1、小学奥数工程问题分类讲解工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。一 工程问题的基本概念定义 ： 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。工作总量：一般抽象成单位“1”工作效率：单位时间内完成的工作量三个基本公式：工作总量=工作效率工作时间，工作效率=工作总量工作时间，工作时间=工作总量工作效率；二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面： 具备整数应用题的解题
2、能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题； 在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用； 学会画线段示意图线段示意图能直观地揭示 “量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理； 学会多角度、多侧面思考问题的方法分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路三、利用常见的数学思想方法：如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开“工作总量
3、” 和“ 时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案一般情况下，工程问题求的是时间熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；（1） 工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理；（2） 根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；（3） 工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用例题精讲一、 周期性工程问题【例 1】 一件工程，甲单独做要 小时，乙单独做要 小时，如果接甲、乙、甲、乙 顺序交替工作，610每次 小时，那么需要多长时间完成？1【考点
4、】工程问题 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】 甲 小时完成整个工程的 ，乙 小时完成整个工程的 ，交替干活时两个小时完成整个工程的1610，甲、乙各干 小时后完成整个工程的 ，还剩下 ，甲再干 小时完成整个1605343515工程的 ，还剩下 ，乙花 小时即 分钟即可完成所以需要 小时 分钟来完成整个工1020720程【答案】 小时 分钟72【 巩固巩固 】 一项工程，甲单独完成需 l2 小时，乙单独完成需 15 小时。甲乙合做 1 小时后，由甲单独做 1 小时，再由乙单独做 1 小时，甲、乙如此交替下去，则完成该工程共用_小时。【考点】工程问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】
5、2008 年，希望杯，第六届，五年级，一试【解析】 甲乙合做 1 小时后，还剩下： ，甲乙单独做 2 小时，共做 ，还需要1752013520做 25=10 小时，还剩下 ，需要甲做 1 小时，还有 ，乙还需要做 小时，0160164一共需要 1+10+1+ 0.25=12.25 小时【答案】 天8.5【例 2】 一项工程，乙单独做要 天完成如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好17用整天数完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法多用半天完工问：甲单独做需要几天？【考点】工程问题 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】 甲、乙轮流做，如果是偶数天完成
6、，那么乙、甲轮流做必然也是偶数天完成，且等于甲、乙轮流做的天数，与题意不符；所以甲、乙轮流做是奇数天完成，最后一天是甲做的那么乙、甲轮流做比甲、乙轮流做多用半天，这半天是甲做的如果设甲、乙工作效率分别为 和 ，那1V2么 ，所以 ，乙单独做要用 天，甲的工作效率是乙的 倍，所以甲单独做121V12V172需要 天1728.5【答案】 天8.5【 巩固巩固 】 规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做 1 个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做 1 个小时，然后又由第二个人做 1 个小时，如此反复，做完为止如果甲、乙轮流做一个工程需要 小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要 小时，那乙
7、单独做这个工程需9.8 9.6要多少小时？【考点】工程问题 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】 根据题意，有： ，可知，甲做 小时与乙做10.86甲 乙 甲 乙 甲 小 时 乙 小 时乙 甲 乙 甲 乙 小 时 甲 小 时 10.64小时的工作量相等，故甲工作 2 小时，相当于乙 1 小时的工作量10.82所以，乙单独工作需要 小时9.857.3【答案】 小时7.3【例 3】 蓄水池有一条进水管和一条排水管要灌满一池水，单开进水管需 小时；排光一池水，单开5排水管需 小时现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水的顺序轮流各开3小时问：多长时间后水池的水刚好排完？(精确到分钟)1【考点
