1、领先中考培优课程 MATHEMATICS 绝对值几何意义突破目标一 熟练绝对值式子的几何意义距离，理解最值的含义目标二 掌握几何意义求多个绝对值之和的最小值的方法目标三 掌握一般的绝对值式子求最值、定值的方法一零点分段法2知识目标思维引入最值的含义知识导航最大值与最小值统称为最值， 一个代数式一般能取到无数个值，我们把其中最大的值叫做最大值，最小的值叫做最小值，例如：当 x 等于任意数时，代数式 能取到无数个值但其中最小的值是 0因此可以说,2x仅当 x2 时 取得最小值为 0；此时 可以无穷大因此它没有最大值2x当 1x3 时，2x 3 能取到无数个值，但当 x1 时 2x 3 取得最小值为
2、1；当 x3 时 ，2x3 取得最大值为 3这里也可以描述为当 lx3 时,1 2x 33练习最值的含义的理解1. 的最小值是 ，当 x 时它取得最小值；x一 的最大值是 ，当 x 时它取得最大值；23当 x 时，(13x) 2 2 取得最小值为 ；当 x 时，3 一 取得最大值为 ；2.先化简 ，再求它的最值，并说明相应的 x 的取围43 先化简 ，再求它的最值，并说明相应的 x 的取值范围.51x总结归纳虽然“最值”这个概念是代数层面上的，通过代数计算来找最值是最本质的方法，但通过上面的练习不难发现，如果纯通过代数计算来找最值，有时过程会比较繁琐，计算量也较大，耗时又易错.初中知识两大主线
3、几何与代数各成体系又相辅相成，例如数轴就是用形来表示数，后面学习坐标系与函数后会有更多数与形的结合现阶段，绝对值的代数运算意义和它在数轴上表示距离的几何意义，就架起了数与形的桥梁灵活运用绝对值的代数意义与几何意义，融会贯通，就能使二者相得益彰，不仅能为解题带来很大帮助，这种思维间的转换对以后的学习也大有裨益本讲要学习的主要就是仅含绝对值的式子求最值的方法绝对值的几何意义模块一 绝对值的几何视角距离知识导航通过前面的学习我们对绝对值的代数意义已经很熟悉 ，这 让我们看到)(baba一个含绝对值式子的第一反应就是，我们可以把它拆开例如，当 这个式子出现在我们眼前，它就1x被我们强迫症般的在脑海中变
4、成了 诚然，这种利用代数意义进行的转换在做绝对)1(1xx值化简时是必要且实用的但在做最值类题型时反而绕了，转换为距离更简实际上，前面我们已经多次接触了绝对值的几何意义，上一讲更是大量用到了绝对值来表示数轴上点的距离，因此当我们看到要“表示数轴上的距离”时会不自觉的想到“可以用绝对值来表示” 反过来，我们也应该认识到，当一个绝对使式子出观时，它也代表着距离例如， 表示数轴上数 a 对应的a点到原点的距离， 的几何意义是数轴上表示 m 的点与表示 n 的点之间的距离.nm所以，当 这个式子出现在我们眼前，它还应该被我们强迫症般的在脑海中变成“这表示数轴1x上 x 对应的点与 1 对应的点之间的距
5、离” 练习 几何视角1. 的几何意义是数轴上表示1 的点与表示 2 的点之间的距离，则 ；2 212 的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离：x1 的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离是 ：3. 的几何意义是表示 的点与表示 的点之间的距离，且 ；ba ab的几何意义是表示 的点与表示 的点之间的距离， ； a4 的几何意义是数轴上表示 点与表示 点之间的距离；若 2，则 x 2x x；5 当 x1 时， ，当 x 时， .25x5例 1(1)数轴上四个点的位置关系如右图，且它们表示的数分别为p,q，r，s 若 ,10rp则 9,2sqr(2)有理数 a、b、c、d
