1、1概率论与数理统计第一章 概率论的基本概念2样本空间、随机事件1事件间的关系 则称事件 B 包含事件 A，指事件 A 发生必然导致事件 B 发生 A称为事件 A 与事件 B 的和事件，指当且仅x 或当 A，B 中至少有一个发生时，事件 发生称为事件 A 与事件 B 的积事件，指当 且A，B 同时发生时，事件 发生BA称为事件 A 与事件 B 的差事件，指当且仅x 且当 A 发生、B 不发生时，事件 发生，则称事件 A 与 B 是互不相容的，或互斥的，指事件 A 与事件 B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的，则称事件 A 与事件 B 互为逆事件，又称事件且S BA 与事件 B 互为对立事件
2、2运算规则 交换律 BA 结合律 )()()()( CC分配律 B）（)()(徳摩根律 BAA 3频率与概率定义 在相同的条件下，进行了 n 次试验，在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数 称为事An件 A 发生的频数，比值 称为事件 A 发生的频率A概率：设 E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于 E 的每一事件 A 赋予一个实数，记为P（A） ，称为事件的概率1概率 满足下列条件：)(（1）非负性：对于每一个事件 A 1)(0P（2）规范性：对于必然事件 S （3）可列可加性：设 是两两互不相容的事件，有n,212（ 可以取 ）nkknkAP11)()(2概率的一些重要性质：（i） 0
3、)(（ii）若 是两两互不相容的事件，则有 （ 可以取 ）nA,21 nkknkAP11)()(（iii ）设 A，B 是两个事件若 ，则 ，B)()(BAP)(（iv）对于任意事件 A， 1)(（v） （逆事件的概率）1)(P（vi）对于任意事件 A，B 有 )()()( ABP4 等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件 A 包含 k 个基本事件，即 ，里21 kiii ee个 不 同 的 数 ， 则 有中 某，是， kkn2,1ii,21 中 基 本 事 件 的 总 数包 含 的 基 本 事 件 数S)(1j AePji5条件
4、概率（1） 定义：设 A,B 是两个事件，且 ，称 为事件 A 发生的0)(AP)(|(PBA条件下事件 B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。 非负性：对于某一事件 B，有 0)|(2。 规范性：对于必然事件 S， 1|AP3 可列可加性：设 是两两互不相容的事件，则有,2111)()(iii BAP3（3） 乘法定理 设 ，则有 称为乘法公式0)(AP)|()(BAP（4） 全概率公式： ni iiB1)|()(贝叶斯公式： ni iikkkAPAP1)|()|(6独立性定义 设 A，B 是两事件，如果满足等式 ，则称事件 A,B 相互独)()(B立定理一 设 A，
5、B 是两事件，且 ，若 A，B 相互独立，则0)(PBPA)|(定理二 若事件 A 和 B 相互独立，则下列各对事件也相互独立：A 与与，与，第二章 随机变量及其分布1 随机变量定义 设随机试验的样本空间为 是定义在样本空间 S 上的实值单值函X(e) .S数，称 为随机变量X(e)2 离散性随机变量及其分布律1 离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量满足如下两个条件（1） ， （2） =1k)(pxXP0kp1kP2 三种重要的离散型随机变量（1） 分布(01)设随机变量 X 只能取 0 与 1 两个值，它的分布律是，则称 X 服
6、从以 p 为参数的 分布或),kp-k1pP（，）（ (01)两点分布。（2）伯努利实验、二项分布设实验 E 只有两个可能结果：A 与 ，则称 E 为伯努利实验.设A4，此时 .将 E 独立重复的进行 n 次，则称这一串重复的1)p0P(A)（ p-1)AP(独立实验为 n 重伯努利实验。满足条件（1） ， （2） =1 注意n2,0kq)kX(-n， 0kp1kP到 是二项式 的展开式中出现 的那一项，我们称随机变量 X 服从参数k-nqpnp）（ k为 n，p 的二项分布。（3）泊松分布设随机变量 X 所有可能取的值为 0,1,2，而取各个值的概率为 其中 是常数，则称 X 服从参数为 的
