1、概率论与数理统计习题及题解沈志军 盛子宁第一章 概率论的基本概念1设事件 及 的概率分别为 及 ，试求 及BA,qp,r)(,),(BAP)(P2若 相互独立，试证明： 亦必相互独立。C, CBA,3试验 为掷 2 颗骰子观察出现的点数。每种结果以 记之，其中 分别表示E ),(21x21,x第一颗、第二颗骰子的点数。设事件 ，0|),(21xA事件 。试求 和|),(2121xxB|BP|4某人有 5 把钥匙，但忘了开房门的是哪一把，只得逐把试开。问：（1）恰好第三次打开房门锁的概率？（2）三次内打开的概率？（3）如果 5 把里有 2 把房门钥匙，则在三次内打开的概率又是多少？5设有甲、乙两
2、袋，甲袋中装有 个白球、 个红球，乙袋中装有 个白球、nmN个红球。今从甲袋中任意取一个放入乙袋中，再从乙袋中任意取一个，问取到白球的M概率是多少？6在时间间隔 5 分钟内的任何时刻，两信号等可能地进入同一收音机，如果两信号进入收音机的间隔小于 30 秒，则收音机受到干扰。试求收音机不受干扰的概率？7甲、乙两船欲停靠同一码头，它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的，各自在码头上停留的时间依次是 1 小时和 2 小时。试求一船要等待空出码头的概率？8某仓库同时装有甲、乙两种警报系统，每个系统单独使用的有效率分别为0.92,0.93,在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为 0.15。试求下
3、列事件的概率：（1）仓库发生意外时能及时发出警报；（2）乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵？9设 为两随机变量，试求解下列问题：BA,（1） 已知 。求： ；6/1)|(,3/1)(BAPP)|(BAP（2） 已知 。求： 。2/|,/|,4/ 10先把长为 的木棍折断为两部分，再把较大的那一部分折断成两部分。试求所得l三部分能成三角形的概率？11甲、乙、丙三人向同一飞机射击，假设他们的命中率都是 。又若只有一人命4.0中时，飞机坠毁的概率为 ；若恰有二人命中时，飞机坠毁的概率为 ；若三人同时2.0 6命中，则飞机必然坠毁。试求：（1）飞机坠毁的概率；（2）若飞机已经坠毁，则坠毁的飞机是因为恰有二
4、人命中的概率？12今有门高射炮独立地向一飞机射击，每门炮能击中飞机的概率为 。 （）同.0时各射一弹，试求飞机被击中的概率；（）欲以 以上的把握击中飞机，试问至少要9布置多少门炮同时射击？13某工厂有职工 名，每名职工生日在一年中某一天的概率为 ，试求下475 365/1列事件的概率：（）恰有名职工生日在同一天 ；（）至少有名职工生日在同)(A一天（ ）？B14假设飞机的每个发动机在飞行中出现故障的概率为 ，且各发动机故障与否p1是相互独立的。如果至少有 的发动机正常，飞机可成功飞行。问对于多大的 ，%50 p个发动机比个发动机更为保险？15设事件 满足：CBA, 0)()(,8/1)(,4/
5、1)()( BCPACPP试求 三事件至少有一发生的概率？,16某地区气象资料表明，邻近的甲、乙两城市中的甲市全年雨天比例为 ，乙市%12全年雨天比例为，甲、乙两市至少的一城市为雨天比例为 ，试求下列事件的概8.16率：（）甲、乙两市同为雨天；（）在甲市雨天的条件下乙市亦为雨天；（）在乙市无雨的条件下甲市亦无雨？17某地以英文字母及阿拉伯数字组成位牌照。试求下列事件的概率：（）牌照的前位是英文字母、后位是阿拉伯数字（ ） ；（）牌照中有位是英文字母、另A外位是阿拉伯数字（ ）？B18甲、乙两个乒乓球运动员进行单打比赛，如果每赛一局甲胜的概率为 ，乙胜6.0的概率为 ，比赛既可采用三局两胜制，也
6、可以采用五局三胜制，问采用哪种赛制对甲4.0更有利？19平面上画有平行线若干、其间距交替地等于 厘米及 8 厘米。今任意地向平面5.1投掷一半径为 厘米的圆片。试求该圆与任一平行线不相交的概率？5.220甲、乙两人相约于一小时内在某地会面，商定先到者等候 10 分钟，过时即可离去。试求他们能会到面的概率？21平面上画有距离为 的平行线若干条。今向此平面任意投一长为)0(a的小针。试求小针与平行线之一相交的概率？)(al22若 相互独立，则（1） 独立；（2） 独立；（3） 独立。BA, BA,BA,BA,23当掷五枚硬币时，已知至少出现两个正面，求正面数刚好是三个的条件概率？24掷三颗骰子，若
7、已知没有两个相同的点数，试求至少有一个一点的概率？25设事件 的概率分别为 和 ，试求下列三种情况下 的值：BA,312)(BAP（1） 与 互斥；（2） ；（3）81)(ABP26将 3 个球随机地放入 4 个杯子中去，求杯子中球数的最大值分别为 1，2，3 的概率？27袋中有 12 个球，其中 8 个白球，4 个黑球，现从中任取两个，求：（1）两个均为白球的概率？（2）两个球中一个是白的，另一个是黑球的概率？（3）至少有一个黑球的概率？28将 10 本书随意放在书架上，求：其中指定的 5 本书放在一起的概率？29甲、乙二班共有 70 名同学，其中女同学 40 名，设甲班有 30 名同学，而
