1、附件： 教学设计方案模板教学设计方案课题名称 椭圆及其标准方程(第一课时)姓名 史献芳 工作单位 宁晋县第五中学年级学科 高二数学 教材版本 人教 A 版一、教学内容分析解析几何是数学一个重要的分支，它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。本节课是普通高中课程标准实验教科书数学（人民教育出版社，课程教材研究所和中学数学课程教材研究开发中心编著）A 版选修 2-1 第二章第二节椭圆及其标准方程第一课时。在选修 2-1 第二章，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。由于教材以椭圆为重点说明了求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法，然后在双曲线、抛物线的教学中应
2、用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等。因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。基于以上分析，确定本节课的教学重点是：椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想。二、教学目标1.理解椭圆的定义；2.理解椭圆的标准方程的推导，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力；3.掌握 椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。三、学习者特征分析这节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念以及用坐标法研究几何问题的方法有了一些了解和认识，基本能运用求曲线方程的一般方法
3、求曲线方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线的第一课，具有巩固旧知、熟练方法、拓展新知的承上启下作用，可为研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础，是发展学生自主学习能力，培养创新能力的好素材。四、教学过程（一）创设情境、导入新课师：大家有没有注意到我们课本的封面，请看一下，上面显示了用一个平面截圆锥的情况，(动画演示)，如果用一个垂直于圆锥轴线的平面截圆锥，截口曲线是圆，若改变平面与圆锥轴线的夹角，会得到什么图形呢？两千多年前古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现，当平面与圆锥轴线的夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆，双曲线，抛物线，我们通常把圆、椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线。
4、而把圆锥曲线作为课本的封面，足以说明圆锥曲线在本册书乃至整个高中数学的内容中，占重要地位。师：圆我们已经系统研究过了，圆是怎么定义的呢？怎么画一个圆呢？（动态演示）生：圆的定义是：“在平面上与定点的距离等于定长的点的轨迹” 。可以固定线段的一端，另一端绕其旋转即可。（二）突出认知、建构概念师：那么椭圆怎么画呢？下面大家合作一起来做个实验，取一条细绳，把它的两端固定在画板上的 和 两点，用铅笔尖把细绳拉紧，使铅笔尖在图1F2板上缓慢移动，仔细观察，画出的是一个什么样的图形呢?师：（展示学生画的模型）美不美？ 生：美。 （不太情愿）师：百度中输入椭圆型脸会出现这样一段文字，椭圆形脸是最均匀理想的脸
5、型，我选了这样两张图片，美吗？（展示学生熟悉的钟汉良、刘诗诗型脸）生：笑声中大声答“美”！师：椭圆很美，用心体会，数学也很美！师：很多天体的运行轨道就是椭圆，这种形状的物体，生活中你见过吗？有什么？生：踊跃答出自己在生活中常见的椭圆形例子。师：这种形状生活中很常见（展示椭圆形状的一些精美图片） 。像鸟巢建筑、宝石、手表、镜子、汽车标志、盘子等都有椭圆的身影。（三）注重本质、理解概念师：椭圆这么美，这么常见，下面我们就来用数学方法好好研究它！师：研究椭圆，我们应该先考虑什么？生：定义！什么是椭圆。师：非常好！那椭圆的定义是什么？应该从哪里考虑？生：沉默.思考了一会，有学生提出，应该从刚才的实验考
6、虑。师：很好， （动画演示）根据刚才画椭圆的实验，你觉得应该怎么给椭圆下定义？你能类比圆的定义给出椭圆定义吗？生：思考，讨论。师：提问，总结。数学的定义是很严谨的，指导学生看课本定义。1.椭圆定义：平面内与两个定点 的距离的和等于常数（大于 ）21F（ 21F的点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距。师：仔细的阅读一下定义？你觉得椭圆的定义中要注意什么？生：平面内、距离和、大于 （课件演示等于和小于 的情况） 。21F21F师：一定要仔细琢磨数学概念的定义，它是数学中最本质的内容。（四）深化研究、构建方程师：知道了椭圆方程的数学定义，为了更深入地研究椭圆，我们希望知
