1、（北师大版）选修 2-2：定积分 编写教师：焦旭利14.2 定积分的简单应用( 二)复习：（1） 求曲边梯形面积的方法是什么？（2） 定积分的几何意义是什么？（3） 微积分基本定理是什么？引入：我们前面学习了定积分的简单应用求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。1. 简单几何体的体积计算问题：设由连续曲线 和直线 ， 及 轴围成的平面图形（如图甲）绕 轴()yfxaxbx旋转一周所得旋转体的体积为 ，如何求 ？V分析：在区间 内插入 个分点，使 ，把曲线,ab1n0121naxxb（ ）分割成 个垂直于 轴的“ 小长条” ，如图甲所示。设第 个“
2、小长条”()yfx i的宽是 ， 。这个“小长条”绕 轴旋转一周就得到一个厚度是1ii,2i x的小圆片，如图乙所示。当 很小时，第 个小圆片近似于底面半径为 的小i ixi ()iiyfx圆柱。因此，第 个小圆台的体积 近似为iiV2()iifx该几何体的体积 等于所有小圆柱的体积和： 2221()()()nfxffx这个问题就是积分问题，则有： 22()()bbaaVfdxfd（北师大版）选修 2-2：定积分 编写教师：焦旭利2归纳：设旋转体是由连续曲线 和直线 ， 及 轴围成的曲边梯形绕 轴旋转()yfxaxbx而成，则所得到的几何体的体积为 2()bVfd2. 利用定积分求旋转体的体积
3、（1） 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数（2） 分清端点（3） 确定几何体的构造（4） 利用定积分进行体积计算3. 一个以 轴为中心轴的旋转体的体积y若求绕 轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为 ，其公式为y2()baVgd类型一：求简单几何体的体积例 1：给定一个边长为 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积思路：由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。解：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为 轴建立如图所示的平面直角坐标系，,xy如图 。则该旋转体即为圆柱的体积为：:BC
4、ya22300|aaVd规律方法：求旋转体的体积，应先建立平面直角坐标系，设旋转曲线函数为 。确定积分上、下()fx限 ，则体积,ab2()baVfxd练习 1：如图所示，给定直角边为 的等腰直角三角形，绕 轴旋转一周，求形成的几何体的y体积。解：形成的几何体的体积为一圆柱的体积减去一圆锥的体积。2233001|aaVydyA（北师大版）选修 2-2：定积分 编写教师：焦旭利3类型二：求组合型几何体的体积例 2：如图，求由抛物线 与直线 及 所围成的图形绕 轴旋28(0)yx60xyx转一周所得几何体的体积。思路：解答本题可先由解析式求出交点坐标。再把组合体分开来求体积。解：解方程组 得：28
5、(0)6yx24xy与直线 的交点坐标为2(,)所求几何体的体积为： 26220 6412(8)()13Vxdxd规律方法：解决组合体的体积问题，关键是对其构造进行剖析，分解成几个简单几何体体积的和或差，然后，分别利用定积分求其体积。练习 2：求由直线 ，直线 与 轴围成的平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体2yx1xx积。解：旋转体的体积： 1204()3Vxd类型三：有关体积的综合问题：例 3：求由曲线 与 所围成的平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积。21yxxx思路：解题的关键是把所求旋转体体积看作两个旋转体体积之差。画出草图 确定被积函数的边界 确定积分上、下限用定积分表示体积 求
6、定积分解：曲线 与 所围成的平面图形如图所示：21yxx设所求旋转体的体积为 V（北师大版）选修 2-2：定积分 编写教师：焦旭利4根据图像可以看出 等于曲线 ，直线 与 轴围成的平面图形绕 轴旋转一V2yx2xx周所得的旋转体的体积（设为 ）减去曲线 直线 与 轴围成的平面图形绕 轴11旋转一周所得的旋转体的体积（设为 ）22221 000()|4VxdxA2245200018|x128145V反思：结合图形正确地把求旋转体体积问题转化为求定积分问题是解决此类问题的一般方法。练习 3：求由 ， 以及 轴围成的图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积。1yx29yxyx解：由 得：29yx32y33
7、40051(1)80VdxdA误区警示：忽略了对变量的讨论而致错例：已知曲线 ， 和直线 ， 。试用 表示该四条曲线围成的2yx10y(0)xaa平面图形绕 轴旋转一周所形成的几何体的体积。思路：掌握对定积分的几何意义，不要忽视了对变量 的讨论。解：由 得21yx1y由示意图可知：要对 与 1 的关系进行讨论：a 当 时，024500()aaVxdx（北师大版）选修 2-2：定积分 编写教师：焦旭利5 当 时，1a212016()5aVxddxa所得旋转体的体积为5)6(1a追本溯源：利用定积分求旋转体的体积问题的关键在于：（1） 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数（2） 分清端点（3） 确定几何体的构造（4） 利用定积分进行体积计算
