1、数学学科参考答案及评分建议 第 1 页（共 18 页）i1While i 6ii 2S2i 3End WhilePrint S（第 3 题）宿迁市 2017 届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分1 已知集合 ， ，则 034 A， ， 1023 B， ， ， AB【答案】 ，2 已知复数 ，其中 为虚数单位，则复数 的模是 i1zi z【答案】 53 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 是 S【答案】174 现 有 1 000 根 某 品 种 的 棉 花 纤 维 ， 从 中 随 机 抽 取 50 根 ， 纤 维 长 度
2、 （ 单 位 ： mm） 的 数 据 分组 及 各 组 的 频 数 见 右 上 表 ， 据 此 估 计 这 1 000 根 中 纤 维 长 度 不 小 于 37.5 mm 的 根 数 是 【答案】1805 100 张卡片上分别写有 1，2，3，100从中任取 1 张，则这张卡片上的数是 6 的倍数的概率是 【答案】 （或 0.16）4256 在平面直角坐标系 中，已知抛物线 上一点 到焦点的距离为 3，则点 的横xOy24yxPP坐标是 纤维长度 频数22.5， 25.5) 325.5， 28.5) 828.5， 31.5) 931.5， 34.5) 1134.5， 37.5) 1037.5，
3、 40.5) 540.5， 43.5 4（第 4 题）数学学科参考答案及评分建议 第 2 页（共 18 页）【答案】27 现有一个底面半径为 3 cm，母线长为 5 cm 的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗） ，则该铁球的半径是 cm 【答案】 398 函数 的定义域是 2()lg5fxx【答案】 ，9 已知 是公差不为 0 的等差数列， 是其前 n 项和若 ， ，则nanS2345a927S的值是 1【答案】 510在平面直角坐标系 中，已知圆 ： ，圆 ：xOy1C22481xy2C2269xy若圆心在 轴上的圆 同时平分圆 和圆 的圆周，则圆 的方程是 x12【答
4、案】 28111如图，在平面四边形 中， 为 的中点，且 ， 若 7，ABCDO3OA5CAB AD 则 的值是 BC DC 【答案】912在 中，已知 ， ，则 的最大值是 ABC226ACBtanC【答案】 2513已知函数 其中 若函数 有 3 个不同的零点，20()1 xmf， ， ， 0()1yfxB CDO(第 11 题)A数学学科参考答案及评分建议 第 3 页（共 18 页）则 m 的取值范围是 【答案】 (01)，14已知对任意的 ， 恒成立，则当 取得最xR3sinco2sin3 axbxabR ， ab小值时， 的值是 a【答案】 45二、解答题：本大题共 6 小题，共计
5、90 分15 （本小题满分 14 分）已知 ， 2sin410，求：（1） 的值；co（2） 的值si解：（1）法一：因为 ，所以 ，2， 354，又 ， sin410所以 3 分22 7cosin1401所以 scosinsi4472210 6 分35法二：由 得， ，2sin4102sincosin410即 3 分co5又 . 22sins由解得 或 3ccos45因为 ，所以 6 分2，数学学科参考答案及评分建议 第 4 页（共 18 页）（2）因为 ， ，2， 3cos5所以 8224sin11分所以 ，32si2icos255 12 分27co1所以 sinsincos2in4442
6、755 14170分16 （本小题满分 14 分）如 图 ， 在 直 三 棱 柱 中 ， ， A1B 与 AB1 交 于 点 D， A1C 与 AC1 交 于 点1ABCCE 求证：（1）DE平面 B1BCC1；（2）平面 平面 证明：（1）在直三棱柱 中，1AC四边形 A1ACC1 为平行四边形又 E 为 A1C 与 AC1 的交 点 ，所 以 E 为 A1C 的中点 2 分同理，D 为 A1B 的中点， 所以 DEBC 4 分又 平面 B1BCC1， 平面 B1BCC1，DE所以 DE平面 B1BCC1 7 分（2）在直三棱柱 中，ACBC1A CA1B1D(第 16 题)E数学学科参考答
7、案及评分建议 第 5 页（共 18 页）平面 ABC，1A又 平面 ABC，BC所以 9 分1又 ， ， 平面 ，A1A1CA， 1C所以 平面 12 分BC因为 平面1，所以平面 平面 14A1C分17 （本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，C 为椭xOy21 (0)yxab23圆上位于第一象限内的一点（1）若点 的坐标为 ，求 a，b 的值；C523，（2）设 A 为椭圆的左顶点，B 为椭圆上一点，且 ，求直线 AB 的斜率AB 12OC 解：（1）因为椭圆的离心率为 ，23所以 ，即 2ab259a又因为点 在椭圆上，C3，所以 3 分24519ab
8、由解得 2，因为 ，所以 50ab35ab，分 (第 17 题)OABCxy数学学科参考答案及评分建议 第 6 页（共 18 页）（2）法一：由知， ，所以椭圆方程为 ，即 259ba2915yxa2295xya设直线 OC 的方程为 ， ， xmy01()B， 2()C，由 得 ，2259xya， 22595a所以 因为 ，所以 8 分22ym20y2259ym因为 ，所以 可设直线 的方程为 AB 12OC /ABABxya由 得 ，2259xya， 2(59)10mya所以 或 ，得 11 分02112因为 ，所以 ，于是 ，AB 12OC 112xayxy， ， 21y即 ，所以 25
