1、一、计算(一) 分数裂项-知识点：1、裂差公式： 1)(1nn)(kk)2(1)(2)(1nnn2、裂和公式： ab12、例题：例 1： 109120例 2： 96129613例 3： 1098543121 例 4： 10241362例 5： 109321432121 例 6： 222871543513例 7： 109575321222 例:8：“！”表示一种运算符号，它的含义是 2！=21；3！=321； ，计算 ！ 109543例 9： 421309127653练习：1、 20481168422、 31657490141736543、 )514321()4321( 54、 13209721
2、563015、 864559374205841 6、 1098272862752642532 7、比较分数大小：(1)分数 中，哪一个最大？3091245，(2)从小到大排列下列分数，排在第三个的是哪一个？；45230178965127，(3)若 A= ，222 014301431043 B，比较 A 与 B 的大小。(4)比较 201392014392013与一、计算(二) 常用计算公式知识点：1、等差数列：项数=( 末项 -首项)公差+1末项=首项+（项数+1） 公差求和=（首项 +末项）项数2当等差数列为奇数项时，可以用中间项定理：和=中间项末项（1 ） 2)1(53n（2 ） 32、平
3、方和公式：)12(613122nn3、立方和公式：2)(4)(4、平方公式（1）平方差公式 )(2baba（2）完全平方和（差）公式22)(2、习题：1、 22219780、 、 222010、 2222 1643541、 2016313 、 3333 159751、 12389108321 )9()4(22 、 150937291、 12836432197854132一、计算(三) 小数和分数的互化1、纯循环化成分数：循环节有几位小数，则分母有几个9，分子就是循环节。2、混循环小数化分数：分母 9 的个数=循环节小数位数，分母 0 的个数= 非循环节小数位数，分子=分数部分-非循环部分小数。
4、3、神秘组织：142857 是分母是 7 的分数的循环节数字，分子是 1 的，第一位是最小的，按此规律排列。例 ： 0.01 0.12 0.23 0.34 0.78 0.89 例 2： 137)8.0(例 ： 将循环小数 0.0 27 与 0.1 79672 相乘 ， 取近似值 ， 要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少？例 ： 冬冬将 乘以一个数 时，看丢了一个循环点，123.0使得乘积比结果减少了 ， 正 确 结 果 应 该 是 多 少 ？.一、计算(四) 进 制 问 题1、常见进制 ： 二进制、十进 制 、十二进制 、 十六进 制 、二十四进 制 、六十进 制 .2、二进制
5、：只使用数 字 0、 1，在计数 与 计 算 时必须是“满二进一 ”， 例如， (9)10 (1001)23. 十进制 转 n 进制： 短 除 、 取 余 、 倒 写 . 例 如 ：(1234)10 = (1200201)34.n 进制转十进制：写指、相乘、求和。例如:(1011)2=123+022+121+120=(11)105.关于进位制 本 质 ： n 进制就是逢 n 进一； n 进 制 下的数字最大 为 (n-1),超 过 9 用 大 写 字 母 代 替 。例 1： 将(2009) 10 写成二进制数把十进制数 2008 转化为十六进制数；例 2： 把下列各数转化成十进制数： (463
6、)8； (2BA)12； (5FC)16.例 3： (101) 2 (1011)2 (11011)2 ( ） 2 (11000111） 2 (10101） 2 (11） 2 ( ） 2 (3021)4 (605)7 ( )10 (63121)8 (1247)8 (16034 )8 (26531)8 (1744 )8 )8( )8例 4： 用 a， b， c， d， e 分别代表五进制中五个互不相同的数字，如果 (ade) , (adc) , (aab)是 由小到大排列的连续正整数， 那么 (cde)5 所 表 示的整数写成十进制的表示是多少？二、计数原理(一) 容斥原理： 专题简析：容斥问题涉