8、】工程问题 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】 法一：小时排水比 小时进水多 ， ，说明排水开了 小时后（实际加上1112351350 3进水 3 小时，已经过去 小时了） ，水池还剩一池子水的 ，61再过 小时，水池里的水为一池子水的 ，11305把这些水排完需要 小时，不到 1 小时，3190所以共需要 小时 小时 分6754法二：小时排水比 小时进水多 ， ，1112351230说明 小时以后，水池的水全部排完，并且多排了一池子水的 ，8 1排一池子需要 小时，排一池子水的 需要 小时，31300所以实际需要 小时 小时 分1987054【答案】 小时 分754【 巩固巩固 】 蓄水
9、池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需 小时，单开丙管3需要 小时，要排光一池水，单开乙管需要 小时，单开丁管需要 小时，现在池内有 的水，5 4616若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁的顺序轮流打开 小时，问多少时间后水开始溢出水1池？【考点】工程问题 【难度】5 星 【题型】解答 【解析】 甲乙丙丁顺序循环各开 小时可进水： ，循环 次后水池还空：117345605， 的工作量由甲管注水需要： (小时) ，所以经过 小175604134345204时后水开始溢出水池【答案】 32二、 水管问题【例 4】 一池水，甲、乙两管同时开，5 小时灌满；乙、丙两管同时开，4
10、 小时灌满现在先开乙管 6小时，还需甲、丙两管同时开 2 小时才能灌满乙单独开几小时可以灌满？【考点】工程问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了，根据“现在先开乙管 6 小时，还需甲、丙两管同时开 2 小时灌满”，我们可以把乙管的 6 小时分成 3 个 2 小时，第一个 2 小时和甲同时开，第二个 2 小时和丙同时开，第三个 2 小时乙管单独开这样就变成了甲、乙同时开 2 小时，乙、丙同时开 2 小时，乙单独开 2 小时，正好灌满一池水可以计算出乙单独灌水的工作量为，所以乙的工作效率为： ，所以整池水由乙管单独灌水，1154011(62)00需要
11、 （小时） 2【答案】 小时0【 巩固巩固 】 某水池可以用甲、乙两个水管注水，单开甲管需 12 小时注满，单开乙管需 24 小时注满，若要求 10 小时注满水池，且甲、乙两管同时打开的时间尽量少，那么甲、乙最少要同时开放 小时【考点】工程问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 要想同时开的时间最小，则根据工效，让甲“满负荷 ”地做，才可能使得同时开放的时间最小所以，乙开放的时间为 (小时)，即甲、乙最少要同时开放 4 小时1042【答案】4 小时【例 5】 一个蓄水池，每分钟流入 4 立方米水.如果打开 5 个水龙头，2 小时半就把水池水放空，如果打开 8 个水龙头，1 小时半就把水池
12、水放空.现在打开 13 个水龙头，问要多少时间才能把水放空？【考点】工程问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 先计算 1 个水龙头每分钟放出水量.2 小时半比 1 小时半多 60 分钟，多流入水 4 60= 240（立方米）.时间都用分钟作单位，1 个水龙头每分钟放水量是 240 （ 5 150- 8 90）= 8（立方米） ，8 个水龙头 1 个半小时放出的水量是 8 8 90，其中 90 分钟内流入水量是 4 90，因此原来水池中存有水 8 8 90-4 90= 5400（立方米）.打开 13 个水龙头每分钟可以放出水 813，除去每分钟流入 4，其余将放出原存的水，放空原存的 5
13、400，需要 5400 （8 13- 4）=54（分钟）.所以打开 13 个龙头，放空水池要 54 分钟.水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.【答案】54 分钟【 巩固巩固 】 一个蓄水池有 1 个进水口和 15 个出水口，水从进水口匀速流入当池中有一半的水时，如果打开 9 个出水口，9 小时可以把水排空如果打开 7 个出水口，18 小时可以把水排空如果是一满池水，打开全部出水口放水，那么经过 时 分水池刚好被排空【考点】牛吃草问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】对比思想方法【解析】 本题是牛吃草问题的
14、变形设每个出水口每小时的出水量为 1，则进水口每小时的进水量为： ，(7189)()5半池水的量为： ，所以一池水的量为 72(95)36如果打开全部 15 个出水口，排空水池所需要的时间为 小时，即 7 小时 12 分72(5).2钟【答案】 小时 分钟712【例 6】 一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水若只开甲、丙两管，甲管注入 18 吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入 27 吨水时，水箱才满又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的 2 倍则该水箱最多可容纳多少吨水？【考点】工程问题 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】 由于乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的 2 倍那