7、泊松分布记,210,k!e)(-P0为 ）（3 随机变量的分布函数定义 设 X 是一个随机变量， x 是任意实数，函数 x-,P)x(F称为 X 的分布函数分布函数 ，具有以下性质(1) 是一个不减函数 （2）)()PxF)(（3）1(,01(0F， 且 是 右 连 续 的即 )(,0xFx4 连续性随机变量及其概率密度连续随机变量：如果对于随机变量 X 的分布函数 F（x） ，存在非负可积函数 ，使)(xf对于任意函数 x 有 则称 x 为连续性随机变量，其中函数 f(x)称为 X,dtf)(Fx-）（的概率密度函数，简称概率密度1 概率密度 具有以下性质，满足（1） ；)(f 1)( (2
8、),0-dxff（3） ；（4）若 在点 x 处连续，则有21)()xdfXxP )(F，)(f2,三种重要的连续型随机变量(1)均匀分布若连续性随机变量 X 具有概率密度 ，则成 X 在区间(a,b) 上服， 其 他，0a-b1)(bxxf5从均匀分布.记为 ），（ baUX(2)指数分布若连续性随机变量 X 的概率密度为 其中 为常数，则称， 其 他，00.e1)(x-f0X 服从参数为 的指数分布。（3）正态分布若连续型随机变量 X 的概率密度为 ，） xexfx-21)(2(的正态分布或高斯分布，记为，服 从 参 数 为为 常 数 ， 则 称（，其 中 )0），（ 2N特别，当 时称随
9、机变量 X 服从标准正态分布1，5 随机变量的函数的分布定理 设随机变量 X 具有概率密度 又设函数 处处可导且恒有,-)(xf， )(xg，则 Y= 是连续型随机变量，其概率密度为0)(,xg)(g其 他， , yhyfyfXY第三章 多维随机变量1 二维随机变量定义 设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 和 是定义在 SX(e) .SY(e) 上的随机变量，称 为随机变量，由它们构成的一个向量（X ，Y）叫做二维随机(e)变量设（X，Y）是二维随机变量，对于任意实数 x，y，二元函数称为二维随机变量（X，Y）的Py)(x)P(yxF ，记 成），（分布函数如果二维随机变量（X，Y）全部可
10、能取到的值是有限对或可列无限多对，则称（X，Y）是离散型的随机变量。我们称 为二维离散型随机变量（X，Y ）的， 2,1ji)y(jji pxP分布律。6对于二维随机变量（X，Y）的分布函数 ，如果存在非负可积函数），（ yxFf（x，y ） ，使对于任意 x，y 有 则称（X，Y ）是连续性，），（），（ y-duvfF的随机变量，函数 f（x，y）称为随机变量（ X，Y）的概率密度，或称为随机变量 X 和 Y的联合概率密度。2 边缘分布二维随机变量（X，Y）作为一个整体，具有分布函数 .而 X 和 Y 都是随），（ yxF机变量，各自也有分布函数，将他们分别记为 ，依次称为二维随机变量）（
11、 ),xXY（X，Y）关于 X 和关于 Y 的边缘分布函数。， 2,1ixPp1jii ， 2,1jyPp1i ij j分别称 为（X，Y）关于 X 和关于 Y 的边缘分布律。ij分别称 ，dyxff）,()( dxyfyfY）,()( )(xfX为 X，Y 关于 X 和关于 Y 的边缘概率密度。yY3 条件分布定义 设（X，Y）是二维离散型随机变量，对于固定的 j，若 ,0jyYP则称 为在 条件下,21,ipyYPxXyxPjjiji j随机变量 X 的条件分布律，同样为在 条件下随机变量 X,jxXyYiijij ixX的条件分布律。设二维离散型随机变量（X， Y）的概率密度为 ， （X
12、，Y ）关于 Y 的边缘概),(yxf率密度为 ，若对于固定的 y， 0，则称 为在 Y=y 的条件下 X 的条)(yfY )(f)(fY件概率密度，记为 =)(xfYX(,fY4 相互独立的随机变量 定义 设 及 ， 分别是二维离散型随机变量（X，Y ）的分布），（ yF)(XFy7函数及边缘分布函数.若对于所有 x,y 有 ，即yPY,xXyYxXP，则称随机变量 X 和 Y 是相互独立的。(y)F,FYXxy对于二维正态随机变量（X， Y） ，X 和 Y 相互独立的充要条件是参数 05 两个随机变量的函数的分布1，Z=X+Y 的分布设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度 .则