7、及到一个重要原理包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。1、(两张饼)原理一： 大饼=A+B-AB2、(三张饼)原理二： 大饼=A+B+C-AB-AC-BC+ABC口诀 ：奇层加，偶层减。3、原则：消重；不消不重；4、考点：直接考公式；直接考图形；锅内饼外=全部-大饼上的数量；三叶草=AB+AC+BC-ABC5、解题方法：文氏图法；方程法；反推法；例 1：一个班有 48 人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有 37 人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有 42 人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没
8、有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。练习 1：网 校 老 师 共 50 人 报 名 参 加 了 羽 毛 球 或 乒 乓 球 的训 练 ， 其 中 参 加 羽 毛 球 训 练 的 有 30 人 参 加 乒 乓 球 训 练 的有35 人 请 问 两 个 项 目 都 参 加 的 有 多 少 人 ？练 习 2： 网 校 老 师 60 人 组 织 春 游 。 报 名 去 香 山 的 有 37 人 ，报 名 去 鸟 巢 的 有 42 人 ， 两 个 地 点 都 没 有 报 名 的 有 8 人 ，那 么 只 报 名 其 中 一 个 地 点 的 有 多 少 人 ？例 2：在 网 校 50 名 老 师
9、 中 ， 喜 欢 看 电 影 的 有 15 人 ， 不 喜欢 唱 歌 的 有 25 人 ， 既 喜 欢 看 电 影 也 喜 欢 唱 歌 的 有 5 人 。 那么 只 喜 欢 唱 歌 的 有 多 少 人 ？练习 1：学校组 织 体 育 比 赛 ， 分 成 轮 滑 、 游 泳 和 羽 毛 球 三 个组 进 行 ， 参 加 轮 滑 比 赛 的 有 20 人 ， 参 加 游 泳 比 赛 的 有 25人 ， 参 加 羽 毛 球 比 赛 的 有 30 人 ， 同 时 参 加 了 轮 滑 和 游 泳比 赛 的 有 8 人 ， 同 时 参 加 了 轮 滑 和 羽 毛 球 比 赛 的 有 7 人 ， 同 时 参
10、 加 了 游 泳 和 羽 毛 球 比 赛 的 有 6 人 ， 三 种 比 赛 都 参 加的 有 4 人 ， 问 参 加 体 育 比 赛 的 共 有 多 少 人 ？练 习 2： 五年级一班有 46 名学生参加数学、语文、文艺三项课外小组。其中有 24 人 参加了数学小组 ，20 人参加了语文小组，既参加数学小组又 参 加 语文小组的有10 人 .参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数 的 3.5 倍，还是三项小组都参加的人数的 7 倍，既参加文艺小组 也参加语文小组的人数等于三项小组都参加的人数的 2 倍，求参加文艺 小 组 的 人 数？例 3：网 校 老 师 共 有 90 人 ，
11、 其 中 有 32 人 参 加 了 专 业 培 训 ，有 20 人 参 加 了 技 能 培 训 ， 40 人 参 加 了 文 化 培 训 ，13 人 既参 加 了 专 业 又 参 加 了 文 化 培 训 ，8 人 既 参 加 了 技 能 又 参 加了 专 业 培 训 ， 10 人 既 参 加 了 技 能 又 参 加 了 文 化 培 训 ， 而 三 个 培 训 都 未 参 加 的 有 25 人 ， 那 么 三 个 培 训 都 参 加 的 有多 少 人 ？（锅内饼外）练习 1：在 1 至 100 的 自 然 数 中 ， 既 不 能 被 2 整 除 ， 又 不能 被 3 整 除 ， 还 不 能 被
