1、毕业论文第 0 页 共 12 页柯西不等式在高中数学中的应用及推广摘要本文主要介绍著名不等式柯西不等式的几种证明方法及其在初等数学解题中的应用.同时对其在其他领域的推广进行了简要论述，并且对其在中学数学教学中的一些问题进行讨论，对柯西不等式在高中数学解题中的应用进行了广泛的取证并得到了证明，从而肯定了其在高中数学学习中的重要性.关键词柯西（Cauchy）不等式；应用函数最值；三角函数证明；不等式教学1 引言中学教材和教辅读物中有不少地方都有一些高等数学知识的雏形和影子.在中学数学教学中，不等式的教学一直是一个难点，学生在学习和应用不等式同时，都会觉得解题中困难重重.而柯西不等式是著名的不等式之
2、一，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解.柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题具有重要的应用.基于此，本文拟以柯西不等式为出发点，从其证明方法到推广及应用技巧等方面进行总结和归纳，并简谈其在中学数学中的一些应用.2 柯西不等式的证明本文所说的柯西不等式是指(1)nibabniinii 2,11221当且仅当 时，等号成立.12niab2.1 构造二次函数证明首先 当 或 时，不等式显然成立.120n 120nb令 2 2111,nnniiiiiiABCab当 中至少有一个不为零时，可知 ,构造二次函数1,2na 0A展开得,fxABxC2221 10n ni
3、iiiii ifaxbaxb故 的判别式 ,移项得 ,得证.fx240A2CB2.2 向量法证明令毕业设计第 1 页 共 12 页123123,nnab 则对向量 有， ,cos 2221211,nnniiababab得 niinii 1221当且仅当 ，即 平行式等号成立.cos,2.3 数学归纳法证明a) 当 n=1 时 有 ，不等式成立.211abb) 当 n=2 时 2221221111abab因为 ，故有2212abab222111ab当且仅当 ，即 时等号成立.121ab2c) 假设 n=k 时等式不成立，即 222221211k kkabaab 当且仅当 时等号成立.12kabd
4、) 那么当 n=k+1 时121 kkba 21212 kkbababa 2122121 321 1121kkk kkkkbbaaa 毕业设计第 2 页 共 12 页当且仅当 时等号成立.于是 n=k+1 时不等式成立.1122111,kkkkkababab由 a),b)c),d)可得对于任意的自然数 n，柯西不等式成立.2.4 利用恒等式证明先用数学归纳法证明如下恒等式，然后证明柯西不等式：对于两组实数有柯西拉格朗日恒等式1212,;,nnab 2223211+nnnababab 由实数性质 可得柯西不等式成立.20R以上给出了柯西不等式的四种证法.利用四种不同的方法全面论证柯西不等式，能加
5、深我们对柯西不等式的认识和理解，为其在数学解题方面的研究提供了更完备的参考理论.3 柯西不等式的推广命题1 若级数 与 收敛，则有不等式.21nia21nibniinii bab1221证明 由 ， 收敛 ，可得 ni12ni12 nininii bab121210因为 收敛，且 ，从而有不等式nia12 nininiiba121221lmllm成立.niiniib121命题2 若级数 与 收敛，且对 有 ，则对定义在21nia21nibnN2211nniiiabb上的任意连续函数 有不等式 .,ab,fxgdxgxfdxgf bababa 22证明 因为函数 在区间 上连续，所以函数 与 、
6、,fx, f在 上可积，将 区间等分，取 n 每个小区间的左端点为 ，由积分的定2,fxg,abb i义得 1 12222lim,lim,n nb bi ia ax xi ix xi ifdfxgdgx AA毕业设计第 3 页 共 12 页令 则 与 收敛，由柯西不等式得2211,iafbg21nia21nib221 11221 11limlimlinnnii i ii i in nnii i ix xxf fgfgf xAAA从而有不等式 22bbbaaafdfdg命题3 赫尔德不等式设 满足 ，则1,0,2,0,aobinpq 1pq111nnnpqiiibb等号成立的充分必要条件是 .0
7、;,2nibai 证明 在证明 时，对任何正数 A 和 B，有 .对凸函数1pqPqABp有fxIn111PqPqPpABInAIBnABAppq令 代入上述不等式并对于 k=1,2, ,n,把这 n 个不等式相加得11,kknnpqi iabA111 111pqn nk kkni knpqiiiiababp即 111nnnpqiiiabb成立.等号成立的充分必要条件是 .,2pqii我们知道，柯西不等式在数学的各个分支里都有着极其广泛的应用，它在不同的领域有着不同的表现形式，对它的应用可谓灵活多样.柯西不等式在初等数学和高等数学中有着不 菲的价值，它的应用充分体现了数学各领域间的内通性、渗透
8、性和统一性.毕业设计第 4 页 共 12 页4 柯西不等式的应用4.1 在不等式的证明中，柯西不等式的作用柯西不等式可以直接运用到其他不等式的证明中，运用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数，并按照柯西不等式的形式进行探索.例1 设定义在 R 上的函数 ，若 且121lgxxnaf 01,nN，求证： .2n2fxf分析 要证明 即证2 2211121lglgx xx xnana 故只需证 22x xx xnn 因为(2）222222 11111 xxxxxx naan 又因 且 ，故0,aN22xxan所以 naxxx 11121 即 222+2lglgx xx xnna 所以 .ff
