxmkjmjiiykxyjxyix RNRNNpp00这就是三角形单元内 m 点作用有 的等效节点荷载。只Tyx要计算出 (I= I ,j ,k)即可。作为特例，考虑三角形单元形心处mi重力的移置。形心坐标：)(31kjicjiyyxx)(2ciiici yxbaAN )(31)(31() kjijkkjikjjkj yxxyx )(312kjjijkjkik kjkjjijijj yxyxyx y )(31(32)2ijikijikjjkjkj yxxA )(
8、31 ijiijijj yxyxyxTR0= = =0 = = =- Rxipjxkyipjyk31故：重力作用于形心时各节点均担。2. 体积力的移置设单元作用有体力 Tyxp则等效节点荷载为：=yxTAdtPNp TA ykxkyjxjyixi PNPN yxdtiiL若 为 x, y 的函数，则把 用面积坐yxAiyxAi tt xpxp标表示（转换）在常体力的作用下有：= = =yAxixi dtPLNAtpx2)!01(!tpx!31AtPxTyxyxyxTykxyjxjyixi ptp3即：常体力作用下，总体力均分三节点。2 面力的移置。设三角形单元 I ,j 边上作用有梯形分布的面
9、力 q由面力移置公式得：（可分别由节点合力表示及用节点分力表示）= = （q 为合力，非分力）epekjissTtdqNsTkji tdN则 = = eiPssitsitLq 为 x, y 的函数，把 q 表示面积坐标的函数有 q= jiqL， 在门边上是线性坐标，可利用两点式方程写出。iLj则： = = =eipssjii tdLq)( sjisi tdqLt2= =ttji )!1()!102( ttji!31! )2(6ji同理：=ejPssjij tdqL)( )2(61jiqt= = +k ssji siksjktdL注意到在 s 上 =0k=0ekP故： = =pTkjiPTjij
10、i qqst 02261或： =e Tyjixjiyjixji oqst26此法：1. 避免复杂的分离。 2. 便于编程计算。特例：若分布荷载为三角形分布。令 （或 ）0iqj则有： = （近端为 2 ，远端为epTyjxjyjxj oqst261）说明：用以上积分的方法求等效节点荷载适用于任意节点的三角形单元，形函数也未必是线性的。六 三角形单元节点荷载的形成经过荷载处理后，我们已把非节点的荷载转化为常点荷载。实际计算的荷载为：计算荷载=原节点荷载+等效节点荷载即： （2-49 ）p0e等效节点荷载要注意：1 同时贡献的问题2 用哪个单元计算的问题。七计算结果的整理：有限元计算提供的结果一般
11、为：1。节点位移 2。单元应力1 节点位移的处理：一般把节点位移按比例标出，提供出结构常点位移分布规律1 连成折线（线性位移函数）2 连成光滑曲线（实际变形）2 单元应力的处理：输出的单元应力一般为 ， ， （形心处） （三节点单xyx元为常应力元，无所谓）1 变换为单元的主应力。 ， , （材力）xyx122 变换为节点应力的主应力。 （ ） （平均法）maEx. 节点 5 的应力为：)(41432543215xyxyxyxxx即： = （x, y, xy ）n( , , ) ( , )xyx12max然后标出应力变化曲线。计算结果的工作量随结构的单元，节点划分增加面增大。要关注的是：1）位
12、移的变化规律 2）应力的最大值及发生地点。小概念：位移最大的地方，应力未必最大。八：有限元计算小结：1 基本原理：连续法 有限个节点连接，有限大小的单元的组合法。 离 散建立的节点位移 为未知数，总刚 为系的阶线性代数方程k组。2 研究方法（确定）节点位移 单元位移 单元应变 单 位 移 函 数 几 何 方 程 物 理 方 程元应力iUNuBS单刚 总刚 计算荷载（等效节点荷载） 虚 功 原 理 节 点 平 衡 虚 功 等 效eekpkpep约束处理 求解方程 整理结果 引 入 边 界 条 件 解答特点：假定单元内的位移分布规律，近似离散的数值解。误差主要来源于：结构离散（连续 离散） ，假定位移分布。收敛性：单元缩小 划分细密 收敛于精确解。Chap3. 平面问题较精密单元的分析（矩形，高阶单元，等参单元）3-1 问题的提出在三角形单元中，我们假定位移函数是线性的。即：单元内的位移按线性规律变化。这是最简单，最基本的一个有限单元。而实际结构中在外载荷的作用下位移分布常非按线性变化。设单元位移曲线为图示的 f(x).显然，用线性插值解的精度较差。