12、5 整 除 的 数 有 多 少 个 ？2、计数原理( 二)加乘原理：1、加法原理：做一件事，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+mn 种不同方法。每一种方法都能够直接达成目标。2、乘法原理：做一件事，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1m2m3mn 种不同的方法。3、区分两原理：要做一件事，完成它若是有 n 类办法，是分类问题，每
13、一类中的方法都是独立的，因此使用加法原理；做一件事，需要分 n 个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理。例 1： 用 数 字 0， 1， 2， 3， 4 可以组成多少个小于 1000的自然 数 ？例 2： 由 0， 1， 2， 3， 4， 5 组成的没有重复数字的六位数中，百位不 是 2 的 奇数有多少个？例 3： 一个七位数，其数码只能为 1 或 3，且无两个 3 是邻的。问这样的七位 数 共 有 多 少个？例 4： 在 1 10 这 10 个自然数中，每次取出三个不同的数，使它们的和 是 3 的 倍数有多少种不同的取法？3
14、、 加乘原理 标数法、递推法 标数法与递推法都是加法原理 按最后一步进行分类，做加法 标数时要注意限制条件 分 平面问 题 要 确 定 交 点 个 数 例 1： 如图，为一幅街道图，从 A 出发经过十字路口 B，但 不 经 过 C 走 到 D 的不同的最短路线有多少条？例 2： 在下图 中 ，左下角有 1 枚棋子 ， 每次可以向上 ， 向右 ，或沿对角 线的方向向右上走任意多步，但不能不走。那么走到右上角一共有多少种方法？例 3：一个楼梯共 有 12 级台阶，规定每步可以 迈 1 级台阶 或 2 级台阶，最 多可以 迈 3 级台 阶 ，从地面到最上面1 级台阶 ， 一共可以有多少种 不同的走法
15、？例 4： 一 个长方形把平面分成两部 分 ， 那 么 10 个长方形最多把平面分成几部分？二、计数原理(三) 概率1、随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现，但是具有规律性的事件。2、概率：随机事件可能发生的可能性的度量，一般用 P来表示，特例：必然事件： P=1；不可能事件： P=0；3、独立事件：事件 1 是否发生对事件 2 发生的概率无影响；4、互斥事件：不可能同时发生的两件事件；5、对立事件：两个互斥事件必有一个发生；6、概率的计算： n 表示试验中发生所有情况mAP)(的总数， m 表示事件 A 发生的次数。 7、概率具有可乘性。计算概率的基础：计数、枚举、加乘原理、排列组合
16、。例 1：一副扑克牌有黑桃、红桃、方块、草花 4 种花色，每种花色各拿 出 2 张 ， 现在从 这 8 张牌中任意取 出 2 张 。请 问 ： 这 2 张扑克牌花色相同 的概率是多少？例 2：编号分别 为 1 10 的 10 个小球 ， 放 在 一个袋中 ， 从中随机地取出两 个小球，这两个小球的编号不相邻的可能性是多少？例 3： A、 B、 C、 D、 E、 F 六人抽签推选代表，公证人一共制作了六枚外 表一模一样的签，其中只有一枚刻着“中 ”，六人按照字母顺序先 后抽取签，抽完不放回，谁抽到 “中 ”字，即被推选为代表， 这 六 人被抽中的概率分别为多 少 ？例 4：一枚硬币连续抛 掷 3
17、 次，至少有一次正面向上的概率是多少？二、计数原理(四) 排列组合1、 排列：从 n 个不同元素中选出 m 个，按照一定的顺序排列，记为： Anm=(n-1)(n-2)(n-3).(n-m+1)可以理解为从 n 开始乘，一共乘 m 个。特殊要求，优先满足：（ 1） 捆绑法：必须在一起；（ 2） 优先满足法：特殊位置或特殊元素；（ 3） 插空法：不能相邻，必须隔开；先排没有要求的，再在空里插必须要分开的元素。（ 4） 排除法：正难则反；2、 组合：从 n 个不同元素中选出 m 个，不需要按顺序排列，记为： Cnm=(n-1)(n-2)(n-3).(n-m+1)/n!可以写成： Cnm=Anm/A
