1、小升初数学必须掌握的 34 个重难点公式，你记住了多少？1、和差倍问题和差问题 和倍问题 差倍问题已知条件 几个数的和与差 几个数的和与倍数 几个数的差与倍数公式适用范围 已知两个数的和，差，倍数关系公式(和差)2=较小数较小数差=较大数和较小数=较大数(和差)2=较大数较大数差=较小数和较大数=较小数和(倍数1)=小数小数倍数=大数和小数=大数差(倍数-1)=小数小数倍数=大数小数差=大数求出同一条件下的关键问题和与差 和与倍数 差与倍数2、年龄问题的三个基本特征两个人的年龄差是不变 的；两个人的年龄是同时增加或者同 时减少的；两个人的年龄的倍数是 发生变化的；3、归一问题的基本特点问题中有
2、一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度” 等词语来表示。关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；4、植树问题基本类型 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树 封闭曲线上植树基本公式 棵数=段数 1棵距段数 =总长 棵数=段数 1棵距段数 =总长 棵数=段数棵距段数 =总长关键问题 确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系5、鸡兔同笼问题 5、鸡兔同笼问题基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲
3、一样）：假设后，发生了和题目条件不同的差，找出 这个差是多少；每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；再根据这两个差作适当的调整，消去出 现的差。基本公式：把所有鸡假 设成兔子： 鸡数（兔脚数 总头数总脚数）（兔脚数鸡脚数）把所有兔子假设成鸡：兔数（ 总脚数一鸡脚数总头数）（兔脚数一鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差。6、盈亏问题基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组， 产生一种结果：按照另一种标准分组，又 产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它 们的关系求对象分组的组数或对象的总量。基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根
4、据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量。基本题型：一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数（余数不足数）两次每份数的差当两次都有余数；基本公式：总份数（较大余数一较小余数）两次每份数的差当两次都不足；基本公式：总份数（较大不足数一较小不足数）两次每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是不变的。关键问题：确定对象总量和总的组数。7、牛吃草问题基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1” 份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成 这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；关键问题：确定两个不变的量。基本公式：生长量=（较长时
5、间 长时间 牛头数-较短时间短时间牛头数）（长时间-短时间）；总草量=较长时间 长时间 牛头数-较长时间生长量；8、周期循环与数表规律周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。关键问题：确定循环周期。闰 年：一年有 366 天；年份能被 4 整除； 如果年份能被 100 整除， 则年份必须能被 400 整除；平 年：一年有 365 天。年份不能被 4 整除；如果年份能被 100 整除，但不能被 400 整除；9、平均数基本公式： 平均数=总 数量总份数 总数量= 平均数总份数 总份数= 总数量平均数平均数= 基准数每一个数与基准数差的
6、和总份数基本算法：求出总数量以及 总份数，利用基本公式进行计算.基准数法：根据给出的数之 间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式10、抽屉原理抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在 n 个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有 2 个物体。例：把 4 个物体放在 3 个抽屉里，也就是把 4 分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1观察上面四种放物体的方
7、式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有 2 个或多于 2 个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有 2 个物体。抽屉原则二：如果把 n 个物体放在 m 个抽屉里，其中 nm，那么必有一个抽屉至少有:k=n/m +1 个物体：当 n 不能被 m 整除时。k=n/m 个物体：当 n 能被 m 整除时。理解知识点：X 表示不超 过 X 的最大整数。例4.351=4； 0.321=0；2.9999=2；关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。11、定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。基本思路：严格按照新
8、定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。注意事项：新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。每个新定义 的运算符号只能在本 题中使用。12、数列求和等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用 a1 表示；项数：等差数列的所有数的个数，一般用 n 表示；公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用 d 表示；通项：表示数列中每一个数的公式，一般用 an 表示；数列的和：这一数列全部数字的和，一般用 Sn 表示基本思路：等差数列中涉