8、女生 15名，求：在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率？30设一仓库中有 10 箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有 5 箱、3 箱、2 箱，三厂产品的次品率依次为 0.1,0.2,0.3，从这 10 箱中任取一箱，再从这箱中任取一件产品，求：取得正品的概率？31某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一型号的螺钉，各车间的产量分别占该厂螺钉产品的 25%，35%，40%，各车间成品中次品分别为各车间产量的 5%，4%，2%，今从该厂的产品中任取一个螺钉经检查发现是次品，问它是甲、乙、丙三个车间生产的概率是多少？32有产品 100 件，其中 10 件次品，90 件正品。现从中任取
9、3 件，求：其中至少有一件次品的概率？33100 人参加数理化考试，其结果是：数学 10 人不及格，物理 9 人不及格，化学 8人不及格，数学、物理两科都不及格的有 5 人，数学、化学两科都不及格的有 4 人，物理、化学两科都不及格的有 4 人，三科都不及格的有 2 人。问全部及格的有多少人？34两台机器加工同样的零件，第一台机器的产品次品率是 0.05，第二台机器的产品次品率是 0.02。两台机器加工出来的零件放在一起，并且已知第一台机器加工的零件数量是第二台机器加工出来的零件数量的两倍。从这些零件中任取一件，求：此零件是合格品的概率？如果任意取出一件，经检验是次品，求：它是由第二台机器生产
10、的概率？35有枪 8 支，其中 5 支经过试射校正，3 支未经过试射校正。校正过的枪，击中靶的概率是 0.8；未经校正的枪，击中靶的概率是 0.3。今任取一支枪射击，结果击中靶，问此枪为校正过的概率是多少？36某射手射击一发子弹命中 10 环的概率为 0.7，命中 9 环的概率为 0.3。求：该射手射击三发子弹而得到不小于 29 环成绩的概率？37设 ，试求： 及5.0)(,1.)(,BPAB ),(),BAP)()(AP38已知 ，求：3.)(,7.0)()(39某举重运动员在一次试举中能打破世界纪录的概率是 ，如果在比赛中他试举三p次，求：他打破世界纪录的概率？40工厂生产的某种产品的一级
11、品率是 40%，问需要取多少件产品，才能使其中至少有一件一级品的概率不小于 95%？41假设每个人的生日在任何月份内是等可能的，已知某单位中至少有一个人的生日在一月份的概率不小于 0.96，问该单位有多少人？42从 5 双不同尺码的鞋子中任取 4 只，问 4 只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？43仪器中有三个元件，它们损坏的概率是 0.1，并且损坏与否相互独立。当一个元件损坏时，仪器发生故障的概率是 0.25；当两个元件损坏时，仪器发生故障的概率是0.6；当三个元件损坏时，仪器发生故障的概率是 0.95；当三个元件都不损坏时，仪器不发生故障。求：仪器发生故障的概率？44在套圈游戏中，甲、
12、乙、丙每投一次套中的概率分别是 0.1,0.2,0.3，已知三个人中某一个人投圈 4 次而套中一次，问此投圈者是谁的可能性最大？45在 40 个同规格的零件中误混入 8 个次品，必须逐个查出，求：正好查完 22 个零件时，挑全了 8 个次品的概率？46设事件 与 相互独立，两事件中只有 发生及只有 发生的概率都是 ，求ABAB41与)(P第二章 随机变量及其分布1一大楼装有 5 个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻 每个设备被使用的概率t为 ，问在同一时刻：（1 ）恰有 2 个设备被使用的概率？（2）至少有 3 个设备被使用.0的概率？（3）至多有 3 个设备被使用的概率？2设有一批产品共
13、100 件，其中有 95 件正品，5 件次品。现从中随机地抽取 10 件，试以观察抽得的次品数为随机变量，写出其分布律，并求次品数 不超过 3 的概率？X3设 的分布律为XX 0 1 2p 0.3 0.6 0.1求 的分布函数？4设随机变量 的分布函数为 。试求：)(,arctn)( xBAxF（1）系数 ；（2） 落在（-1，1）内的概率？（3） 的概率密度？BA,XX5设随机变量 服从 的指数分布，试求：（1） ；05. 10P（2）若要 ，则 应在什么范围内？.xPx6设随机变量 的概率密度为 ，求 的分布函数？X其 它0112)(2xxfX7设随机变量 的概率密度为： 求 的分布函数？
