1、 第一章:统计量及其分布19.设母体 服从正态分布 N 和 分别为子样均值和子样方差,又设,22nS且与 独立, 试求统计量 的抽样分布.21,Nn n,21 11n解: 因为 服从 分布. 所以1n 21,0而,21Nn2nSn且 与 独立, 所以 分布.2nS1 111 ntSnSn即 服从 分布.1nt20. 是取自二元正态分布 N 的子样,设,nii212, 和 iiinini S1211, 21niiS试求统计量 的分布.niiniiiniir12211221nSrS解: 由于 .21E.,covDnn2121所以 服从 分布 . n2121,0N21 121212 iini iin
2、iiniiiSrS是正态变量,类似于一维正态变量的情况,可证 与 相互独立. ii SrS22, 所以 统计量122121nSrSn22SrS服从 分布.1)2(1212121nSrSn t第二章：估计量1. 设 是来自二点分布的一个子样,试求成功概率 的矩法估计量.n,1 p解: pE3. 对容量为 的子样,求密度函数 n中参数 的矩法估计其 它,02; axaxf3. 对容量为 的子样,求密度函数 中参数 的矩法估计n其 它,02; axaxf量.解: 令 得 .320adxaE3a4. 在密度函数 中参数 的极大似然估计量是什么?10,f矩法估计量是什么?解: (1) niinni xx
3、L1ii10.l1ll 1ni令 ， 得 。0lln1inixLniiLx1l由于 故 是 极大似然估计.01ln22LniiLx1l(2) 由 令 得 2E2.1214. 设 为取自参数为 的普哇松分布的一个子样.试证子样平均 和n,1 都是 的无偏估计.并且对任一值niinS122)(也是 的无偏估计.0,2*nS证: 对普哇松分布有 , 从而DE.122* DnSini故 与 都是 的无偏估计. 又2n 112*nSE故 也是 的无偏估计.*S15. 设 为取自正态母体 的一个子样,试适当选择 ,使,1n 2Nc为 的无偏估计.212niiicS解: 由 且 相互独立可知 ,iE2iDn
4、,1从而jiji j21211212 EnncEcSiiiini .2nDi取 时, 为 的无偏估计.12ncS217. 设随机变量 服从二项分布 ,n,10,1xxnPn试求 无偏估计量.2解: 由于 nE2222 11nnED故 从而当抽得容量为 N 的一个子样后,.12的无偏估计为:2.22nNii量.解: 令 得 .320adxaE3a34. 设 是取自正态母体 的一个子样,其中 为已知,证明n,1 2N(i) 是 的有效估计;212iinS(ii) 是 的无偏估计,并求其有效率 .ni1证 由 知, , 又 的密iSn2.2nESnDS422,N度函数为 , 故21xexf 22l1
5、lxf对 求导得： 2242lnf从而 42242 11l EfE， 故 下界为 。422lnL或 RCnn4142是 的有效估计.2nS. 由于i 2221202 dyedxexEii故 ， 即 是 的无偏估计. 又E 22212112 nnEnDnii 而 222l f故 CR 下界为 ， 的有效率为 。n2876.02n30 .设 是取自具有下列指数分布的一个子样. n,1 其 它,01xexf证明 是 的无偏、一致、有效估计。ni1证: 由于 是 的无偏估计.20dxeEi 又 ， 故22202 3xi 2iD从而 ， 而.2nD2411lnEfE故 下界为 因此 是 的有效估计.RC
6、,2另外,由契比可夫不等式 02 nDP所以 还是 的一致估计.32. 设 是独立同分布随机变量, 都服从n,1， 则 是 的充分统计量.10,21,; xxf niT1证: 由于 的联合密度为 n,1 ixnxf,1 ,210i取 , 则由因子分解定理知, 是 的充分统计量.,12ixnk1knT33. 设 是独立同分布随机变量,都服从具参数为 的普哇松分布,则 是关n,1 ni1于 的充分统计量. 证: 由于 的联合密度是 n,1 nixnexfi!1 2,0i取 , , 则由因子分解定理知 : 是充分统计量.21nxeki12!ixknT第三章：假设检验1 设 取自正态母体 其中 为未知
7、参数, 为子样均值，对检验问题25, )9,(N取检验的拒绝域 : ,0100:HcxC0251:)(试决定常数 c 使检验的显著性水平为 0.05.解:因为 所以 在 成立下 ,） ，（ 9N），（ 2590H,5.31C35PCP000 ）（, 所以 C=1.176.96.1,97.352设子样 取自正态母体 已知，对检验假设),(1n 20),(N的问题，取临界域 .000:,:H01:)(cxCn（i）求此检验犯第一类错误的概率 ,犯第二类错误的概率 ,并讨论它们之间的关系.（ii）设 ,求 时不犯第二类错误的概率.95.,4.,5.200n650解: (i).在 成立下, 0H），（
