1、1数学分析之九第九章 定积分（14+4 学时）教学大纲教学要求：1 理解 Riemann 定积分的定义及其几何意义2 了解上和与下和及其有关性质3 理解函数可积的充要条件，了解 Riemann 可积函数类4 熟练掌握定积分的主要运算性质以及相关的不等式5 了解积分第一中值定理6 掌握变上限积分及其性质7 熟练掌握 Newton-Leibniz 公式，定积分换元法，分部积分法教学内容：问题的引入（曲边梯形的面积及变速直线运动的路程），定积分定义，几何意义，可积的必要条件，上和、下和及其性质，可积的充分条件，可积函数类，定积分的性质，积分中值定理，微积分学基本定理，牛顿一莱布尼兹公式，定积分的换元
2、法及分部法。第 页2时间-月-日星期-课题 1 定积分概念 （2 学时）教学目的知道定积分的客观背景曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题；教学重点 深刻理解并掌握定积分的思想教学难点 理解并掌握定积分的思想，理解定积分是特殊和式的极限课 型 理论讲授 教学媒体教法选择 讲 练 结 合教 学 过 程 教法运用及板书 要点复习极限的 定义，极限的唯一性定理；导数的引入例子及其物理意义；不定积分概念，及其与导数运算的性质；定积分是特殊和式的极限一、问题背景：1. 曲边梯形的面积: 思想：以“不变
3、”代“变” ：方法：分割；近似；求和；取极限 设函数 在闭区间 ,ba上连续，且 0)(xf。则由曲线 )(xfy，)(xf直线 ， 以及 x轴所围成的平面图形（如下左图） ，称为曲边梯形。下面将讨论该曲边梯形的面积（这是求任何曲线边界图形的面积的基础） 。在区间 ,内任取 1n个分点，依次为 bxxan120它们将区间 ,b分割成 个小区间 ,ii， ,2 。记为 ix，即 1iiix， , 。并用 表示区间 1ii的长度，记 ,ma2nxT ，再用直线 ix， , 把曲边梯形分割成 n个小曲边梯形（如上右图） 。在每个小区间 1iix，i,2上任取一点 i， ,1，作以 )(if为高， 为
4、底的小矩形，其面积为 )(fx，当分点不断增多，又分割得较细密时，由于 连续，它在每个小区间 ,1ii上的变化不大，从而可用这些)(xf小矩形的面积近似代替相应的小曲边梯形的面积。于是，该 曲边梯形面积的近似值为 此表 2 学时填写一份， “教学过程”不足时可续页第 页3niiixfS1)(。 从而 iniiTf)(lm10。2. 变力所作的功: 思想：以“不变”代“变” ：方法：分割；近似；求和；取极限变力所作的功 W 设质点受力 F 的作用沿 x轴由点 a移动到点 b，并设 F处处平行于 x轴（如下图） ，同上述，有 inii)(1，而 根据上述两个例子建立数学模型对于函数 ，按照上述方法
5、，讨论“极限”,)(baxfy方法：分割；近似；求和；取极限二、定积分的定义: 3.有关概念：分割；分割 T 的模积分和（黎曼和） ；可积， 黎曼可积，被积函数，积分变量，积分区间，积分上限、积分下限函数 ，方法：分割；近似；求和；取极限,)(baxfy定义 设 是定义在 .上的一个函数，对于 ba.的一个分割,21nT，任取点 iix， n,21，并作和式iiif)(1。称此和式为 )(xf在 ba.关于分割 T 的一个积分和，也称黎曼和。 （注：积分和既与分割 T 有关，也与点 i的取法有关） 。又设 J是一个确定的实数，若对任给的 0，总存在 0，使得对 ba.的任意分割 T，以及 ii
6、x， n,21 ，只要 T，就有第 页iniiTxF)(lm104niiiJxf1)(。则称函数 )(xf在 ba.上可积或黎曼可积。数 称为函数 )(xf在 ba.上的定积分或黎曼积分，记作： badxfJ)(其中 )(xf称为被积函数， x称为积分变量， .称为积分区间，d称为被积式， ,分别称为积分的下限和上限。定积分的几何意义；连续函数定积分存在（见定理 9.3）三、举例: 例 1 已知函数 在区间 上可积 .用定义求积分.解 取 等分区间 作为分法 nbxTi,取. = .由函数 在区间 上可积 ,每个特殊积分和之极限均为该积分值 .)(xf,0b例 2 已知函数 在区间 上可积 ,
7、用定义求积分 21)(xf1,0.解 分法与介点集选法如例 1 , 有.上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分5.四、小结：指出本讲要点定积分的概念（几何意义） ；定积分的问题背景；若定积分存在，按定义计算定积分的值时，分割与介点的选取，可取特殊点，解题步骤（回顾例 1） 。作业： 课后 1. 2.（1） （2）此表 2 学时填写一份， “教学过程”不足时可续页6第 页时间-月-日星期-课题 2 Newton Leibniz 公式（2 学时）教学目的 深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.教学重点 能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分教学
