1、学而思奥数网 Page of 152 1第 1 讲 计算综合（一）繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题1繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的” 找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母2一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数所以需将带分数化为假分数3某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观4对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可5本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅思维导引详解五年级第 1 讲 循环小数与分数1计算：7147826358【分析与解
2、】原式=2317441832计算：【分析与解】 注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有 于是，我们想到改变运算519顺序，如果分子与分母在 后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为5191；如果不一致，也不会增加我们的计算量所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序 而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为 19950.5具体过程如下：学而思奥数网 Page of 152 2原式=591(3.2)1930.460()7596=9.()51904132= = =.()5.13计算： 1987【分析与解】原式= = =16198374计算：已知
3、= ，则 x 等于多少?18+2x4【分析与解】方法一： 1118x64271+22xx4交叉相乘有 88x+66=96x+56，x=125方法二：有 ，所以 ；所以 ，那么1382x41823x413x421.25x5求 这 10 个数的和944,3,.3个【分析与解】方法一：学而思奥数网 Page of 152 3944+3.3个= 104(1)()(.)个= =1044.个 1099.)个= 10(10)()().(.)9个= .914.=43827159个方法二：先计算这 10 个数的个位数字和为 ；39+4=1再计算这 10 个数的十位数字和为 49=36，加上个位的进位的 3，为
4、 ；639再计算这 10 个数的百位数字和为 48=32，加上十位的进位的 3，为 ； 25再计算这 10 个数的千位数字和为 47=28，加上百位的进位的 3，为 ；81再计算这 10 个数的万位数字和为 46=24，加上千位的进位的 3，为 ；47再计算这 10 个数的十万位数字和为 45=20，加上万位的进位的 2，为 ；02再计算这 10 个数的百万位数字和为 44=16，加上十万位的进位的 2，为 ；168再计算这 10 个数的千万位数字和为 43=12，加上百万位的进位的 1，为 ；3再计算这 10 个数的亿位数字和为 42=8，加上千万位的进位的 1，为 ；9最后计算这 10 个
5、数的十亿位数字和为 41=4，加上亿位上没有进位，即为 4所以，这 10 个数的和为 49382715916.如图 1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中 6 条线段的长度之和是多少?学而思奥数网 Page of 152 4【分析与解】 因为每个端点均有三条线段通过，所以这 6 条线段的长度之和为：1 73(0.6875)1+0.82.65=.14 407.我们规定，符号“”表示选择两数中较大数的运算，例如：352.9=2.93.5=3.5符号“”表示选择两数中较小数的运算，例如：3.52.9=2.93.5=2.9请计算：215(0.6)(0.4)83A【分析与解】原式 1
6、50.627258431638规定（3）=234， （4）=345，(5)=456，(10)=91011，如果，那么方框内应填的数是多少?11(6)7()【分析与解】 = .1(7)(6761815759从和式 中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于 1?11246802【分析与解】 因为 ，所以 , , , 的和为 l，因此应去掉 与 .416218010如图 1-2 排列在一个圆圈上 10 个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数，例如 1.892915929那么在所有这种数中。最大的一个是多少?学而思奥数网 Page of 152 5【分析与解】 有整数部分尽可
7、能大，十分位尽可能大，则有 92918较大，于是最大的为9.2185A11请你举一个例子，说明“两个真分数的和可以是一个真分数，而且这三个分数的分母谁也不是谁的约数”.【分析与解】 有 ， ， 146051613540评注：本题实质可以说是寻找孪生质数，为什么这么说呢?注意到 ，当 时，有 caabbcbca1abc当 a、b、c 两两互质时，显然满足题意显然当 a、b、c 为质数时一定满足，那么两个质数的和等于另一个质数，必定有一个质数为 2，不妨设 a 为 2，那么有 ，显然 b、c 为一对孪生质数即可得出一般公式： ，c 与 c+2 均为质数即可.112(2)）12计算： 11(.()2