9、及五个量：a1 ,an, d, n,sn,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。基本公式：通项公式：an = a1+（n1）d；通项首项（项数一 1)公差；数列和公式：sn,= (a1+ an)n2；数列和（首项末项）项数2；项数公式：n= (an+ a1)d 1；项数=（末 项-首项）公差1；公差公式：d =（an a1）（n1）；公差=（末 项首 项）（项数1）；关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；13、二进制及其应用十进制：用 09 十个数字表示，逢 10 进 1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上
10、的 2 表示 20，百位上的 2 表示 200。所以 234=200+30+4=2102+310+4。=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+A3102+A2101+A1100注意：N0=；N =N（其中 N 是任意自然数）二进制：用 01 两个数字表示，逢 2 进 1；不同数位上的数字表示不同的含义。（2）= An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7+A322+A221+A120注意：An 不是 0 就是 1。十进制化成二进制：根据二进制 满 2 进 1
11、 的特点，用 2 连续去除这个数，直到商为 0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。先找出不大于该数的 2 的 n 次方，再求它 们的差，再找不大于这个差的 2 的 n 次方，依此方法一直找到差为 0，按照二进制展开式特点即可写出。14、加法乘法原理和几何计数加法原理：如果完成一件任务有 n 类方法，在第一类方法中有 m1 种不同方法，在第二类方法中有 m2 种不同方法，在第 n 类方法中有 mn 种不同方法，那么完成这件任务共有：m1+ m2. +mn 种不同的方法。关键问题：确定工作的分类方法。基本特征：每一种方法都可完成任务。乘法原理：如果完成一件任务需要分成 n 个步骤进行，做
12、第 1 步有 m1 种方法，不管第 1 步用哪一种方法，第 2 步总有 m2 种方法不管前面 n-1 步用哪种方法，第 n 步总有 mn 种方法，那么完成这件任务共有：m1m2.mn 种不同的方法。关键问题：确定工作的完成步骤。基本特征：每一步只能完成任务的一部分。直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。直线特点：没有端点，没有长度。线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。线段特点：有两个端点，有长度。射线：把直线的一端无限延长。射线特点：只有一个端点；没有长度。数线段规律： 总数1+2+3+（点数一 1）；数角规律=1+2+3+（射线数一 1）；数长方形规 律：个数=
13、 长的线段数宽的线段数：数长方形规 律：个数=11+22+33+行数列数15、质数与合数质数：一个数除了 1 和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。合数：一个数除了 1 和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。分解质因数的标准表示形式：N= ，其中 a1、a2、a3an 都是合数 N 的质因数，且 a1a2a3an。求约数个数的公式：P=(r1+1)(r2+1)(r3+1)(rn+1
14、)互质数：如果两个数的最大公约数是 1，这两个数叫做互质数。16、约数与倍数约数和倍数：若整数 a 能够 被 b 整除，a 叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数。公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。最大公约数的性质：1、 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。3、 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。4、 几个数都乘以一个自然数 m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 m。例如：12 的约数有 1、2、3、4、6、12；18 的约数有：1、2、3、 6、
15、9、18；那么 12 和 18 的公约数有：1、2、 3、6；那么 12 和 18 最大的公约数是：6，记作（12， 18）=6；求最大公约数基本方法：1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能 够整除的那个余数，就是所求的最大公 约数。公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。12 的倍数有：12、24、36、48；18 的倍数有：18、36、54、72；那么 12 和 18 的公倍数有：36、72、 108；那么 12 和 18 最小的公倍数是
16、36，记作12， 18=36；最小公倍数的性质：1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法17、数的整除基本概念和符号：1、整除：如果一个整数 a，除以一个自然数 b，得到一个整数商 c，而且没有余数，那么叫做 a 能被 b 整除或 b 能整除 a，记作 b|a。2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号 “ ”；因为符号 “”，所以的符号“ ”；整除判断方法：1.能被 2、5 整除：末位上的数字能被 2、5 整除。2.能被 4、25 整除：末两位的数字所组成的数能