15、么甲管注入 18 吨水的时间是乙管注入吨水的时间，则甲管注入 18 吨水的时间与乙管注入 27 吨水的时间比18236是 那么在这两种情况下丙管注水的时间比为 ，而且前一种情况比后一种情况:74: 4:3多注入 吨水，则甲管注入 18 吨水时，丙管注入水 吨9 9()436所以该水箱最多可容纳水 吨183654【答案】 吨54【 巩固巩固 】 一个水箱有甲、乙、丙三根进水管，如果只打开甲、丙两管，甲管注入 吨水时，水箱已满；30如果只打开乙、丙两管，乙管注入 吨水时，水箱才满已知乙管每分钟注水量是甲管的40倍，则该水箱注满时可容纳 吨水1.5【考点】工程问题 【难度】4 星 【题型】解答 【解
16、析】 方法一：乙注入 40 吨水的时间相当于甲注入 吨水的时间，甲注入 30 吨水，丙可注水量为 ，401.5 x那么，乙注 40 吨水丙可注水量为 ，所以 ，解得 ，.3x401.53xx90（吨）为水箱容量。90312方法二：如果只打开甲、丙两管，注满水时甲管注入了 30 吨水；如果只打开乙、丙两管，注满水时乙管注入了 40 吨水由于乙管每分钟注水量是甲管的 倍，所以在甲管注入 30 吨水的时1.5间内，乙管可以注入 吨水，而在只打开乙、丙两管的情况下乙管共注入了 40 吨水，301.54可见打开甲、丙两管注满水所用的时间是打开乙、丙两管所用时间的 倍可以假设打开4908乙、丙两管的情况下
17、丙管注了 吨水，则打开甲、丙两管的情况下丙管注了 吨水，所以有a a，得到 ，所以水箱注满时可容纳 吨水在得到第一种情况所93048a8080412用时间是第二种情况所用时间的 倍之后，可以假设第二种情况此时乙、丙两管继续注水，总9时间为注满水所需时间的 倍，也就是与第一种情况所用时间相同此时，注入的水量也是水8箱容积的 倍，即比第一种情况多了 倍然而此时注水时间相同，所以丙管注入的水量相同，981乙管则注入 吨水，比甲管多注了 吨，所以这 15 吨就是水箱容积的 ，301.544530118那么水箱容积为 吨208【答案】 吨120【例 7】 放满一个水池，如果同时打开 1，2 号阀门，则
18、12 分钟可以完成；如果同时打开 1，3 号阀门，则 15 分钟可以完成；如果单独打开 1 号阀门，则 20 分钟可以完成；那么，如果同时打开1，2，3 号阀门， 分钟可以完成。【考点】工程问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】2009 年，学而思杯，6 年级【解析】 单独打开 1 号门，20 分钟可以完成，说明 1 号门每分钟完成 ，而同时打开 1、2 号闸门 12 分120钟可以完成，说明 2 号闸门每分钟完成 ，而现在同时打开 1、3 号闸门，15 分钟可203以完成，说明 3 号闸门每分钟完成 ，则同时打开 1、2、3 号闸门，需要156分钟。110206【答案】 分钟【 巩固
19、巩固 】 放 满 一 个 水 池 ， 如 果 同 时 打 开 1， 2， 3 号 阀 门 ， 则 20 分 钟 可 以 完 成 ； 如 果 同 时 打 开 2， 3， 4阀 门 ， 则 21 分 钟 可 以 完 成 ； 如 果 同 时 打 开 1， 3， 4 号 阀 门 ， 则 28 分 钟 可 以 完 成 ； 如 果 同 时 打开 1， 2， 4 号 阀 门 ， 则 30 分 钟 可 以 完 成 问 ： 如 果 同 时 打 开 1， 2， 3， 4 号 阀 门 ， 那 么 多 少 分钟 可 以 完 成 ？【考点】工程问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 根据条件，列表如下（画表示阀门
20、打开，画表示阀门关闭）：1 号 2 号 3 号 4 号 工作效率 120 128 30从表中可以看出，每个阀门都打开了三次，所以这 4 个阀门的工作效率之和为：，那么同时打开这 4 个阀门，需要 （分钟） 11320808 18【答案】 分钟三、 比例法及工资分配问题【例 8】 有一项工程，有三个工程队来争夺施工权利，已知甲乙丙三个工程队都是工作时间长短来付费的，甲、乙两队合作， 天可以全部完工，共需要支付 元，由乙、丙两队合作， 天1018020可以完工，共需要支付 元，由甲、丙两队合作， 天可以完成，共需要支付 ，如2215果该工程只需要一个工程队承建，如果只能一个队伍单独施工，那么最快的
21、比最慢的会早完工_天.需要支付速度最快的队伍_元. 【考点】工程问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】2010 年，学而思杯，5 年级【解析】 甲乙丙的工效和为 ，所以甲的工效为 ，乙的工效为172060 716025，丙的工效为 ，所以从时间上考虑，应该选择甲，会比丙早完工716023716天，同样的道理，甲乙丙的每日工资之和是 （元） ，54 1810()28502所以甲的每日费用为 （元） ，乙的费用为 （元） ，丙的费用为1825057（元） ，所以需要支付速度最快的队伍 （元）1820 3【 巩固巩固 】 甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配 8400 元工资按两队原计划的