8、N20,nCnPC000 0 0110CnuCun其中 是 N（0，1）分布的 分位点。在 H1 成立下, , ），（ n20nCnP00101 =0100 01uCu 当 增加时， 减少，从而 减少；反之当 减少时，将导致 增加。1u（ii）不犯第二类错误的概率为 1- 。01 0.956.132nu= .746.5.25.64.14，设某产品指标服从正态分布，它的根方差 已知为 150 小时，今由一批产品中随机地抽查了 26 个，测得指标的平均值为 1637 小时，问在 5%的显著性水平下，能否认为这批产品的指标为 1600 小时？解：母体 ， 对假设 采用 U检验法，,1502N160:
9、0H在 H0 为真下，检验统计量观察值为 时临界值2.578,0.xu。 由于 ， 所以接受 ，.975126u10H即不能否定这批产品指标为 1600 小时5 某电器零件的平均电阻一直保持在 2.64 均方差保持在 0.06 .改变加工工艺后测的100 个零件,其平均电阻为 2.62 ,均方差不变.问新工艺对此零件的电阻有无显著差异?取显著性水平 。01.解：设改变工艺后，电器零件电阻为随机变量 ，则 未知，E。 检验假设 。 26.D64.2:0H从母体中取了容量为 100 子样， 近似服从正态分布，即： 。 106.,2N因而对假设 可采用 u检验计算检验统计量观察值0H， 02.641
10、03.n0.1,。 由于 。0.95121u 123.u所以拒绝原假设 即改革工艺后零件的电阻一有显著差异。0H6. 有一种新安眠剂,据说在一定剂量下能比某种就旧安眠剂平均增加睡眠时间 3 小时,根据资料用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为 20.8 小时,均方差为 1.8 小时,为了检验新安眠剂的这种说法是否正确,收集到一种使用新安眠剂的睡眠时间( 以小时为单位) 为: 26.7, 22.0, 24.1, 21.0, 27.2, 25.0, 23.4试问这组数据能否说明新安眠剂已达到新的疗效? ( )0.5解：设新安眠剂疗效为随机变量 ，则 未知， 。 E28.1D检验假设 ， 8.20:0H8.
11、20:1从母体中取了容量为 7 子样， 近似服从正态分布，即： 。 7.,2N因而对假设 可采用 u检验计算检验统计量观察值0， 021.340.8.3n0.5,。 由于 。10.9564u 1.7u所以接收原假设 ，即新安眠剂未达到新的疗效。0H15设 X1,X2,- ,Xn 为取自总体 X 的简单随机样本，其中 0 为已知常数，20,N选择统计量 U = ，求 的 1- 的置信区间。210ii 2解：由于 U = 服从 (n)， 于是210niiX220211niiXn故 的 1- 的置信区间 。222001122,ni ii iX16在某校的一个班体检记录中，随意抄录 25 名男生的身高
12、数据，测得平均高为170 厘米， （修正）标准差为 12 厘米，试求该班男生的平均身高 和身高标准差 的 0 .95置信区间（假设身高近似服从正态分布） 。解：由题设 身高 XN（ ） ，n=25， 。2,5.0,12,70SX（1） 先求的置信区间（ 未知）取故 置信区间为：0.97512(),()(4).6XUtnttS (170 )=(170-4.94, 170+4.94)=(165.06, 174.94) (2). 6,570,6.251的置信区间（ 未知）取22220.975120.25(1)(),()(4)3.64.nSUn故 的 0.95 置信区间为 2 )69.278,0.()
13、41.2,36.9(的 0.95 置信区间为 .,3978,014在测量反应时间中，一心理学家估计的标准差为 0.05 秒，为了以 95% 的置信度使他对平均反应时间的估计误差不超过 0.01 秒，应取多大的样本容量 n?解：以 X 表示反应时间，则 为平均反应时间，由条件知，样本标准差)(XES=0.05, 用样本均值 估计 当 n 充分大时，统计量 近似服从标. nXSU05.准正态分布 N（0，1） ，根据条件，要求样本容量满足. 即950.105. nXPXP即20.1.,.64n9.86.04n应取样本容量 n 为 96 或 97。8在某年级学生中抽测 9 名跳远年成绩，得样本均值
14、= 4.38 m . 假设跳远绩XX 服从正态分布，且 = 03, 问是否可认为该年级学生跳远平均成绩为 = 4.40 m ( = 0.10).解：(1) 40.:0H4.:1H(2) 选统计量 (0,);XUNn（3）查标准正态分布表，得出临界值 拒绝域0.951264,uZ);,64.1().,(4)算得, 显然 0.2 不在拒绝域内，因此 H0 被接收，即可,2.03.80U认为该年级学生跳远平均成绩为 4.40 米。9设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 36 位考生的成绩，算得平均成绩为 66.5 分，标准差 Sn*为 15 分，问在显著水平 0.05 下，是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分？并给出检验过程。031.25197.02tnt解：（1）待检假设 备择假设;:H70:1H（2）在 H0 成立条件下选择统计量 1XtnS（3）在显著性水平 0.05 下，查 t 分布表，找出临界值031.25197.02tnt拒绝域 ,.,
