1、1 -1 质点作曲线运动,在时刻 t 质点的位矢为r,速度为v ,速率为v,t 至(t t)时间内的位移为r , 路程为s, 位矢大小的变化量为 r ( 或称r),平均速度为 ,平均速率v为 v(1) 根据上述情况,则必有( )(A) r= s = r(B) r s r,当t0 时有dr= ds dr(C) r r s,当t0 时有dr= dr ds(D) r s r,当t0 时有dr = dr = ds(2) 根据上述情况,则必有( )(A) = , = (B) , vvvv(C) = , (D) , = 分析与解 (1) 质点在t 至(t t)时间内沿曲线从P 点运动到P点,各量关系如图所
2、示, 其中路程s PP, 位移大小 rPP,而r r- r表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能) 但当t 0 时,点P 无限趋近P点,则有drds,但却不等于dr故选(B)(2) 由于r s,故 ,即 tsv但由于drds,故 ,即 由此可见 ,应选(C) tdr1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r( x,y)的端点处,对其速度的大小有四种意见,即(1) ； (2) ； (3) ； (4) tdtrtsd22dtytx下述判断正确的是( )(A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确(C) 只有(2)(3)正确 (D)
3、 只有(3)(4) 正确分析与解 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速trd率通常用符号v r表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量； 表示速度矢量；在自tdr然坐标系中速度大小可用公式 计算,在直角坐标系中则可由公式tsdv求解故选(D)22dtytxv1 -3 质点作曲线运动,r 表示位置矢量, v表示速度,a表示加速度,s 表示路程, a 表示切向加速度对下列表达式,即(1)d v /dt a； (2)dr/dt v； (3)ds/dt v；(4)d v /d ta 下述判断正确的是( )(A) 只有(1)、(4)是对的 (B) 只有(2)、(4)是对的(C)
4、只有(2)是对的 (D) 只有(3) 是对的分析与解 表示切向加速度a ,它表示速度大小随时间的变化率,是加速度矢量沿速tdv度方向的一个分量,起改变速度大小的作用； 在极坐标系中表示径向速率v r(如题1 -2 所trd述)； 在自然坐标系中表示质点的速率v；而 表示加速度的大小而不是切向加速度tsd ta 因此只有(3) 式表达是正确的故选(D)1 -4 一个质点在做圆周运动时,则有( )(A) 切向加速度一定改变 ,法向加速度也改变(B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变(C) 切向加速度可能不变,法向加速度不变(D) 切向加速度一定改变 ,法向加速度不变分析与解 加速度的切向分量
5、a 起改变速度大小的作用,而法向分量a n起改变速度方向的作用质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的至于a 是否改变,则要视质点的速率情况而定质点作匀速率圆周运动时, a 恒为零；质点作匀变速率圆周运动时, a 为一不为零的恒量,当a 改变时,质点则作一般的变速率圆周运动由此可见,应选(B) *1 -5 如图所示,湖中有一小船,有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动设该人以匀速率v0 收绳,绳不伸长且湖水静止,小船的速率为v,则小船作( )(A) 匀加速运动 , cos0(B) 匀减速运动, 0v(C) 变加速运动,
6、 cos(D) 变减速运动 , 0v(E) 匀速直线运动, 0v分析与解 本题关键是先求得小船速度表达式,进而判断运动性质为此建立如图所示坐标系,设定滑轮距水面高度为h,t 时刻定滑轮距小船的绳长为l,则小船的运动方程为,其中绳长l 随时间t 而变化小船速度 ,式中 表示绳长l 2hlx 2dhlttxvt随时间的变化率,其大小即为v 0,代入整理后为 ,方向沿x 轴负向由llcos/020速度表达式,可判断小船作变加速运动故选(C)讨论 有人会将绳子速率v 0按x 、 y 两个方向分解,则小船速度 ,这样做对吗？0v1 -6 已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为 ,式中x 的单位为m,t