8、难点应用定积分计算 形式的极限课 型 理论课 教学媒体教法选择 讲 练 结 合教 学 过 程 教法运用及板书 要点一、复习定积分的定义，分割；积分和（黎曼和） ；极限存在（可积） ；定积分的几何意义；注：定积分 badxf)(的值只与被积函数 )(xf及积分区间 ba.有关，而与积分变量所用的符号无关。二、定积分的计算（1） ，按定义计算（2）应用下列定理Th9.1 （ N L 公式 ）若函数 在【a，b】上连续，且存在原函数 ，即)(xfy)(xF，则 在【a，b】上可积，且,)(F ,)(xfybaFdxf |)(这个公式称作（ N L 公式 ）( 证明思路 函数函数 在【a，b】上连续，
9、则一致连续 )(fy（根据定积分定义与极限定义证明）证明：（略）例 1 求; ;例 2 利用（ N L 公式 ） 求下列定积分1） ，ndxba,72） ,baxde3） 14） ,sinbax5） 2d例 3 求.小结：1.利用 N-L 公式求定积分的步骤。2.利用定积分定义计算形如的极限时，找被积函数的方法；利用定积分来为极限的关键是把扫求极限转化成某函数的积分和的形式。练习 p.207 第二题作业 p206,1.2此表 2 学时填写一份， “教学过程”不足时可续页8第 页时间-月-日星期-课题 3 可积条件（2 学时） （一）教学目的 理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充
10、要条件，熟悉证明可积性的问题的思路和方法.教学重点 掌握可积的充要条件教学难点 函数可积性问题的证明；课 型 理论课 教学媒体教法选择 讲授教 学 过 程 教法运用及板书 要点一、必要条件: 定理 9.2 若函数 f(x) a,b， f(x)在区间a,b上有界.证明方法：反证法回顾 f(x)在区间 a,b上无界的定义，回顾定积分定义中的两个 “任意”（插入点任意，介点选取任意）给出证明：例 1 讨论 Dirichlet 函数 D(x)在区间0,1上的可积性 .强调 可积与函数有界之间的关系二、充要条件: 1.思路与方案: 思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于分法 的“
11、最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 , 即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法 及介点 无关的条件 .复习极限的双逼原理方案: 定义上和 S(T)和下和 s(T). 研究它们的性质和当时有相同极限的充要条件 .9设 T= ixn,21为对 a,b的任一分割。由 f(x) 在 a,b上有界知，它在每个 i上存在上、下确界： ixfM)(sup, ixifm)(, n,21 .作和 niiTS1)(， niiTs1)(，分别称为 f(x)关于分割 T 的上和与下和（或称达布上和与达布下和，统称达布和）任给 iix， ,2 ，显然有 )()()(Sxfsii.说明：与积分和相
12、比，达布和只与分割 T 有关，而与点 i的取法无关。2. Darboux 和: 以下总设函数 f(x)在区间a,b上有界. 并设 ,其中 和 分别是函数 f(x)在区间a,b 上的下确界和上确界Darboux 和定义：指出 Darboux 和未必是积分和 . 但 Darboux 和由分法 唯一确定.分别用 S(T)、s(T)和 记相应于分法 T 的上（大）和、下（小）和与积分和.积分和 是数集(多值) . 但总有 s(T) S(T)因此有 .和 的几何意义 .*3. Darboux 和的性质 :分点增加，上和不增，下和不减.定理 9.3（可积准则）函数 在 上可积的充要条件是：对任意的f,ba
13、，总存在相应的分割 T，使得0)(sS（本定理的证明，参见6）定理 9.3 的几何意义此表 2 学时填写一份， “教学过程”不足时可续页第 页10设 ,并称为 )(xf在 i上的振幅，有必要时记为fi。则有iiimMinixTsS1。定理 9. 3 函数 )(f在 ,ba上可积 对 0， T，使得ini1。不等式 )(TsS或 inix1的几何意义：若函数 f(x)在 a,b上可积，则 p.209 图 9-7 中包围曲线)(xfy的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分的细；反之亦然。三、小结：可积的必要条件与可积准则可积函数的充分条件（证明函数可积的思路和方法）当函数 f(x)在区间 a,b上含某些点的小区间上振幅作不到任意小时 , 可试用f(x)在区间 a,b上的振幅 作 的估计 , 有 . 此时, 倘能用总长小于,否则 f(x)为常值函数的有限个小区间复盖这些点，以这有限个小区间的端点作为分法 的一部分分点，在区间 a,b的其余部分作分割，使在每个小区间上有 ,对如此构造的分法 , 有 .作业：p212 1 和 2第 页