18、mm；重要性质： Cnm=Cnm-n； Cnn=1；方法：（ 1）排除法：有至少、至多等情况下用；（ 2）隔板法：相同物品放在不同位置或不同的人，要求至少一个，可以用隔板法。例 1：计算= = =36A451947A= 61984= = = = 26C418C78= =910 4591046210例 2： 6 个 人 走 进 有10 辆 不 同 颜 色 碰 碰 车 的 游 乐 场 ， 每 辆碰 碰 车 只 能 坐 一 个 人 ， 那 么 共 有 多 少 种 不 同 的 坐 法 ？例 3： 书 架 上 有3 本 不 同 的 故 事 书 ， 2 本 不 同 的 作 文 选 和1 本 漫 画 书 ，
19、 全 部 竖 起 来 排 成 一 排 。 如 果 同 类 的 书 可 以 分 开 ， 一 共 有 多 种 排 法 ？ 如 果 同 类 的 书 不 可 以 分 开 ， 一 共 有 多 少 种 排 法 ？例 4： 一 共 有 红 、 橙 、 黄 、 绿 、 青 、 蓝 、 紫 七 种 颜 色 的 灯 各一 盏 ， 按 照 下 列 条 件 把 灯 串 成 一 串 ， 有 多 少 种 不 同 的 串 法 ？ 把7 盏 灯 都 串 起 来 ， 其 中 紫 灯 不 排 在 第 一 位 ， 也 不 排在 第 七 位 。 串 起 其 中4 盏 灯 ， 紫 灯 不 排 在 第 一 位 ， 也 不 排 在 第 四
20、位 。例 5： 八 个 同 学 照 相 ， 分 别 求 出 在 下 列 条 件 下 各 有 多 少 种站 法 ？ 八 个 人 站 成 一 排 ； 八 个 人 排 成 一 排 ， 某 两 人 必 须 有 一 人 站 在 排 头 ； 八 个 人 排 成 一 排 ， 某 两 人 必 须 站 在 两 头 ； 八 个 人 排 成 一 排 ， 某 两 人 不 能 站 在 两 头 。例 6： 大 海 老 师 把10 张 不 同 的 游 戏 卡 片 分 给 佳 佳 和 阳 阳 ，并 且 决 定 给 佳 佳8 张 ， 给 阳 阳2 张 。 一 共 有 多 少 种 不 同 的分 法 ？例 7： 一 个 小 组 共
21、10 名 学 生 ， 其 中5 女 生 ， 5 男 生 。 现 从 中选 出3 名 代 表 ， 其 中 至 少 有 一 名 女 生 的 选 法 ？例 8： 一 个 电 视 台 播 放 一 部 12 集 的 电 视 剧 ， 要 分 5 天 播完 ， 每 天 至 少 播 一 集 ， 有 多 少 种 不 同 的 方 法 ？三、数论(一)奇偶性奇数 奇数=偶数；偶数 偶数=偶数；奇数 偶数= 奇数；奇数奇数=奇数；奇数偶数=偶数；偶数偶数=偶数；奇数个奇数相加减，结果是奇数；偶数个奇数相加减，结果是偶数；偶数无论多少相加减，结果都是偶数。奇数不可能被偶数整除；任意个数相乘，只要有一个因数是偶数，则积一
22、定是偶数。(二)质数合数：1、质数明星：2 和 5；2、100 以内质数：25 个；3、除了 2 和 5 以外，其余的质数个位只能是 1,3,7,9；4、最小的四位质数：1009；5、判断较大数 P 是否为质数的方法：(1)找一个比 P 大接近于 P 平方数 K2；(2)列出所有不大于 K 的质数去除 P；(三)因数定理：1、因数个数定理：(1)分解质因数，写成标准式；(2)将每个不同的质因数的指数 +1，然后连乘，得出个数；2、因数和定理：(1)分解质因数，写成标准式；(2)将每个质因数依次从 1 加至这个质因数的最高次幂，求和，然后再将这些得到的和相乘；3、因数积定理：把因数从小到大配对相
23、乘，奇数个因数时，最中间的因数直接相乘。(四)整除（1）末位系：2 、5 、8,5、25、125 的特征1、末位是偶数，能被 2 整除；末位是 0、5，能被 5 整除；2、末 2 位能被 4 或者 25 整除，这个数就能被整除；3、末 3 位能被 8 或者 125 整除，这个数就能被整除；（2）求和系：3 、9 、99 的特征1、数字和能被 3 或者 9 整除，这个数就能被 3 或者 9 整除；2、把多位数，从个位开始，2 位一段，各段数的和能被99 整除，这个数就能被 99 整除。（3）求差系：7 、11、13 特征1、 （适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组