6、各自对应着数轴上 X、Y、Z、R 四个点，且它们满足以下三个条件： 比 ， 都大； ；dcbac、 cdac 是 a、b、c 、d 中第二大的数则点 X、Y 、Z、R 从左到右依次是 .练满足 成立的条件是 ( )baA ab0 Bab 1 C. ab 0 D. ab1模块二 绝对值之和求最小值知识导航求 的最小值；21x即数轴上 x 与 1 对应的点之间的距离， 即数轴上 x 与 2 对应的点之间的距离， 把这两个2x距离在同一个数轴上表示出来，然后把距离相加即可得原式的值.设 A、B、P 三点对应的数分别是1、2、x.当 lx2 时，即 P 点在线段 AB 上，此时 ；11x当 x2 时，
7、即 P 点在 B 点右侧，此时 PA PB AB2PBAB ；2x当 x 1 时，即 P 点在 A 点左侧，此时 PA PB AB2PAAB ；1x综上可知，当 lx 2 时（P 点在线段 AB 上） ， 取得最小值为 1x此结论可以推广：若已知以 ab，则当 axb 时， 取得最小值为 b a.ba题型一 两个绝对值相加求最小值例 2（1）当 x 满足 时, 取得最小值为 ；205x当 x 满足 时, 取得最小值为 ；43当 x 满足 时， 取得最小值为 6x（2）当1x6 时， 的最小值为 ,最大值为 .x2（3）当 取得最小值时，试化简 3 5x总结归纳 绝对值的最值问题多以选填题的形式
8、考察，上述绝对值几何意义的方法能迅速求解，但此法不能作为大题的解题步骤，所以一旦要求写大题步骤，只能使用零点分段法化简，分别求出每一段的取值范围，最后得到最值练（1）当 x 满足 时， 取得最小值为 ；x8当 x 满足 时 取得最小值为 132（2）已知 x 为整数，且满足 ,则 x 的所有可能值之和为 .4x（3）求 的最小值，并写出相应的 x 的范围 54挑战压轴题 （2014 武昌七校七上期中压轴题）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对 值，例：如图所示，点 A、B 在数轴上分别对应的数为 a、b，则 A、B 两点间的距离表示为 ，根据以baAB上知识解题：(1) 若数轴上两
9、点 A、B 表示的数为 x、1. A、B 之间的距离可用含 x 的式子表为 ；若该两点之间的距离为 2,那么 x 值为 .(2) 的最小值为 ，此时 x 的取值范围是 ；21x已知 ，求 x 2y 的最大值和最小值.153y拓已知 ，求 x y 的最值yx15912题型二 多个绝对值相加求最小值以四个绝对值之和为例，求 的最小值；432设 A、B 、C 、D、P 五点对应的数分别为 1、2、3、4、x，在数轴上画出各点，排好序之后由远及近依次两两一组求和。当 1x4 时， PA PD413，取得最小值；41x当 2x3 时， PB PC 321，取得最小值；32所求的 ，即上面两式PDCBPA
10、xx 4321 41x与 之和，如果这两式能同时取得最小值，即 PA PD 与 PB PC 同时最小，那么它们的和必32x然也取得最小值故当 2x3 时， 的最小值为(41)(32) 4321xx再以三个绝对值之和为例，求 的最小值；设 A、B 、C 、P 四点对应的数分别为 0、1、2、x当 0x2 时， ，取得最小值；PCAx当 xl 时， ，取得最小值；1B所求的 PA PB PC 即上面两式之和，如果这两式 和21xx 2x1能同时取得最小值，即 PA PC 与 PB 同时最小，那么它们的和必然也取得最小值故仅当 xl 时， 的最小值为(2 0)0 2若求更多的偶数个或奇数个绝对值之和
11、，可以用同样的方法求其最小值例 3（1）当 x 满足 时， 取得最小值为 ；6413xx当 x 满足 时， 取得最小值为 ；2当 x 满足 时， 取得最小值为 ； xx4731(2)当 x 满足 时， 取得最小值为 ； 52当 x 满足 时， 取得最小值为 ；xx6（3）当 x 满足 时， 取得最小值为 ；201621当 x 当 x 满足 时， 取得最小值为 ； xx（4）若 0a10,则当 x 满足 时， 的最小值是 ；10aa总结归纳奇数个 x 取“中间点”若 ，当 x 满足 时， 取得最小值；1221na、 1221naxxa最小值为 .0312 nn偶数个 x 取“中间段”若 ，当 x
