1、 导数及其应用强化练习题型一 导数意义及应用例 1-1 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C：yx 310x3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为_答案 (1)( 2,15) 解析 (1)因为 y3x 210，设 P(x，y)，则由已知有 3x2102，即 x24，x 2，又点 P 在第二象限，x 2.则 y( 2)310(2)3 15，点 P 坐标为(2,15) 例 1-2 (2013 福建)已知函数 f(x)xaln x(aR)(1)当 a2 时，求曲线 yf(x)在点 A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数 f(x)的极值
2、解 函数 f(x)的定义域为(0，) ，f ( x)1 .ax(1)当 a2 时，f (x)x2ln x，f(x)1 (x0)，2x因而 f(1)1，f(1) 1，所以曲线 yf(x )在点 A(1，f(1)处的切线方程为 y1 (x1)，即 xy20.(2)由 f(x) 1 ，x0 知：ax x ax当 a0 时，f(x )0，函数 f(x)为(0，) 上的增函数，函数 f(x)无极值；当 a0 时，由 f(x) 0，解得 xa.又当 x(0 ，a)时，f(x)0，从而函数 f(x)在 xa 处取得极小值，且极小值为 f(a)aaln a，无极大值综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值；当
3、 a0 时，函数 f(x)在 xa 处取得极小值 aaln a，无极大值变式训练 1 (1)(2013湖北)直线 y2x b 是曲线 yln x (x0)的一条切线，则实数b_.答案 ln 21解析 切线的斜率是 2，根据导数的几何意义可以求出切点的横坐标，进而求出切点的坐标，切点在切线上，代入即可求出 b 的值y ，令 2，得 x ，故切点为1x 1x 12，代入直线方程，得 ln 2 b，所以 bln 21.(12，ln 12) 12 12题型二 利用导数研究函数的单调性例 2 已知函数 f(x)x 2aln x.(1)当 a2 时，求函数 f(x)的单调递减区间；(2)若函数 g(x)f
4、( x) 在1 ，) 上单调，求实数 a 的取值范围2x审题破题 (1)直接根据 f( x)0 时，求函数 f(x)的单调区间解 (1)函数的定义域为( ，2)依题意得 f(x )a .1x 2因此过(1，f(1)点的切线的斜率为 a1.又 f(1)a，所以过点(1 ，f(1)的切线方程为 ya(a1)(x1)，即(a1)xy 10.又已知圆的圆心为(1,0)，半径为 1，依题意，有 1，解得 a1.|1 a 1|a 12 1(2)f(x)ln(2 x)ax 的定义域为( ，2)，f(x)a .因为 a0，所以 2 0，解得 x0，1x所以 f(x)在区间1，e上为增函数所以当 x1 时，f(
5、 x)取得最小值 ；12当 xe 时，f(x)取得最大值 e21.12(2)证明 设 h(x)g( x)f( x) x3 x2ln x，x1，)，23 12则 h(x) 2x 2x 1x 2x3 x2 1x .x 12x2 x 1x当 x(1 ，)时，h(x )0，h(x)在区间1 ，)上为增函数，所以 h(x)h(1) 0.16所以对于 x(1，)，g(x )f(x)成立，即 f(x)的图象在 g(x)的图象的下方变式训练 3 (2013广东)设函数 f(x)(x1)e xkx 2(kR)(1)当 k1 时，求函数 f(x)的单调区间；(2)当 k 时，求函数 f(x)在0 ，k上的最大值
6、M.(12，1解 (1)当 k1 时，f(x )(x1)e xx 2，f(x )e x(x 1)e x2x x (ex2)令 f(x )0 得 x10，x 2ln 2.列表如下：x (，0) 0 (0，ln 2) ln 2 (ln 2，)f(x ) 0 0 f(x) 极大值 极小值 由表可知，函数 f(x)的递减区间为(0，ln 2)，递增区间为(，0)，(ln 2，) (2)f(x) e x(x 1)e x2kxx(e x2k) ， g(1)1ln 20， 0 即 kln 2k，12f(x)在(0，ln 2k )上单调递减，在(ln 2k，k)上单调递增，f(x)在0，k 上的最大值应在端点
7、处取得而 f(0)1，f( k)( k1)e k k3，下面比较 f(0)与 f(k)的大小令 h(k)f(k) f(0) (k 1)e kk 31，则 h(k) k(e k3k )，再令 (k)e k 3k，则 (k)e k30 ，当 k(x 0,1)时，(k )0，h(1)0.(12) 12 e 78h(k)0 在 上恒成立，当且仅当 k1 时取“” (12，1综上，函数 f(x)在0，k上的最大值 M(k1)e kk 3.题型四 导数的综合应用例 4 已知函数 f(x)axsin x (a0)，且 f(x)在区间 上的最大值为 .32 0，2 32(1)求函数 f(x)的解析式；(2)判
8、断函数 f(x)在(0 ，) 内零点个数，并加以证明审题破题 (1)通过求最值可确定 a 的值；(2)函数 f(x)的零点个数可以利用函数单调性、极值结合函数草图确定解 (1)f(x) asin xaxcos xa(sin xx cos x)x 时，sin xx cos x0.(0，2)又 a0，f(x)0，f(x )在 上是增函数0，2则 f(x)maxf a ，a1，(2) 2 32 32所以 f(x)xsin x .32(2)函数 f(x)在区间 (0，) 内有且只有两个零点证明如下：由(1)知，f(x) xsin x ，32从而 f(0) 0.32 (2) 2 32由(1)知，f(x)
9、 在 上是增函数，且 f(x)的图象连续不间断，0，2f(x)在区间 上有唯一零点；(0，2)当 x 时，令 g(x)f(x)sin xx cos x，2，)由 g 10， g()g(m) 0，即 f(x)0，(2，m)从而 f(x)在 内单调递增，(2，m)故当 x 时，f(x )f 0.2，m (2) 32故 f(x)在 上无零点；2，m当 x(m ，) 时，有 g(x)0，f()0 成立1a规范解答解 (1)由题意，g(x )ln x ，x0，1xg(x ) ，且 x0，x 1x2令 g(x) 0，得 x1，2 分当 x(0,1)时，g(x)0.故(1，) 是 g(x)的单调增区间，因此
10、，x1 是 g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点所以最小值为 g(1)1.4 分(2)由(1)知 g ln x x ，(1x)设 h(x)g(x) g 2ln xx ，(1x) 1x则 h(x) ，且 x0.6 分x 12x2当 x1 时，h(1)0，即 g(x)g ；(1x)当 x(0,1)(1，)时，h(x)h(1)0，即 g(x)g ，(1x)当 x1 时，h( x)0 成立g(a) 1 .1a 1a则 ln a 1 ，即 ln a1，1a 1a0ae.故实数 a 的取值范围是(0，e)12 分评分细则 (1)g(x )的单调区间写成(0,1，1，) 的不扣分；只求出极值没有写出最值的扣 1 分；(2)a 的取值范围写成不等式的不扣分；没有下结论的扣 1 分阅卷老师提醒 (1)研究函数相关问题，树立定义域优先意识(2)树立分类讨论，转化化归的思想意识，善于根据条件特征构造函数，重视函数、不等式(方程) 间的转化(3)对于不等式恒成立问题，善于转化为 g(a) g(x)min，分离参数或构造关于参数的1a不等式，达到求解目的