7、道椭圆的什么？生：椭圆的标准方程。师：接下来我们一起来推导椭圆方程是什么？师：前面的课，同学们学过了“曲线与方程” ，现在请同学们回忆一下，求曲线方程的一般步骤是什么？生：回答出求曲线方程的五个步骤。师：求曲线方程的一般步骤通常可以归纳为：“建，设，限，代，化” 。同学们思考一下，求曲线方程的目的是什么？生：沉默（不会回答） 。师：求曲线方程的目的是为了用代数的方法深入研究几何问题！师：结合椭圆的几何特征，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程简单？我们来类比圆的标准方程。生：圆心在 ，半径 R 的圆的标准方程为（ba, 22)(Rbyax（圆心在原点，半径 R 的圆的标准方程为 。师：哪个方程
8、形式更简单？为什么？生：第二个，把坐标原点建在圆的中心处方程比较简单。师：根据这一特点，你认为椭圆怎么建系？（提问）生：以直线 为 x轴，线段 的垂直平分线为 轴建立直角坐标系。21F21Fy师：理论上，怎么建系都能得出椭圆方程，但建系一般以“简洁、对称”为好，这样得到的方程形式会更简单。还有没有别的方式？生：焦点在 轴。y师：我们先研究焦点在 轴的情况。哪位同学来说一下？（提问）x生：1.建立适当的直角坐标系：以直线 为 x轴，线段 的垂直平分21F21F线为 y 轴，建立如图所示坐标系；2.设点：设 是椭圆上的任意一点， ）（ yxM, O；)0,(2211 cFcF xyM 213.根据
9、条件 ，得 ；aMF21 aycxycx2)()(22师：如何化简？ 生：两边同平方。师：对，根式化简的基本思路就是去根号，化简这个等式的方法就是两边同平方！请大家在学案上完成方程的化简。 （一位同学在黑板上板演）（化简去根号是个难点，学生可能会出现两种方法，一类直接平方，另一类是移项后再平方，不妨让学生试着按自己的思路去化简。 ）师：有的直接平方，得到 ，2222)()( yxcaycxycx 再往下化简就要继续平方，虽然也能化简，但是较为繁琐；有些同学先移项，使两边各有一个根号再平方，哪种方法更简单？生：移项后再平方更简单。4.化简：先移项，再两边平方，化简整理得，)()( 2222cay
10、xca师：至此方程已经化简完毕，而椭圆是个很美的图形，这个方程看起来并不美观，能否美化结论的形象？引导学生观察等式两边的特点，发现都有 ，2ca令 则：,0,02cac,22bca)0(22bxb师：虽然 b 是我们在化简方程的过程中，为了使方程形式更加简洁而引入的，但它在椭圆中也具有特殊的几何意义，在后续研究椭圆的几何性质时你就会知道了。师：还可以怎么化简？生：两边同除 椭圆方程为： 。,2ba )0(,12bayax师：这个形式是不是似曾相识？生：类似直线的截距式，左边两个分式相加，右边为 1。不过直线是两个一次式，椭圆是两个二次式。5.检验：从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足
11、方程，以方程的解 为坐标的点到椭圆的两个焦点 的距离之和为 ，),(yx )0,(,(21cFa2即以方程的解为坐标的点都在椭圆上， （这一点只要验证以上推导步骤每一步都可逆，有兴趣的同学可以课后去分析一下） ，由此，根据曲线与方程的关系可知，方程就是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程它的焦点在 x 轴上，两个焦点坐标分别是 ，这里 。)0,(,(21cF22cba思考：如果把椭圆的焦点放在 y 轴上建系，椭圆的方程是什么？学生可能不假思索地回答：“按方案一建系再推一遍” 。师：分析，如果椭圆的焦点在 y 轴上，其焦点坐标为 ， ，cF,01,2，acxcyx222 师：启发 “除了平方，
12、还有别的方法吗？”把两个坐标式放到一起让学生观察： y)()(2axcxcy22生：经过观察思考发现，只要把 x、 y 对换即可得到，从而得到了焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：21(0)yba师：这个方程也是椭圆的标准方程。师：注意，椭圆的标准方程是一个专用名称，只有这两种形式的方程才是椭圆的标准方程；为了区分，通常我们把焦点在 轴上的椭圆称为是“ 型椭xX圆” ，焦点在 轴上的椭圆称为是“ 型椭圆” 。 型椭圆” 和“ 型椭圆”yYXY如何区分？生：看焦点位置，而焦点位置又是根据分母的大小确定，哪个分母大，焦点就在哪个轴上。（五）多向分析 提高辨识师：观察椭圆的标准方程 思考， 的几何意义2
13、1(0)xyabcba、是什么？教师根据学生回答，提出虽然 是我们在化简方程的过程中，为了使方程形式更加简单而引入的，但它在椭圆中也具有特殊的几何意义。 （六）应用拓展、提高能力师：有了这些知识，下面我们就来试试身手！练习：下列方程哪些表示的是椭圆？如果是椭圆，请写出它的焦点坐标。.1)4(;0259)3(;16)2(;16251 222 myxyxyxyx（师：总结提升：1.判断一个方程是否为椭圆方程，就是要抓住椭圆方程特点，根据椭圆方程的形式判定；2.焦点坐标的求解，应“先定型再定量” ，即应该先确定是“ 型椭圆” X还是“ 型椭圆 ”，再根据 的大小写出焦点坐标。Yc例 1：已知椭圆的两
