1、第一章 习题解答1、证明 A (B C)(A B) (A C)证明：设 x A (B C)，则 x A 或 x (B C)，若 x A，则 x A B，且 xA C，从而 x (A B) (A C)。若 x B C，则 x B 且 x C，于是 x A B且 x A C，从而 x (A B) (A C)，因此A (B C) (A B) (A C)(1)设 x (A B) (A C)，若 x A，则 x A (B C)，若 x A，由 x A B且 x A C 知 x B 且 x C，所以 x B C，所以 x A (B C)，因此(A B) (A C) A (B C)(2)由(1)、(2)得，
2、A (B C)(A B) (A C) 。2、证明ABA(A B)(A B)BA (BC)(A B)(A C)(AB)CA(B C)A(BC)(AB) (A C)(AB) (CD)(A C)(B D)A(AB)A B证明：A(A B)A C(A B)A (CA CB)(A CA) (A CB) (A CB)AB(A B)B(A B) CB(A CB) (B CB)(A CB) AB(A B)(A C)(A B) C(A C)(A B) (CA CC)(A B CA) (A B CC) A (B CC)A (BC)(AB)C(A CB) CCA C(B C)A(B C)A(BC)A C(B CC)
3、A (CB C)(A CB) (A C)(AB) (A C)(AB) (CD)(A CB) (C CD)(A C) (CB CD)(A C) C(B D)(A C)(B D)84A(AB)A C(A CB)A (CA B)(A CA) (A B) (A B)A B3、证明： (A B)C(AC) (BC)A(B C)(AB) (AC)证明：(A B)C(A B) CC(A CC) (B CC)(AC) (BC)(AB) (AC)(A CB) (A CC)(A A) (CB CC)A C(B C)A(B C)4、证明： ( )sC1ii1isi证明：设 ( )，则 ，于是， 、 ，从而 ，xs1
4、iiAx1iiAixiAxCiA所以， ，所以， ( ) 。1iCis1ii1isCi设 ，则 、 ，即 ，于是， ，即 (x1isiAixiAxix1iiAxC)，所以 ( )，由以上两步得1ii1iCi1ii( ) = s1iiA1isi5、证明：( )B ( B)NNA( ) B ( B)A证明：( )B( ) CBNNA ( CB) ( B)8586( ) B( ) CBNANA= ( CB) ( B)6、设 是一列集合，作 = ， = -( ) 1。证明 是一列nA1BAn1nkAnB互不相交的集，而且 = ， =1，2，3，。nk1k证明：设 ，不妨设 ，因为 ，ijijjBiA
5、-( )iBjiAj1k= ( C )ij1jk= C ( C )=( C )iAji1jikAiijA( C )= ( )=1jikj1jik = ， 互不相交。iBjn ， = 。iiAk1kB另一方面，设 ，则存在最小的自然数 ，使 ，xnk1 ixiA， - = ，x1ikAi1kAiBnk1 = 。nk1nk1nk1k7、设 =(0， )， =(0， )， =1，2，求出集列 的上限集2nAnnA2 nA和下限集。解： 。 =(0， )， =(0， )，12nn1n2 。12nn28788= ( )= = (0， )=(0，)nmAn12mA2nm2n= = (0，)=(0，)nli
6、1n1n= ( )=nmAn12mA2nm12= (0， )=n = = = 。nliA1nmn18、证明： =nli1nmA证明： ， ，有 ， xnlinxmAnxnmAx， = 。1nmAnli1nmA9、作出一个(1，1)和(，)的 11 对应，并写出这一对应的解析表达式。解：y=tg ， (1，1)，y(，)。2x10、证明将球面去掉一点以后，余下的点所成的集合和整个平面上的点所成的集合是对等的。证明：用 P 表示在球面上挖去的那一点，P 与球心 O 的连线交球面于 M，过M 作球面的切平面，过 P 点和球面上任一点 引直线，该直线与平面交于 ，NN将 与 对应，P 与 M 对应，则
7、球面上的点与整个平面上的点用上述方法构成N一个一一对应，由对等的定义，挖去一点的球面与平面是对等的。11、证明由直线上互不相交的开区间作为集 A 的元素，则 A 至多为可数集。证明：由有理数的稠密性知，在每一区间中至少含有一个有理数，在每一开区间中任取一有理数与该区间对应，由于开区间互不相交，故不同开区间对应不同的有理数，但有理数全体为一可数集，其子集至多是可数集，所以直线8990上互不相交的开区间作成的集至多是可数集。12、证明所有系数为有理数的多项式组成一可数集。证明：以 表示这个集合， 表示 次有理系数多项式的全体，则 =AnAA0n。n由 +1 个独立记号，即 次多项式的 1 个有理系
8、数所决定，其中首nAnn项系数为异于 0 的有理数，其余系数可取一切有理数，因此，每个记号独立地跑遍一个可数集，所以， 是可数集， 也是可数集。nA13、设 A 是平面上以有理点（坐标为有理数的点）为中心，有理数为半径的圆的全体，则 A 是可数集。证明：A 中任一元素由三个独立记号（a，b，r）所决定，其中（a，b）是圆心的坐标，r 是圆的半径，a、b 各自跑遍全体有理数，r 跑遍大于 0 的有理数，而且它们都是可数集，故 A 是可数集。14、证明单调增加函数的不连续点最多只有可数多个。证明：设 是(，)上的单调增加函数，其不连续点的全体记为)xfE，设 E，由数学分析知， 必为第一类不连续点，即其左、右极限00x、 必存在，且 ，这样，每个不连续点)(xf)(0f )(f)0(xf对应一个开区间( ， )，且这些开区间互不相交。由 11 题0 )(0f0知，这些开区间最多有可数多个，所以，E 最多是一个可数集。91
