1、 排列问题题型分类：1.信号问题2.数字问题3.坐法问题4.照相问题5.排队问题 组合问题题型分类：1.几何计数问题2.加乘算式问题 3.比赛问题 4.选法问题 常用解题方法和技巧1. 优先排列法2. 总体淘汰法3. 合理分类和准确分步4. 相邻问题用捆绑法5. 不相邻问题用插空法6. 顺序问题用“除法”7. 分排问题用直接法8. 试验法9. 探索法10. 消序法11. 住店法12. 对应法13. 去头去尾法14. 树形图法15. 类推法16. 几何计数法17. 标数法18. 对称法分类相加，分步组合，有序排列，无序组合 基础知识（数学概率方面的基本原理）一. 加法原理：做一件事情，完成它有
2、N 类办法，在第一类办法中有 M1中不同的方法，在第二类办法中有 M2中不同的方法，在第 N 类办法中有 Mn种不同的方法，那么完成这件事情共有 M1+M2+Mn种不同的方法。 二. 乘法原理：如果完成某项任务，可分为 k 个步骤，完成第一步有 n1种不同的方法，完成第二步有 n2种不同的方法，完成第步有 种不同的方法，那么完成此项任务共有 种不同的方法。三. 两个原理的区别 做一件事，完成它若有 n 类办法，是分类问题，每一类中的方法都是独立的，故用加法原理。每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即
3、分类不漏) 做一件事，需要分 n 个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这 n 步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来四. 排列及组合基本公式1. 排列及计算公式 从 n 个不同元素中，任取 m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列；从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做
4、从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 P mn表示.Pmn =n(n-1)(n-2)(n-m+1)= (规定 0!=1). n!(n-m)!2. 组合及计算公式 从 n 个不同元素中，任取 m(mn)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合；从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数.用符号 Cmn表示.Cmn = Pmn /m!= n!(n-m)!m!一般当遇到 m 比较大时（常常是 m0.5n 时） ，可用 Cmn = Cn-mn 来简化计算。规定：C nn =1, C0n=1.3.
5、 n 的阶乘(n!)n 个不同元素的全排列Pnn=n!=n(n-1)(n-2)321五. 两个基本计数原理及应用 1. 首先明确任务的意义【例 1】 从 1、2、3、20 这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有_个。 分析： 首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。设 a,b,c 成等差， 2b=a+c, 可知 b 由 a,c 决定，又 2b 是偶数， a,c 同奇或同偶，即：从 1，3，5，19 或 2，4，6，8，20 这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，如：a=1，=7，则 b=4（即每一组 a,c 必对应唯一的 b，另外
6、 1、4、7 和 7、4、1 按同一种等差数列处理）C 21010990，同类（同奇或同偶）相加，即本题所求=290180。 【例 2】 某城市有 4 条东西街道和 6 条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从 M 到 N 有多少种不同的走法 ? 分析： 对实际背景的分析可以逐层深入 （一） 从 M 到 N 必须向上走三步，向右走五步，共走八步。 （二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。 （三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数， 本题答案为：C 38=56
7、。2. 注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合。采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。注意排列组合的区别与联系：所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一个阶段(排序)可转化为排列问题。【例 3】 在一块并排的 10 垄田地中，选择二垄分别种植 A，B 两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求 A， B 两种作物的间隔不少于 6 垄，不同的选法共有_种。分析： 条件中“要求 A、B 两种作物的间隔不少于 6 垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。第一类：A 在第一垄，B