12、 满足 时， 取得最小值；naa221 naxax221最小值为 .nna1221练(1)当 x 满足 时， 取得最小值为 ；48xx当 x 满足 时， 取得最小值为 .213(2)求 的最小值，并写出相应的 x 的范围654x拓求 的最值； 求 的最值.1321xx 2 131x模块三 绝对值之差求最值知识导航求 的最大值：21x设 A、B、P 三点对应的数分别为 l、2、x，当 1x2 时，即 P 点在线段 AB 上，此时 PA PB，其值在1 到 1 之间，21x其中，当 xl 时，PA PB l，当 x2 时 PA PB1,当 lx2 时，1PA PB1.当 x2 时，即 P 点在 B
13、 点右侧，此时 PA PB AB 1 21x当 xl 时，即 P 点在 A 点左侧，此时 PA PB 1x综上可得：当 xl 时（P 点在 A 点左侧） 取得最小值为l：21x当 x2 时（P 点在 B 点右侧） 取得量大值为 1用绝对值代数意义展开亦可知 21x)2(13x、此结论可以推广：的最大值为 最小值为 ，bxababa至于当 x 满足什么条件时分别取最大、最小值则可以画数轴分析或把绝对值展开计算例 4（1）用绝对值的几何意义求 的最值.53x(2)用“零点分段法 ”化简 ，求出最值，并说明相应的 x 的取值范围14(3)求 的最值75x练（2012 武昌七校七上期中）当 x 在何范
14、围时， 有最大值，并求出最大值.21x当 x 在何范围时， 有最大值，并求出它的最大值4321xx代数式 最大值是 1094321 xxx模块四 定值问题知识导航定值即指代数式的值恒为某一个数例如用“零点分段法”化简可得 .可见当 x2 时 的)1(321xx 21x值恒为 1即定值为 1；当 xl 时 的值恒为1，即定值为1再如，令 s ，化简可得 s ，可见对于21x21x)2(31x2xl 范围内的任意 x 值，s 的值恒为常数 1，我们就说当2x1 时 s 为定值综上可知，要让某式有定值，必须使它在某一条件下的取值与 x 无关因此，定值问题的核心任务是，找到 x 的某个取值范围，使得代
15、数式中的 x 正好可以相互抵消 例 5(1)如果对于某一给定范围内的 x 值，p 为定值，则此定值为 ，相31应的 x 的范围是 （2）如果对于某一给定范围内的 x 值，p 为定值，则此定值为 25x(3)如果对于某一给定范围内的 x 值，p 为定值，则此定值为 ，9-相应的 x 的范围是 .练如果对于某一给范围内的 x 值，m 为定值，则此定值为 ，相73-2x应的 x 的范围是 . 总结归纳 定值问题虽然也可以用绝对值的几何意义转化为距离来求解，但它并不是此类题型的本质解法，仅在 x 的系数都为 l 时此法较为便捷产生定值的根本原因是 x 相互抵消了，因此定值问题的本质解法是用类似“零点分
16、段法”的思路，将式子中的每个绝对值拆开，配 x 的系数使它为 0，从而迅速找到相应的 x 的范围，并求出定值.当然，上述方法都针对的是选填题，能迅速找到答案如果是需要写过程的大题，无论是求最值还是定值，都只能用“零点分段法， ，分类讨论求解例 6(1) 若 的值恒为常数，则 x 应满足怎样的条件？此常数的值为少？（2） （2014431542xx武昌七校中）如果对于某一特定范围内 x 的任意允许值，s 的值恒为一常数，刚此常数值为（ ）.52A.0 B.2 C4 D.6(3) 已知对于某一特定范围内 a 的任意允许值， 的值恒为一常教aa4257则此常数值为( )A. 12 B.2 C12 D12 或12(4)如果对于某一特定范围内 x 的任意允许值，s 的201631xxx