17、被 4、25 整除。3.能被 8、125 整除：末三位的数字所组成的数能被 8、125 整除。4.能被 3、9 整除：各个数位上数字的和能被 3、9 整除。5.能被 7 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被 7 整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的 2 倍后能被 7 整除。6.能被 11 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被 11 整除。奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被 11 整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被 11 整除。7.能被 13 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被 13 整
18、除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的 9 倍后能被 13 整除。整除的性质：1.如果 a、b 能被 c 整除，那么（a+b ）与（a-b ）也能被 c 整除。2.如果 a 能被 b 整除，c 是整数，那么 a 乘以 c 也能被 b 整除。3.如果 a 能被 b 整除，b 又能被 c 整除，那么 a 也能被 c 整除。4.如果 a 能被 b、c 整除，那么 a 也能被 b 和 c 的最小公倍数整除。18、余数及其应用基本概念：对任意自然数 a、b、q、r，如果使得 ab=qr，且 0rb,那么 r 叫做 a 除以 b 的余数，q 叫做a 除以 b 的不完全商。余数的性质：余数小于除数。若 a
19、、b 除以 c 的余数相同，则 c|a-b 或 c|b-a。a 与 b 的和除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数加上 b 除以 c 的余数的和除以 c 的余数。a 与 b 的积除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数与 b 除以 c 的余数的积除以 c 的余数。19、余数、同余与周期同余的定义：若两个整数 a、b 除以 m 的余数相同， 则称 a、b 对于模 m 同余。已知三个整数 a、b、m，如果 m|a-b，就称 a、b 对于模 m 同余， 记作 ab(mod m)，读作 a 同余于 b 模 m。同余的性质：自身性：aa(mod m)；对称性：若 ab(mod m)，则 ba(mo
20、d m)；传递性：若 ab(mod m)，bc(mod m)，则 a c(mod m)；和差性：若 ab(mod m)，cd(mod m)，则 a+cb+d(mod m)，a-cb-d(mod m)；相乘性：若 a b(mod m)，cd(mod m)，则 ac bd(mod m)；乘方性：若 ab(mod m)，则 anbn(mod m)；同倍性:若 a b(mod m)，整数 c，则 ac bc(mod mc)；关于乘方的预备知识：若 A=ab，则 MA=Mab=（Ma）b若 B=c+d 则 MB=Mc+d=McMd被 3、9、11 除后的余数特征：一个自然数 M，n 表示 M 的各个数位
21、上数字的和，则 Mn(mod 9)或（mod 3）；一个自然数 M，X 表示 M 的各个奇数位上数字的和，Y 表示 M 的各个偶数数位上数字的和， 则 MY-X 或 M11-（X-Y）(mod 11)；费尔马小定理：如果 p 是质数（素数），a 是自然数，且 a 不能被 p 整除，则 ap-11(mod p)。20、分数与百分数的应用基本概念与性质：分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0 除外），分数的大小不变。分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。常用方法：逆向
22、思维方法：从 题目提供条件的反方向（或 结果） 进行思考。对应思维方法：找出 题 目中具体的量与它所占的率的直接 对应关系。转化思维方法：把一 类应 用题转化成另一类应用 题进行解答。最常 见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。假设思维方法： 为了解 题的方便，可以把 题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后 结果。量不变思维 方法：在变 化的各个量当中， 总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：
23、A、分量 发生变化，总量不变。B、 总量发生变化，但其中有的分量不变。C 、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系 单一化、量率关系明朗化。同倍率法：总量和分量之 间按照同分率变化的规 律进行处理。浓度配比法：一般 应用于 总量和分量都发生变化的状况。21、分数大小的比较基本方法：通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比 较。通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比 较。基准数法：确定一个标 准，使所有的分数都和它进行比较。分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的
24、分数 值越大。倍率比较法：当比 较两个分子或分母同 时变化时 分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。 （具体运用见同倍率变化规律）转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的 值）后进行比较。倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和 1 进行比较。大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和 0 比较。倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。基准数比较 法：确定一个基准数，每一个数与基准数比 较。22、分数拆分将一个分数单位分解成两个分数之和的公式。23、完全平方数完全平方数特征：1.末位数字只能是：0、1、4、5、 6、9；反之不成立。2.除以 3 余 0 或余 1；反之不成立。3.除以 4 余 0 或余 1；反之不成立。4.约数个数为奇数；反之成立。5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y224、比和比例比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。