8、 有 3 种选择； 第二类：A 在第二垄，B 有 2 种选择； 第三类：A 在第三垄，B 有 1 种选择， 同理 A、B 位置互换 ，共 12 种。1恰好能被 6，7，8，9 整除的五位数有多少个?【分析与解】 6、7、8、9 的最小公倍数是 504，五位数中，最小的是 10000，最大为 99999因为 10000504：19424，99999504=198207所以，五位数中，能被 504 整除的数有 198-19=179 个所以恰好能被 6，7，8，9 整除的五位数有 179 个2小明的两个衣服口袋中各有 13 张卡片，每张卡片上分别写着 1，2，3，13如果从这两个口袋中各拿出一张卡片
9、来计算它们所写两数的乘积，可以得到许多不相等的乘积那么，其中能被 6 整除的乘积共有多少个?【分析与解】 这些积中能被 6 整除的最大一个是 1312=266，最小是 6但在 l6266 之间的 6 的倍数并非都是两张卡片上的乘积，其中有 256，236，216，196，176 这五个不是所求的积共有 26-5=21 个31，2，3，4，5，6 这 6 个数中，选 3 个数使它们的和能被 3 整除那么不同的选法有几种?【分析与解】 被 3 除余 1 的有 1，4；被 3 除余 2 的有 2,5；能被 3 整除的有 3，6从这 6 个数中选出 3 个数，使它们的和能被 3 整除，则只能是从上面
10、3 类中各选一个，因为每类中的选择是相互独立的，共有 222=8 种不同的选法4同时满足以下条件的分数共有多少个?大于 ，并且小于 ； 分子和分母都是质数； 分母是两位数165【分析与解】 由知分子是大于 1，小于 20 的质数如果分子是 2，那么这个分数应该在 与 之间，在这之间的只有 符合要求210821如果分子是 3，那么这个分数应该在 与 之间，15 与 18 之间只有质数 17，所以分数是 35 317同样的道理，当分子是 5，7，11，13，17，19 时可以得到下表分子 分数 分子 分数2 2111 1,5963 3713 375 52917 ,87 ,34119 19于是，同时
11、满足题中条件的分数共 13 个5一个六位数能被 11 整除，它的各位数字非零且互不相同的将这个六位数的 6 个数字重新排列，最少还能排出多少个能被 11 整除的六位数?【分析与解】 设这个六位数为 ，则有 、 的差为 0 或 11 的倍数abcdef()ace()bdf且 、 、 、 、 、 均不为 0，任何一个数作为首位都是一个六位数abcdef先考虑 、 、 偶数位内， 、 、 奇数位内的组内交换，有 =36 种顺序；f 3P再考虑形如 这种奇数位与偶数位的组间调换，也有 =36 种顺序cfe 3所以，用均不为 0 的 、 、 、 、 、 最少可以排出 36+36=72 个能被 11 整除
12、的数(包含原来的 )abcdef abcdef所以最少还能排出 72-1=71 个能被 11 整除的六位数6在大于等于 1998，小于等于 8991 的整数中，个位数字与十位数字不同的数共有多少个?【分析与解】 先考虑 20008999 之间这 7000 个数，个位数字与十位数字不同的数共有 710 =6300210P但是 1998，89928998 这些数的个位数字与十位数字也不同，且 1998 在 19988991 内，89928998 这 7 个数不在 19988991 之内所以在 19988991 之内的个位数字与十位数字不同的有 6300+1-7=6294 个7个位、十位、百位上的
13、3 个数字之和等于 12 的三位数共有多少个?【分析与解】 12 = 0 + 6 + 6 = 0 + 5 + 7 = 0 + 4 + 8 = 0 + 3 + 9 = 1 + 5 + 6= 1 + 4 + 7= 1 + 3 + 8 = 1 + 2 + 9 = 2 + 5 + 5 = 2 +4 + 6 = 2 + 3 + 7 = 2 + 2 + 8 = 3 + 4 + 5 = 3 + 3 + 6 = 4 + 4 + 4其中三个数字均不相等且不含 0 的有 7 组，每组有 种排法，共 7 =42 种排法；3P3P其中三个数字有只有 2 个相等且不含 0 的有 3 组，每组有 2 种排法，共有 3 2
14、=9 种排法；3 3其中三个数字均相等且不含 0 的只有 1 组，每组只有 1 种排法；在含有 0 的数组中，三个数字均不相同的有 3 组，每组有 2 种排法，共有 32 =12 种排法；2在含有 0 的数组中，二个数字相等的只有 1 组，每组有 2 2 种排法，共有 2 种排法P所以，满足条件的三位数共有 42 + 9 + 1 + 12 + 2 = 66 个8一个自然数，如果它顺着看和倒过来看都是一样的，那么称这个数为“回文数” 例如 1331，7，202 都是回文数，而 220 则不是回文数问：从一位到六位的回文数一共有多少个?其中的第 1996 个数是多少?【分析与解】 我们将回文数分为