9、例2 为互不相等的正整数，求证：对于任意正整数 n,有不等式12,na.1 1 证明 由柯西不等式得 212 12212+n nnaa aaa 又因为 为互不相等的正整数 ，故其中最小的数不小于1，次小的数不小于2，最大的不小1,2n毕业设计第 5 页 共 12 页于1，这样就有 ，所以有121naa 1212nnaa 所以有 .2121naan 例3 设 ，证明0,i 2121nji niaa证明 由柯西不等式，对任意的 n 个实数 ，有12,nx2221 12nx xx 于是 2211nnji jiiaa= 121 1-n-n nji i nii a 4.2 利用柯西不等式求最值例4 已知
10、实数 满足 , 试求 的最值.,abcd3bcd22365abcd解 由柯西不等式得(3)2221366即 ，由条件可得：22236bcdbc2253a解得 当且仅当 时等号成立 .代入(3)式得1a31126d时， ； 时，,3bcmax221,bcdmax4.3 求函数的极值柯西不等式也可以广泛的应用于求函数的极值或最值.事实上，由毕业设计第 6 页 共 12 页222221211nnnababab 可得 22221211nnnb 如将上式左边看做一个函数，而右边值确定时，则可知 的最大值与最小a值分别是与222211nnaabb 222211nn 且取最大值与最小值的充分必要条件是 .2
11、1na反过来，如果把柯西不等式右边的一个因式或两个的积当作函数，而其他的因式已知时，则可求出此函数的最小值.例5 求函数 的最大值.4293yxx解 首先求得函数 的定义域为： 2,322+43yxxxxx当且仅当 即 时等号成立.所以 .432542,319ma19y例6 求函数 的极值，其中 是常数.sincosabab解 由柯西不等式 22 222i sincoyxxb故有 22+abyab当且仅当 时，即 时，函数 有极小值sincoxabrctnxkZsincosyxb，极大值 .22例7 已知 为常数，当 时，求函数 的最大,cR22yzR,fzayz值与最小值.解 由柯西不等式知
12、22 22222,fxyzabczabcxycbcR, .fxyR当且仅当 ，即 （t 为常数）时等号成立.将1zabctzc代入 得 .则,xtyt22xy222abt22Rtabc毕业设计第 7 页 共 12 页即当 时22, ,Rxyzabc22,Rfxyzabc分别为所求的最大值与最小值.4.4 求参数范围例8 已知对于满足等式 的任意数，对 恒有 ，求实数 a 的取值23xy,xy2ay范围.解 因为 133131222 ayxayaxy要使对 恒有 ，即 .,xymax24.5 三角形及三角函数问题例9 设 是 内的一点， 是 到三边 的距离， 是 外接圆的半径,pABC,yzp,
13、abcRABC证明： .221xyzabcR证明 由柯西不等式得 11+=+xyzaxyczaxbyczab记 s 为 的面积，则ABC+=2S4R即有 221122abccaxyz bcabcRR故不等式成立.例10 求证三角形三边上正方形面积之和不小于该三角形面积的 倍，即43,其中 为三角形三边长，S 为三角形的面积.2243abcS,abc证明 由海轮-秦九韶面积公式： 其中 可得2sabsc2abcs2 4416c由柯西不等式 2 22244444bcabababc毕业设计第 8 页 共 12 页当且仅当 ，即 时成立.22bcabc于是 4422+a变形得 44222222443a
14、bccbcabc即 2216aS故有 ，当且仅当 时等号成立 .2243abcSbc例11 在三角形 ABC 中，证明 .33sinisin22ABC证明 由柯西不等式 22222sinii1ii1si1snsnABCn即(4)2222sinii3iiiABC因为 222222 1cos1cossiisincs21cocossco nnABCBnnAnC故（5）2222sinisincosBnABnC又因为22 cos1cscoss1sAnAC因而（6）2 9cos24nA将（5）代入（4）得 （7）iisinBC毕业设计第 9 页 共 12 页将（6）代入（3）得 29sinisin34AB
15、C即.3siisi224.6 利用柯西不等式解方程例12 在实数集内解方程 .2294863xyz解 由柯西不等式，得22222 864xyzxyz所以 （8）39574968又 ,即（7）式取等号.由柯西不等式取等号的条件有286439xyz（9）862xyz将（8）式与 联立，则有 .2xyz 918,13263xyz4.7 用柯西不等式解释样本线性相关系数在概率论与数理统计一书中，在线性回归中有样本相关系数1221niiiniiijxyr并指出 且 越接近于1，相关程度越大； 越接近于0.则相关程度就越小.现在可用柯西不rr等式解释样本线性相关系数.记 ，则 ，由柯西不等式有 ，当 时，,iiiiaxby12niiiabr1rr此时， ，k 为常数。点 均在 2211nniiiiiiybax,2ixyn直线 上，当 时，ykx1r2211nniiii ab