22、工作效率，乙队应获5040 元实际上从第 5 天开始，甲队的工作效率提高了 1 倍，这样甲队最终可比原计划多获得960 元那么两队原计划完成修路任务要多少天？【考点】工程问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 开始时甲队拿到 元，甲、乙的工资比等于甲、乙的工效比，即为840560；甲提高工效后，甲、乙总的工资及工效比为360:52:设甲开始时的工效为“2”，那么乙的工效为“3” ，设甲在提高(9)(9)1:7工效后还需 天才能完成任务有 ，化简为 ，x(24):(3)18:7xx21654368xx解得 工程总量为 ，所以原计划 天完成407056760(3)【答案】 天12【例 9】
23、一项工程，甲 15 天做了 后，乙加入进来，甲、乙一起又做了 ，这时丙也加入进甲、乙、14 14丙一起做完已知乙、丙的工作效率的比为 3：5，整个过程中，乙、丙工作的天数之比为2：1，问题中情形下做完整个工程需多少天? 【考点】工程问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 方法一：先把整个工程分为三个阶段：；且易知甲的工作效率为 又乙、丙工作的天1.60数之比为( +) ：=2：1，所以有阶段和阶段所需的时间相等即甲、乙合作完成的14的工程与甲、乙、丙合作完成 的工程所需的时间相等所以对于工作效率有：142(甲 +乙)2=(甲 +乙+丙)，甲+ 乙=丙，那么有丙-乙= 1.60又有乙、丙的
24、工作效率的比为 3：5易知乙的工作效率为 丙的工作效率为： 那么这种情形下完成整个工程所需的时间为：3,1205.2天.185()()167466方法二：显然甲的工作效率为 设乙的工作效率为 ，那么丙的工作效率为 所以有乙工0， 3x5x作的天数为 丙工作的天数为 且有11(3)(8),46026xx1(8).260x即 解得 所以乙() .0x3,41.20x的工作效率为 丙的工作效率为高 那么这种情形下完成整个工程所需的时间为：,1205123815()()674660天.【答案】 天27【 巩固巩固 】 某工地用 种型号的卡车运送土方已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为 ，速度比为3 10
25、:76，运送土方的路程之比为 ，三种车的辆数之比为 工程开始时，乙、丙6:8915:4:5两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到 天后，另一半甲种车才投入工作，一共10干了 天完成任务那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？25【考点】工程问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】2007 年，二中【解析】 由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的路程之比为 ，速度之比为 ，所以它们运送15:46:89次所需的时间之比为 ，相同时间内它们运送的次数比为： 在前11547:6892 24:571天，甲车只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的数量之比为 由于三种卡车载重量之0 5:7比为 ，
26、所以三种卡车的总载重量之比为 那么三种卡车在前 天内的工作量:7650:3420之比为： 在后 天，由于甲车全部投入使用，所以在2495:3:2:27711后 天里的工作量之比为 所以在这 天内，甲的工作量与总工作量之比为：1052014532720719()()【答案】 39【例 10】 一项工程，甲、乙两队合干需 天，需支付工程款 元；乙、丙两队合干需 天，需支2520834付工程款 元；甲、丙两队合干需 天，需支付工程款 元如果要求总工程款尽量240674少，应选择哪个工程队？【考点】工程问题 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】 甲、乙一天完成工程的 ；乙、丙一天完成工程的 ；甲、丙
27、一天完成工程的2513415所以，甲的工效为 ；乙的工效为 ；丙的工效为6712074()201126甲、乙一天需工程款 (元)；乙、丙一天需工程款42895(元)；326甲、丙一天需工程款 (元)所以，甲一天的工程款为624087(元)；乙一天的工程款为 (元)丙一天的工程款为(920846)5920563(元)单独完成整个工程，甲队需工程款 (元) ；乙队需工程款5 420(元)；丙队需工程款 (元) 所以应该选择乙队312801【答案】乙队【 巩固巩固 】 甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共 1800 元，三人完成这项工程的具体情况是：甲、乙两人合作 6 天完成了工程的 ，因为甲有事，由乙、丙合作 2 天完成余下工程的 ，以后三13 14人合作 5 天完成了这项工程，按完成量的多少来付劳动报酬，甲、乙、丙各得多少元？【考点】工程问题 【难度】4 星 【题型】解答【关键词】2008 年，清华附中【解析】 根据题意可知，甲、乙两人的工作效率之和为 ；1638乙、丙两人的工作效率之和为 ；1()234甲、乙、丙三人的工作效率之和为 1()50
