1、 第 1 页（共 8 页）函数求导1. 简单函数的定义求导的方法（一差、二比、三取极限）（1）求函数的增量 ；)(00xfxfy（2）求平均变化率 。（3）取极限求导数 )(0xf xff)(lim002导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。函数在某一点 的导数就是)(0xf导函数 ，当 时的函数值。)(xf03常用的导数公式及求导法则：（1）公式 ， （C 是常数） xcos)(sin xsin)(co1nx axle a1lg )(l （x2cos)(tn xx2sin1cot（2）法则： ， )()()(gfgf )( xgxf )(2 ff例：（1） （2） 324yx sinxy（3
2、） （4） cosinyx23yx（5） ln2yx第 2 页（共 8 页）复合函数的导数如果函数 在点 x 处可导，函数 f (u)在点 u= 处可导，则复合函数)()(xy= f (u)=f 在点 x 处也可导，并且(f )= )(xf或记作 = xyux熟记链式法则若 y= f (u)，u= y= f ，则)(=xy若 y= f (u)，u= ，v= y= f ，则v)()(x=xvuf（2）复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。在求导时要由外到内，逐层求导。例 1 函数 的导数.4)3(1xy
3、解： 4)(设 ， ，则uyx31xx xu)()435553125)(12x第 3 页（共 8 页）例 2 求 的导数51xy解： ，55411 xxy 254)1(xx254)(x 5654)(例 3 求下列函数的导数y解：（1） x2令 u=3 -2x，则有y= ，u=3 -2xu由复合函数求导法则 xuy有 y= =u)(x231)(21在运用复合函数的求导法则达到一定的熟练程度之后，可以不再写出中间变量u，于是前面可以直接写出如下结果：y= xx231)(231在运用复合函数求导法则很熟练之后，可以更简练地写出求导过程：y= )(第 4 页（共 8 页）例 4 求下列函数的导数（1）
4、y= cos x （2）y=ln (x+ )221解：（1）y= cos x由于 y= cos x 是两个函数 与 cos x 的乘积，而其中又是复合函数，所以在对此函数求导时应先用乘积求导法则，而在求x2导数时再用复合函数求导法则，于是1y=( )cos x - sin x21= - sin x= - sin xcos21(cos21（2）y= ln (x+ )由于 y=ln (x+ )是 u= x+ 与 y=ln u 复合而成，所以对此函数22求导时，应先用复合函数求导法则，在求 时用函数和的求导法则，而求()的导数时再用一次复合函数的求导法则，所以21y= 1+( )= 2x21x21x
5、21x= =222例 5 设 求 .)1ln(xyy解 利用复合函数求导法求导，得 )1(1)l(222 xxy )1(22xx第 5 页（共 8 页）.)1(2122 xx 11222 xx小结 对于复合函数，要根据复合结构，逐层求导，直到最内层求完，对例 4 中括号层次分析清楚，对掌握复合函数的求导是有帮助的.例 6 求 y=(x23 x+2)2sin3x 的导数.解： y=( x23 x+2)2sin3 x+(x23 x+2)2(sin3x)=2(x23 x+2)(x23 x+2)sin3 x+(x23 x+2)2cos3x(3x)=2(x23 x+2)(2x3)sin3 x+3(x23
6、 x+2)2cos3x.1求下函数的导数.（1） （2）cos3xy1yx(1)y=(5x3) 4 (2)y=(2+3x)5 (3)y=(2x 2)3 (4)y=(2x3+x)2(1)y= (2)y= (3)y=sin(3x ) (4)y=cos(1+x2)32)1(x41x6 ； ； ； 32)(xy2sinxy)4cos(xy1sinl第 6 页（共 8 页）1求下列函数的导数 (1) y =sinx3+sin33x； （2） (3) 12sinxy)2(logxa2.求 的导数)132ln(x一、选择题（本题共5小题，每题6分，共30分）1. 函数 y= 的导数是（ ）2)13(xA.
7、B. C. D. 263)1(6x2)13(6x3. 函数 y=sin（3x + ）的导数为（ ）4A. 3sin（3x+ ） B. 3cos（3x+ ）4C. 3sin2（3x+ ） D. 3cos2（3x+ ）4. 曲线 在 x=2 处的导数是 12，则 n=（ ）nyA. 1 B. 2 C. 3 D. 45. 函数 y=cos2x+sin 的导数为（ ）A. 2sin2x+ B. 2sin2x+cos 2cosC. 2sin2x+ D. 2sin2x2in6. 过点 P（1，2）与曲线 y=2x2 相切的切线方程是（ ）第 7 页（共 8 页）A. 4xy2=0 B. 4x+y2=0 C
8、. 4x+y=0 D. 4xy+2=0二、填空题（本题共 5 小题，每题 6 分，共 30 分）8. 曲线 y=sin3x 在点 P（ ，0）处切线的斜率为_。39. 函数 y=xsin（2x ）cos（2x+ ）的导数是 。10. 函数 y= 的导数为 。)3cos(11. 。_,ln)(00 xfxf 则例 2计算下列定积分（1） ； （2） （3）0(1)xd21()xed20sinxd5 的值等于 （ ）42xed(B) (C) (D) 2()A42e42e42e9.计算由曲线 和 所围成的图形的面积.36yx2yx第 8 页（共 8 页）复合函数的导数1.C 2.B 3.B 4.A 5.A 6.A 7.y=u3,u=1+sin3x 8.39.y= sin4x+2xcos4x 10. 11.21)32cos(inxx1sinco12
