1、对数与对数运算知识点及例题解析1、对数的定义若 ，则 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做底数，(0,1)xaNa且 xaNlogaxN叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化： log(0,1)xaxa2、以 10为底的对数叫做常用对数,log 10N记作 lgN .3、以无理数 e=2.718 28为底的对数称为自然对数，logeN 记作 lnN 4、对数的性质:(1) (2)对数恒等式a logaNN；log aaNN (a0，且 a1)log10,l1aa5、对数的运算性质 如果 ，那么0,1,0M加法： 减法：llogl()aaaMNlogllogaaaMN数乘： log a
2、mMn logaM. ll()naanRnm换底公式：ogl 0,1)lbaNb且特殊情形：log ab ，推广 logablogbclogcdlog ad.1logba类型一、指数式与对数式互化及其应用例 1、将下列指数式与对数式互化： （1） ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) .思路点拨：运用对数的定义进行互化.解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) .例 2、求下列各式中 x 的值：(1) (2) (3)lg100=x (4)思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出 x.解：(1) ；(2) ；(3)10 x=100=102，于是 x
3、=2；(4)由例 3、若 xlog 43，则(2 x2 x )2 等于( )A. B. C. D.94 54 103 43解由 xlog 43，得 4x3，即 2x ，2 x ，所以 (2x2 x )2 2 .333 (233) 43类型二、利用对数恒等式化简求值例 4、求值： 解： .总结升华：对数恒等式 中要注意格式：它们是同底的；指数中含有对数形式；其值为真数例 5、求 的值(a，b，cR +，且不等于 1，N0)思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.解： .类型三、积、商、幂的对数例 6、已知 lg2=a，lg3=b，用 a、b 表示下列各式. (1)lg9 (2)l
4、g64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15解：(1)原式=lg3 2=2lg3=2b（2）原式=lg2 6=6lg2=6a（3）原式=lg2+lg3=a+b（4）原式=lg2 2+lg3=2a+b（5）原式=1-lg2=1-a（6）原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a例 7、(1) (2)lg2lg50+(lg5) 2 (3)lg25+lg2lg50+(lg2)2 解：(1)(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5) 2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)
5、+(lg2) 2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2) 2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.例 8、已知 3a=5b=c， ，求 c 的值.解：由 3a=c 得：同理可得.例 9、设 a、b、c 为正数，且满足 a2+b2=c2.求证： .证明：.例 10、已知：a 2+b2=7ab，a0，b0. 求证： .证明： a 2+b2=7ab， a 2+2ab+b2=9ab，即 (a+b) 2=9ab， lg(a+b) 2=lg(9ab)， a0，b0， 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb 2lg(a+b)-lg3=lga+lgb即 .类型四、换底公式的运用
6、例 11、(1)已知 logxy=a， 用 a 表示 ； (2)已知 logax=m， log bx=n， log cx=p， 求 logabcx.解：(1)原式= ；(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.方法一：a m=x， b n=x， c p=x， ；方法二： .例 12、求值：(1) ；(2) ；(3) .解：(1)（2） ；（3)法一：法二： .总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于 0 不为 1 任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以 10 为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用例 13、求值(1) log 89log2732(2)(3)(4)(log 2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)解：(1)原式= .(2)原式=(3)原式=(4)原式=(log 2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)例 14、已知：log 23=a， log 37=b，求：log 4256=?解： ，