24、成的数之差,如果能被 7 或 11 或13 整除,这个多位数就一定能相应被 7 或 11 或 13 整除2、一个多位数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是 11 的倍数(包括 0),那么,原来这个数就一定能被 11 整除.(4)拆分系：将数分解质因数，看除数是否在因数的组合中。(五)最大公因数，最小公倍数假设数 A 和数 B 的最大公因数，写作(A，B)；最小公倍数写作A， B。则 AB=最大公因数 最小公倍数(六)余数（1）带余除法 被除数除数=商.余数，表示成：余数要小于除数，如果大于为 余 数整 除被dBACBA,0除数，则再除以除数取余。计
25、算公式：(1)被除数=商除数+余数(2)被除数-余数=商除数(3)(被除数-余数)商=除数（2）余数三宝（余数定理）：三大性质余的和等于和的余；余的差等于差的余；余的积等于积的余。（3）余数两招：加同和，减同差同一个数分别除以两个数 a 和 p，所得的余数分别为 b 和q，如果 a+b=p+q,则加同和，这个数为 ap+(a+b)；如果 a-b=p-q,则为减同差，这个数为 ap-(a-b)。（4）弃九法 )(91010 dcbaadcbabcd 所以这个数能否被 9 整除只取决于数字和是否能被 9 整除，能被 9 整除的部分不用看，弃掉，所以称为弃 9 法。(七)完全平方数性质 1: 完全平
26、方数的末位数字只能是 0，1，4，5，6，9.性质 2: 完 全平方数除以 5 只能余 0、1、4.完全平方数除 以 3 只 能余 0、1.完全平方数除以 4 只能余 0、1.性质 3: 偶指性 分解质因数后每个质因数的指数都是偶数； 完全平方数的因数一定 有 奇数个，反之亦然 . 特 别地，因数个数为 3 的自然数 是质数的平方；1、用一个数 除 200 余 5， 除 300 余 1，除 400 余 10，这个数是 多 少 ?2、 从 09 这十个数字中，选出九个数字，组成一个两位数、一个三位数和 一个四位数，使这三个数的和等于2010，那么其中未被选中的数字是谁？ (弃九法 )3、一个四位
27、数是这个数的数字和的 83 倍，求这个四位数4、 220除以 7 的余数是多少？ 1414除以 11 的余数是多少？5、算式 147102011 的计算结果除以 9 的余数是多少？6、 有 一个大于 1 的整数，用它 除 300、 262、 205 得到相同的余数，求这 个 数 . 用 61 和 90 分别除以某一个数，除完后发现两次除法都除不尽，而且 前 一 次所得的余数是后 一次 的 2 倍. 如果这个数大于 1，那么这个数是多 少 ？7、一个数与 270 的积是完全平方数，那么这个数最小是 .8、三个数 p， p+1，p+3 都是质数，它们的倒数和的倒数是多少？9、用 0,1,2,3,4
28、,5,6,7,8,9 组成若干个质数，要求每个数字恰好使用一次，请问，这些质数和的最小值是多少？10、已知两个自然数的的差为 4，它们的最大公因数和最小公倍数的积为 252，求这两个自然数。11、已知三个合数 A、B、C 两两互质，且ABC=10012811，那么 A+B+C 的最小值是多少？12、已知 a、b、c、d 、e 这 5 个质数互不相同，并且符合下面算式：(a+b)(c+d)e=2890，那么，这 5 个数中最大的数至多是谁？13、2001 个连续自然数的和为 abcd，期中a、b、c、d 均为质数，则 a+b+c+d 的最小值为多少？14、有一列数，第 1 个数是 1，从第 2 个起，每个数比它前面相邻的加 3，最后一个数是 100，将这列数相乘，则在计算结果的末尾中有多少个连续的“0”？游戏对策问题：1、 桌 子 上放着 55 根火柴, 甲、乙二人轮流每 次取走13 根, 规 定 谁取走最 后一根火柴谁获胜如果双方都采用最佳方法 , 甲 先 取 , 那么谁将获胜？