15、一位、二位、三位、六位来逐组计算所有的一位数均是“回文数” ，即有 9 个；在二位数中，必须为 形式的，即有 9 个(因为首位不能为 0，下同)；a在三位数中，必须为 ( 、 可相同，在本题中，不同的字母代表的数可以相同)形式的，ab即有 910 =90 个；在四位数中，必须为 形式的，即有 910 个；在五位数中，必须为 形式的，即有 91010=900 个；abc在六位数中，必须为 形式的，即有 91010=900 个所以共有 9 + 9 + 90 + 90 + 900 + 900 = 1998 个，最大的为 999999，其次为 998899，再次为 997799 而第 1996 个数为
16、倒数第 3 个数，即为 997799所以，从一位到六位的回文数一共有 1998 个，其中的第 1996 个数是 9977999一种电子表在 6 时 24 分 30 秒时的显示为 6:24 ，那么从 8 时到 9 时这段时间里，30此表的 5 个数字都不相同的时刻一共有多少个?【分析与解】 设 A:BC 是满足题意的时刻，有 A 为 8，B、D 应从 0，1，2，3，4，5DE这 6 个数字中选择两个不同的数字，所以有 种选法，而 C、E 应从剩下的 7 个数字中26P选择两个不同的数字，所以有 种选法，所以共有 =1260 种选法，27 27即从 8 时到 9 时这段时间里，此表的 5 个数字
17、都不相同的时刻一共有 1260 个10有些五位数的各位数字均取自 1，2，3，4，5，并且任意相邻两位数字(大减小)的差都是 1问这样的五位数共有多少个?【分析与解】 如下表，我们一一列出当首位数字是 5，4，3 时的情况首位数字 5 4 3所有满足题意的数字列表545321543442315432154321满足题意的数字个数6 9 12因为对称的缘故，当首位数字为 1 时的情形等同与首位数字为 5 时的情形，首位数字为 2 时的情形等同于首位数字为 4 时的情形所以，满足题意的五位数共有 6 + 9 + 12 + 9 + 6 = 42 个11用数字 1，2 组成一个八位数，其中至少连续四位
18、都是 1 的有多少个?【分析与解】 当只有四个连续的 1 时，可以为 11112 * * *,211112 * * ,* 211112 *,* *211112，* * * 21111，因为 * 号处可以任意填写 1 或 2，所以这些数依次有 23，2 2，2 2，2 2，2 3个，共 28 个；当有五个连续的 l 时，可以为 111112 * * ，2111112 *，*2111112，* * 211111，依次有 22，2，2，2 2个，共 12 个；当有六个连续的 1 时，可以为 1111112 *，21111112，* 2111111，依次有 2，1，2 个，共 5 个；当有七个连续的
19、1 时，可以为 11111112，21111111，共 2 个：当有八个连续的 l 时，只能是 11111111，共 1 个所以满足条件的八位数有 28 + 12 + 5 + 2 + 1=48 个12在 1001，1002，2000 这 1000 个自然数中，可以找到多少对相邻的自然数，满足它们相加时不进位?【分析与解】 设 为满足条件的两个连续自然数，有 = +11,bcdxyzwxyzw1bcd我们只用考察 的取值情况即可我们先不考虑数字 9 的情况(因为 取 9，则 为 0，也有可能不进位)，dw则 只能取 0，1，2，3，4； 只能取 0，1，2，3，4； 只能取 0，1，2，3，4；
20、dcb对应的有 555=125 组数当 =9 时，有 的下一个数为 ，要想在求和时不进位，必须 9，bc()b(1)c所以 此时只能取 0，1，2，3，4；而 也只能取 0，1，2，3，4；共有 55=25 组数当 =99 时，有 的下一个数为 ，要想在求和时不进位，必须 +( +1)9，cd19()0b所以 此时只能取 0，1，2，3，4；共有 5 组数b所以，在 1001，1002，2000 这 1000 个自然数中，可以找到 125 + 25 + 5 = 155 对相邻的自然数，满足它们相加时不进位13把 1995，1996，1997，1998，1999 这 5 个数分别填入图 20-1
21、 中的东、南、西、北、中 5 个方格内，使横、竖 3 个数的和相等那么共有多少种不同填法?【分析与解】 显然只要有“东”+“西”=“南”+“北”即可，剩下的一个数字即为“中” 因为题中五个数的千位、百位、十位均相同，所以只用考虑个位数字，显然有 5 + 9 = 6 + 8，5 + 8 = 6 + 7，6 + 9 = 7 + 8先考察 5 + 9 = 6 + 8，可以对应为“东”+“西”=“南”+“北” ，因为“东” 、 “西”可以调换， “南” 、 “北”可以对调，有 22=4 种填法，而“东、西” ， “南、北”可以整体对调，于是有 42=8 种填法5 + 8 = 6 + 7，6 + 9 = 7 + 8 同理均有 8 种填法，所以共有 83=24 种不同的填法14在图 20-2 的空格内各填人一个一位数，使同一行内左面的数比右面的数大，同一列内上面的数比下面的数小，并且方格内的 6 个数字互不相同，例如图 20-3 为一种填法那么共有多少种不同的填法?23图 20-26 4 27 5 3图 20-3【分析与解】 为了方便说明，标上字母：C D 2