14、X其 它0212)(xxf X8设连续型随机变量 的分布函数为 10)(2xkxF试求：（1）系数 ；（2） 的概率密度；（3） 。kX3.0XP9设随机变量 的分布函数为 5102)(xxF试求：（1） 的概率密度；（2） 落在（3，6）内的概率？XX10随机变量 的概率密度为 ),(,)(| xkexfx试求：（1）系数 ；（2） ；（3） 的分布函数？k10P11某种电子管的使用寿命 （单位：小时）的概率密度为X10)(2xxf设某仪器内装有三个这样的电子管。试求：（1）试用的最初 150 小时内没有 1 个电子管损坏的概率；（2）这段时间内只有 1 个电子管损坏的概率？12设随机变量
15、的分布律为XX -1 0 1 2 3p 1/12 1/4 1/6 1/12 5/12试求：（1） 的分布律；（2） 的分布律？1Y)(XY13设 的概率密度为 ，求 的概率密度？X其 它0)(2xxf XYsin14设随机变量 在（0，1）上服从均匀分布，试求：（1） 的概率密度；Xe（2） 的概率密度？XYln15设随机变量 在区间 上服从均匀分布。求随机变量 的概率2,XYcos密度？16设随机变量 。试求： 的概率密度？)1,0(NX|)2(;)(XYeX17设随机变量 。试求： 的概率密度？),(1218设电流 是一个随机变量，它均匀分布在 911 安之间。若此电流通过 2 欧的电I阻
16、，试求功率 的概率密度？2W19设随机变量 的概率密度为 ，求 的概率密度；若随机变量 服从X)(xf3XYX参数为 的指数分布，求 的概率密度？3Y20某种商品一周内的需要量 是一个随机变量，其概率密度为，设各周的需要量是相互独立的，求：（1）两周；（2）三周的需0)(xexf要量的概率密度？21设 是一个随机变量，在（-1，1）上服从均匀分布，求 的概率密度？X |XY22设 求：（1） ；（2）使 的？),45(N3|XPcP注： 9.0)4(,987.0)(,97.0)(,83.0,.)0( 23同时掷两颗骰子，观察它们出现的点数。记 为两颗骰子出现的最大点数，试求的分布律？X24某批
17、产品的次品率为 1/4，现对这批产品进行测试，以 表示首次测得正品的测X试次数，求 的分布律？25设连续型随机变量 的概率密度为X其 它01)()2xxcf试求：（1）常数 ；（2） ；（3） 的分布函数？5.XPX26电话总机在 1 小时内平均接到 60 次呼唤，试问在 30 秒内 1 次呼唤也没有接到的概率有多大？27对某一目标进行射击，直到击中时为止。若每次射击的命中率为 ，试求射击次p数的分布律？28设盒中有 5 个球，其中 3 个黑球、2 个白球，从中随机抽取 3 个球，求：“抽得白球个数” 的概率分布？X29某射手每次射击打中目标的概率都是 ，现在他连续射击 30 次，求：他至少打
18、8.0中两次的概率？30某射手每次打中目标的概率都是 ，现在他连续向一个目标射击，直到第一次.击中目标为止。求：他射击次数不超过 5 次就能把目标击中的概率？31设随机变量 的概率分布为X ),321(,iCiXP试求：（1）常数 （2） 。;C4132已知随机变量 的分布律为X),210(,21kXP试求： 的分布律？)cos(Y33设某商店每月销售某种商品的数量服从参数为 7 的泊松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月此种商品不脱销的概率为 ？9.034设随机变量 服从参数为 的二项分布，问当 为何值时能使 最大？Xpn, kkXP35同时投掷两颗骰子，直到至少有一颗骰子出
19、现六点为止，试求：投掷次数 的分布？36一台仪器在 10000 个工作小时内平均发生 10 次故障，试求：在 100 个工作小时内故障不多于两次的概率？37设随机变量 的概率密度函数为X10)(2xAxp试求：（1）系数 ；（2） 落在 的概率；（ 3） 的分布函数。X),(X38设随机变量 的分布函数为210sin)(xAxF试求：常数 及 。6XP39设随机变量 服从正态分布 ，为使 ，问),160(2N80.210XP允许 的最大值是多少？40设测量两地间的距离时带有随机误差 ，其概率密度函数为X)(,2401)(30)2( xexpx试求：（1）测量误差的绝对值不超过 30 的概率；（2）接连测量三次，每次测量相互独立进行，求至少有一次误差不超过 30 的概率。41设随机变量 分别服从 与 区间上的均匀分布，试求：X,0的概率密度函数。Ysin42已知随机变量 只取-1，0，1，2 四个数值，其相应的概率依次是：，试求：常数C6,8543,43设连续型随机变量 的分布函数为X)0(,1arcsin0)( axBAxF