13、Z=X+Y 仍为连续性),(yxf随机变量，其概率密度为 或dyzfzfYX）,()( dxzfzYX）,(又若 X 和 Y 相互独立，设（X，Y）关于 X，Y 的边缘密度分别为 则)yxY和 这两个公式称为dyfzfzf Y)()(（） dzfxzfYX)()(）的卷积公式YX,有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布2， 的 分 布的 分 布 、 XYZZ设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度 ，则),(yxf XYZ，仍为连续性随机变量其概率密度分别为 dzfzfXY,)(又若 X 和 Y 相互独立，设（X，Y）关于 X，Y 的边缘密度分别dxzfzfXY),(1
14、)(为 则可化为 ,yfxY dxzffYY)()(dxzfzfX)(1)(X3 的 分 布及， ,minNaxYM设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为 由于)(,yFxYX不大于 z 等价于 X 和 Y 都不大于 z 故有a，又由于 X 和 Y 相互独立，得到 的分布函,Pz ma，M8数为 )()(maxzFzYX的分布函数为,inN)(1)(1)(min zFYX第四章 随机变量的数字特征1数学期望定义 设离散型随机变量 X 的分布律为 ，k=1,2，若级数 绝kpxP1kpx对收敛，则称级数 的和为随机变量 X 的数学期望，记为 ，即1kpx )(XEiXE)(设
15、连续型随机变量 X 的概率密度为 ，若积分 绝对收敛，则称积)(xfdxf)(分 的值为随机变量 X 的数学期望，记为 ，即dxf)( XExf)(定理 设 Y 是随机变量 X 的函数 Y= (g 是连续函数)(g（i）如果 X 是离散型随机变量，它的分布律为 ，k=1,2，若kpPx绝对收敛则有kkpxg1(） )(E)(gkk1(）（ii）如果 X 是连续型随机变量 ，它的分概率密度为 ，若 绝对收敛则)xfdxfg)(有 )Y(E)(gdxf)(数学期望的几个重要性质1 设 C 是常数，则有 CE)(2 设 X 是随机变量，C 是常数，则有 )()(XE3 设 X,Y 是两个随机变量，则
16、有 ；YY4 设 X，Y 是相互独立的随机变量，则有 )()(2 方差定义 设 X 是一个随机变量，若 存在，则称 为 X 的方)(2XE)(2E9差，记为 D（x）即 D（x）= ，在应用上还引入量 ，记为 ，)(2XE)(xD)(x称为标准差或均方差。 222)()()(XE方差的几个重要性质1 设 C 是常数，则有 ,0)(CD2 设 X 是随机变量，C 是常数，则有 ，)(C)(2XDD(X)(C3 设 X,Y 是两个随机变量，则有 特EY-EYYX别，若 X,Y 相互独立，则有 )()(D4 的充要条件是 X 以概率 1 取常数 ，即0)(XDE1)(XP切比雪夫不等式：设随机变量
17、X 具有数学期望 ，则对于任意正数 ，不等式2)(成立2-P3 协方差及相关系数定义 量 称为随机变量 X 与 Y 的协方差为 ，即)()(YEXE ),(YXCov)()(),( EYXCov 而 称为随机变量 X 和 Y 的相关系数D()），对于任意两个随机变量 X 和 Y， ),(2)()_( YXCovD协方差具有下述性质1 ),(),( ),(),( YXabovCovvYCov2 ,2121 定理 1 XY2 的充要条件是，存在常数 a,b 使 1bxaYP当 0 时，称 X 和 Y 不相关XY附：几种常用的概率分布表分布 参数 分布律或概率密度 数学期望 方差10两点分布10p
18、， 1,0)1()kpkXPp)1(二项式分布n nCnn(，n泊松分布 0,210,!)(kekXP几何分布1p , ,)1()(pk p12均匀分布 ba ， 其 他0,)(bxabxf ba1)(2指数分布 0其 他,01)(xexf2正态分布2)( )(xexf 2第五章 大数定律与中心极限定理1 大数定律弱大数定理（辛欣大数定理） 设 X1， X2是相互独立，服从统一分布的随机变量序列，并具有数学期望 .作前 n 个变量的算术平均 ，则对于任意),()(kEknkX1，有0 11limnknP定义 设 是一个随机变量序列，a 是一个常数，若对于任意正数 ，有 nY,21 ，则称序列 依概率收敛于 a，记为liaYnn nY,21 aYpn 伯努利大数定理 设 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A 在每次试Af验中发生的概率，则对于任意正数 0，有 或1limnfP