14、个焦点的坐标分别是 ，并且经过点 ，)0,2()23,5(P求椭圆的标准方程。生：提出两种思路解题。 （定义法，待定系数法）师：总结提升：椭圆中涉及到焦点的有关问题，常根据定义求解，本题的定义法求椭圆方程就是此思路从另一个角度考虑，求椭圆标准方程只需要求出 即可，因此，只需要列出两个方程即可，本题的待定系数法求方程就ba、是这思路不管是定义法求椭圆方程，还是待定系数法求椭圆方程，求椭圆方程的一般步骤是：“先定型再定量” 。设计意图：进一步提升学生对椭圆定义的理解；掌握求椭圆方程的两种求法，（定义法和待定系数法） 。（七）回顾反思、提升经验师：现在请同学们从知识上、思想意识上思考，这节课有什么收
15、获？生：议论、合作、回答。师：总结提升：1.从知识上看，这节课主要内容就是标题，即“椭圆及其标准方程” ，同学们应该仔细体会椭圆概念，及其椭圆标准方程的特点，即“一个概念，两个方程” ；并且通过例 1 体会了求椭圆标准方程的“两个方法” ，定义法和待定系数法。2.从思想意识上看，同学们可体会到数形结合的思想和坐标法的思想，还有类比意识、求美意识和求简意识，即“两个思想，三个意识” 。五、教学策略选择与信息技术融合的设计教师活动 预设学生活动 设计意图（一）.创设情境、导入新课利用课本封面及计算机动画化演示引入圆锥曲线概念学生观察思考设计意图：激活学生已有的认知结构，为本科推导椭圆方程提供方法与
16、策略，引出课题。（二）突出认知、建构概念利用平面截圆锥的动态演示及利用细绳画椭圆，建立直观的概念，要鼓励学生大胆操作。学生合作一起来做个实验，取一条细绳，把它的两端固定在画板上的 和 两1F2点，用铅笔尖把细绳拉紧，使铅笔尖在图板上缓慢移动，仔细观察，画出的是一个什么样的图形呢?设计意图：1在动手实验中，培养学生观察、辨析、归纳问题的能力；2.在此展现人物图象，调节课堂气氛，同时让学生感知数学与生活息息相关，体会数学的美，激发学生学习兴趣。（三）注重本质、理解概念引入椭圆的定义，动画演示两种情况阅读课本提出问题思考，演示讨论，深入理解概念数学概念、定理是数学的灵魂，只有准确把握好数学概念、定理
17、的教学，让学生充分、深入地理解数学概念、定理，才能真正理解问题的本质，灵活应用。在概念的理解上，突出关键字的解读，让学生体会数学的严谨性。（四）深化研究、构建方程推导椭圆标准方程这里教师与学生合作完成，突破难点，提高课堂效益.通过设问如何化简带根号的等式，学生思考，突破难点；进一步熟悉用坐标法求动点轨迹方程的方法，掌握化简含根号等式的方法，提高运算能力，养成不怕困难的钻研精神，感受数学的简洁美、对称美。设计意图：这是本节的教学难点，学生独立完成时间花费较多，这里教师与学生合作完成，提高课堂效益.通过椭圆的焦点在 y轴上椭圆标准方程的推导，养成学生扎实严谨的科学态度；体会数学中的化归思想，化未知
18、为已知，避免重复劳动。（五）多向分析 提高辨识观察椭圆的标准方程思考，21(0)xyab的几何意义是什么？c、强调三个基本量几何意义的重要性。（六）应用拓展、提高能力 练习巩固提高认识明确椭圆两种标准方程的形式和特征，理解椭圆的焦点位置与标准方程之间的关系，加深椭圆方程的理解。（七）回顾反思、提升经验总结提升议论、合作、回答。让学生自己先总结本节的知识和方法，以提高学生自我获知知识的能力，为学生的长期发展打下基础. 教师根据的信息适时地归纳与提炼,帮助学生提升学习经验。六、教学评价设计本节课采用启发式与试验探究式相结合的教学方式。在启发式教学过程中，以问题引导学生的思维活动。教学设计突出了对问
19、题链的设计，教学中，结合学生的思维发展变化不断追问，使学生对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高。通过学生试验的方法进行教学。本节课主要是通过直观感知、操作确认归纳出椭圆的定义。在试验中注重数学的逻辑性和严谨性，立足教材，重视对现象的观察、分析，引导学生通过自己的观察、操作等活动获得数学结论。通过学生反思，自己总结归纳学习内容，构建知识链。在总结时采用“一个概念、两种方法、两种思想、三个意识”的方式，学生目标明确，学习重点清晰，易于掌握。七、教学板书(如板书中含有特殊符号、图片等内容，为方便展示，可将板书以附件或图片形式上传)1.椭圆定义：平面内与两个定点 的距离的和等于常数（大于 ）21
20、F（ 21F的点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距。2.椭圆及其标准方程3.例题八、教学反思xyM 2F1新课标倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程， “提出问题,体验数学,感知数学,建立数学,巩固新知,归纳提炼” 。采用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法，按照“创设情境、导入新课，突出认知、建构概念，注重本质、理解概念，深化研究、构建方程，多向分析、提高辨识，应用拓展、提高能力，回顾反思、提升经验，作业布置、巩固新知”的程序设计教学过程，八个环节，环环相扣，前后呼应，并以多媒体手段辅助教学，使学生经历实践、观察、猜想、论证、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方式，使学生真正成为学习的主人。