9、9am2035m所以直线 AB 的斜率为 14 分513法二：由（1）可知，椭圆方程为 ，则 229xya(0)A，设 ， 1()Bxy， 2()Cxy，由 ，得 ，AB 12OC 112axy， ，所以 ， 8 分12x12y因为点 B，点 C 都在椭圆 上，259xya所以 2225915.xya，数学学科参考答案及评分建议 第 7 页（共 18 页）解得 ， ， 12 分24ax253y所以直线 AB 的斜率 142kx分18 （本小题满分 16 分）一缉私艇巡航至距领海边界线 l（一条南北方向的直线）3.8 海里的 A 处，发现在其北偏东 30方向相距 4 海里的 B 处有一走私船正欲
10、逃跑，缉私艇立即追击已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的 3 倍假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行（1）若 走 私 船 沿 正 东 方 向 逃 离 ， 试 确 定 缉 私 艇 的 追 击 方 向 ， 使 得 用 最 短 时 间 在 领 海 内 拦 截成 功 ； （参考数据： ， ）sin17635.746（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由解：（1）设缉私艇在 处与走私船相遇（如图甲） ，C依题意， 2 分3AB在 中，由正弦定理得， sinsinCsi12036因为 ，所以 i17367BA从而缉私艇应向北偏东 方向追击 5 分4在 中，由
11、余弦定理得，ABC，224cos108A解得 31.65又 B 到边界线 l 的距离为 4sin301.8因为 ，所以能在领海上成功拦截走私船 81.685.分（2）如图乙，以 为原点，正北方向所在的直线为 轴建立平面直角坐标系 AyxOyAB C图甲领海AB北(第 18 题)30公海l数学学科参考答案及评分建议 第 8 页（共 18 页）则 ，设缉私艇在 处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走23B， ()Pxy，私船相遇，则 ，即 3PA223()xy整理得， ， 12 分229944xy所以点 的轨迹是以点 为圆心，()P， 3，为半径的圆 32因为圆心 到领海边界线 ： 的距离为 1.5
12、5，大于圆半径 ，934， l3.8x32所以缉私艇能在领海内截住走私船 14 分 答：（1）缉私艇应向北偏东 方向追击；47（2）缉私艇总能在领海内成功拦截走私船 16 分19 （本小题满分 16 分）已知函数 ， ，其中 e 为自然对数的底数1()exf()lngx（1）求函数 在 x 1 处的切线方程；y（2）若存在 ，使得 成立，其中 为常数，12x， 12221()()gxffx求证： ；e（3）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 a 的取值范围0， ()()fa解：（1）因为 ，所以 ，故 ln()exyfg211elnlnexxxy1exy所以函数 在 x 1 处的切线方程为
13、，()f ()y即 2 分e10xy（2）由已知等式 得 1221()()gxfxf1122()()()gxfgxf记 ，则 4 分()lnexpfexpy公海领海AB图乙60 lx数学学科参考答案及评分建议 第 9 页（共 18 页）假设 e 若 ，则 ，所以 在 上为单调增函数 0()0px()px0+，又 ，所以 ，与 矛盾 612()1212分 若 ，记 ，则 0e ()exr()exr令 ，解得 ()rx0ln当 时， ， 在 上为单调增函数；0()r()rx0，当 时， ， 在 上为单调减函数xx，所以 ，所以 ，0()=1ln)0r （ ()0p所以 在 上为单调增函数px+，又
14、 ，所以 ，与 矛盾12()12x12x综合，假设不成立，所以 9 分e（3）由 得 ()()fxgax ln()xa 0记 ， ，lne1F=0则 2xxaa() 当 时，因为 ， ，所以 ，1e 1ex 0x0Fx()所以 在 上为单调增函数，所以 ，Fx()0+， 1 =故原不等式恒成立 12 分 法一：当 时，由（ 2）知 ， ，1eaex 321eaxFx()当 时， ， 为单调减函数，3x0()所以 ，不合题意 (1)F=数学学科参考答案及评分建议 第 10 页（共 18 页）法二：当 时，一方面 1ea1=e0Fa()另一方面， ， 1ex11121e0xxax所以 ，使 ，又
15、在 上为单调减函数，01()， 0=()F()0)，所以当 时， ，故 在 上为单调减函数，xxx0，所以 ，不合题意(1)F综上， 16 分ea20 （本小题满分 16 分）设数列 的前 n 项和为 Sn ，且满足：na*N ； ，其中12 221 1nrpaa且 rpR， ， 0r（1）求 p 的值；（2）数列 能否是等比数列？请说明理由；na（3）求证：当 r 2 时，数列 是等差数列na解：（1）n 1 时， ，21()0pS因为 ，所以 ，12a又 ，所以 p 1 2 分0r（2） 不是等比数列理由如下：n假设 是等比数列，公比为 q，a当 n 2 时， ，即 ，326rSa211()6raq所以 （i ） 4 分(1)q，当 n 3 时， ，即 ，4312+rSa2321112()4raqaq