7、 326tx的单位为 s求：(1) 质点在运动开始后4.0 s 内的位移的大小；(2) 质点在该时间内所通过的路程；(3) t4 s时质点的速度和加速度分析 位移和路程是两个完全不同的概念只有当质点作直线运动且运动方向不改变时,位移的大小才会与路程相等质点在t 时间内的位移x 的大小可直接由运动方程得到：,而在求路程时 ,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时,位移0xt的大小和路程就不同了为此,需根据 来确定其运动方向改变的时刻t p ,求出0t p 和0dtpt 内的位移大小 x1 、x 2 ,则t 时间内的路程 ,如图所示,至于t 4.0 s 时21xs质点速度和加速度可用
8、和 两式计算td2解 (1) 质点在4.0 s 内位移的大小 m3204x(2) 由 t得知质点的换向时刻为 (t0不合题意)s2pt则 m0.821xm40242x所以,质点在4.0 s时间间隔内的路程为 821s(3) t4.0 s时 1s0.4sdtxv2s0.42m.36ta1 -7 一质点沿 x 轴方向作直线运动,其速度与时间的关系如图(a)所示设t0 时,x0试根据已知的v- t 图,画出 a-t 图以及x -t 图分析 根据加速度的定义可知,在直线运动中v-t曲线的斜率为加速度的大小(图中AB、CD 段斜率为定值,即匀变速直线运动；而线段BC 的斜率为0,加速度为零,即匀速直线运
9、动) 加速度为恒量,在a-t 图上是平行于t 轴的直线,由v- t 图中求出各段的斜率,即可作出a-t 图线又由速度的定义可知 ,x-t 曲线的斜率为速度的大小因此,匀速直线运动所对应的x -t 图应是一直线 ,而匀变速直线运动所对应的xt 图为 t 的二次曲线根据各段时间内的运动方程x x(t),求出不同时刻t 的位置x,采用描数据点的方法 ,可作出x -t 图解 将曲线分为AB、BC、CD 三个过程,它们对应的加速度值分别为(匀加速直线运动)2sm0ABAtav(匀速直线运动)0BCa(匀减速直线运动)2sm1DCtv根据上述结果即可作出质点的a-t 图图(B)在匀变速直线运动中,有 20
10、1txv由此,可计算在02和46时间间隔内各时刻的位置分别为用描数据点的作图方法,由表中数据可作02和46时间内的x -t 图在24时间内, 质点是作 的匀速直线运动, 其x -t 图是斜率k20的一段直线图(c)1sm20v1 -8 已知质点的运动方程为 ,式中r 的单位为m,t 的单位为求：jir)2(tt(1) 质点的运动轨迹；(2) t 0 及t 2时,质点的位矢；(3) 由t 0 到t 2内质点的位移r 和径向增量 r； *(4) 2 内质点所走过的路程s分析 质点的轨迹方程为y f(x),可由运动方程的两个分量式x( t)和y(t)中消去t 即可得到对于r 、r、r 、s 来说 ,
11、物理含义不同,可根据其定义计算其中对s的求解用到积分方法,先在轨迹上任取一段微元ds,则 ,最后用 积分求 2)d(dysd解 (1) 由x(t) 和 y(t)中消去t 后得质点轨迹方程为 241x这是一个抛物线方程,轨迹如图(a)所示(2) 将t 0和t 2分别代入运动方程,可得相应位矢分别为, jr20ji2图(a)中的P、Q 两点,即为t 0和t 2时质点所在位置(3) 由位移表达式,得 jijir4)()(020212 yx其中位移大小 m6.5)(yxr而径向增量 7.20202r*(4) 如图(B)所示,所求s 即为图中PQ 段长度,先在其间任意处取AB 微元ds,则,由轨道方程可
12、得 ,代入ds,则2内路程为2)d(dyxsxy1m91.5d4d02xsQP1 -9 质点的运动方程为 2301tx5y式中x,y 的单位为m,t 的单位为试求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向解 (1) 速度的分量式为 ttx601dvy45当t 0 时, v ox -10 m -1 , voy 15 m -1 ,则初速度大小为 1200 sm.8yx设v o与x 轴的夹角为,则 23tan0xyv12341(2) 加速度的分量式为, 2sm60dtaxv2sm40dtayv
13、则加速度的大小为 22s1.7yx设a 与x 轴的夹角为 ,则32tanxy-3341(或32619)1 -10 一升降机以加速度1.22 m -2上升,当上升速度为2.44 m -1时,有一螺丝自升降机的天花板上松脱,天花板与升降机的底面相距2.74 m计算：(1) 螺丝从天花板落到底面所需要的时间；(2) 螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离分析 在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下,一种处理方法是取地面为参考系,分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动,列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程y 1 y 1(t)和y 2 y 2(t),并考虑它们相遇,即位矢相同这
14、一条件,问题即可解；另一种方法是取升降机(或螺丝) 为参考系,这时 ,螺丝(或升降机)相对它作匀加速运动,但是,此加速度应该是相对加速度升降机厢的高度就是螺丝(或升降机) 运动的路程解1 (1) 以地面为参考系,取如图所示的坐标系,升降机与螺丝的运动方程分别为 201atyv2gh当螺丝落至底面时,有y 1 y 2 ,即 20201tatvvs75.ght(2) 螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为 m16.0202tyhdv解2 (1)以升降机为参考系,此时,螺丝相对它的加速度大小 ag a,螺丝落至底面时,有 2)(10tghs705.at(2) 由于升降机在t 时间内上升的高度为 201
15、thv则 m76.d1 -11 一质点P 沿半径R 3.0 m的圆周作匀速率运动,运动一周所需时间为 20.0,设t 0 时,质点位于O 点按(a) 图中所示Oxy 坐标系,求(1) 质点P 在任意时刻的位矢；(2)5时的速度和加速度分析 该题属于运动学的第一类问题,即已知运动方程r r( t)求质点运动的一切信息(如位置矢量、位移、速度、加速度) 在确定运动方程时 ,若取以点(0,3)为原点的Oxy坐标系,并采用参数方程xx(t) 和yy(t)来表示圆周运动是比较方便的然后,运用坐标变换x x0 x和y y 0 y, 将所得参数方程转换至Oxy 坐标系中,即得Oxy 坐标系中质点P 在任意时
16、刻的位矢采用对运动方程求导的方法可得速度和加速度解 (1) 如图(B)所示 ,在Oxy坐标系中,因,则质点P tT2的参数方程为, tRxsinTy2co坐标变换后,在Oxy 坐标系中有, tRsinRtTy2cos0则质点P 的位矢方程为jir RtTtTR2cos2sn ji)1.0(cos3)1.0(sin3tt(2) 5时的速度和加速度分别为 jjir )sm.(sincsd 1tttv1 -12 地面上ijia 03.2co)(2n)( 22 tTRtTRt垂直竖立一高20.0 m 的旗杆 ,已知正午时分太阳在旗杆的正上方,求在下午200 时,杆顶在地面上的影子的速度的大小在何时刻杆
17、影伸展至20.0 m？分析 为求杆顶在地面上影子速度的大小,必须建立影长与时间的函数关系,即影子端点的位矢方程根据几何关系,影长可通过太阳光线对地转动的角速度求得由于运动的相对性,太阳光线对地转动的角速度也就是地球自转的角速度这样,影子端点的位矢方程和速度均可求得解 设太阳光线对地转动的角速度为,从正午时分开始计时,则杆的影长为s htgt,下午200 时,杆顶在地面上影子的速度大小为 132sm094.1cosdthtv当杆长等于影长时,即s h,则 6artn1ht即为下午300 时1 -13 质点沿直线运动,加速度a4 -t2 ,式中a的单位为m -2 ,t的单位为如果当t 3时,x9 m, v 2 m -1 ,求质点的运动方程分析 本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决由 和 可得 和 如aa(t)或v v( t),则tdtxvtdx可两边直接积分如果a 或v不是时间t 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分解 由分析知,应有 ta0d0v得 (1)0314vt由 tx0d0v得 (2)0421xttxv将t3时,x 9 m,v2 m -1代入(1) (2)得v 0-1 m -1,x00.75 m于是可得质点运动方程为