8、30） （ ）【分析与解】原式= ()(.=134567891234.0= .91= = .02113已知 .问 a 的整数部分是多少？16271368491570a=56【分析与解】学而思奥数网 Page of 152 616271368491570a=56= ()()()4(81)56910（ ）= 1 062136759（ ）= .0 15+486因为 1 2134510+65（ ）所以 .a0316同时 2451057689 10213459（ ）所以 a .09综上有 a 所以 a 的整数部分为 101316514问 与 相比，哪个更大，为什么?13579.246810【分析与解】
9、方法一：令 ， ，3579.246810A 246810.3579B有 . .AB 而 B 中分数对应的都比 A 中的分数大，则它们的乘积也是 BA，有 AA4B ，所以有 AA ，那么 A 10（ ） 01 1010即 与 相比， 更大13579.2468方法二：设 ，79.8A则 25610= ，13. 1490显然 、 、 、 、 都是小于 1 的，所以有 A2 ，于是 A .278 101015下面是两个 1989 位整数相乘： 问：乘积的各位数字之和是多少?198198.个 个学而思奥数网 Page of 152 7【分析与解】在算式中乘以 9，再除以 9，则结果不变因为 能被 9
10、 整除，所以将一个198.个乘以 9，另一个除以 9，使原算式变成：198.个 1982345670.234567个 共 位 数= 19808. .9个 共 位 数（ ）= 190198. 0.234567共 位 数 个 共 位 数= 198 0234567234567765498321共 位 数 共 位 数得到的结果中有 19809=220 个“123456790”和“987654320”及一个“12345678”和一个“987654321”，所以各位数之和为： 098320（ ） （ ）+ 2345677654179（ ） （ ）评注：1111111119=12345679；M 的数字和为
11、 9k(其中 M )可以利用上面性质较快的获得结果k9.个 k9.个学而思奥数网 Page of 152 8第 2 讲 计算综合（二）本讲主要是补充计算综合(I)未涉及和涉及不深的问题，但不包括多位数的运算1n(n+1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)3；2从 1 开始连续 n 个自然数的平方和的计算公 a 式：2213216nn3平方差公式：a 2-b2=(a+b)(a-b)1 已知 a= 试比较 a、b 的大小.11, ,22339910bAA【分析与解】 1, ,122339898abABA其中 A=99,B=99+ 因为 A98+ ，1.0119797,696,889
12、7788ABAB所以有 a b1122,33449898ABA学而思奥数网 Page of 152 92.试求 的和？11234341205205AA【分析与解】 记 则题目所要求的等式可写为：1,34205xA而1,2x11.2xx所以原式的和为 1评注：上面补充的两例中体现了递推和整体思想2 试求 1+2+3+4+4+100 的值?【分析与解】 方法一：利用等差数列求和公式，(首项+末项)项数2=(1+100)1002=5050方法二：倒序相加，1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 97+ 98+ 99+ 100100+ 99+ 98+ 97+ 96+4+ 3+ 2+ 1,上下两个数相加都是 1
13、01，并且有 100 组，所以两倍原式的和为 101100，那么原式的和为10l100 2=5050方法三：整数裂项(重点)，原式=(12+22+32+42+1002)2= 12(31)(42)(53)10(9)2A=( 410)2= 0=5050.3 试求 l2+23+34+45+56+99100 【分析与解】方法一：整数裂项原式=(123+233+343+453+563+991003)3=123+23(4-1)+34(5-2)+45(6-3)+56(7-4)+99100(101-98)学而思奥数网 Page of 152 10(1234123452345635674910980 A)3.
14、方程二：利用平方差公式 12+22+32+42+n2= (1)2).6nn原式：1 2+l+22+2+32+3+42+4+52+5+992+99=12+22+32+42+52+992+1+2+3+4+5+99= 90906=328350+4950=3333005计算下列式子的值：0.10.3+0.2 0.4+0.30.5+0.40.6+9.79.9+9.8 10.0【分析与解】这个题看上去是一个关于小数的问题，实际上我们可以先把它们变成整数，然后再进行计算即先计算 13+2 4+35+4 6+97 99+98100。再除以 100方法一：再看每一个乘法算式中的两个数，都是差 2，于是我们容易想
15、到裂项的方法 0.10.3+0.2 0.4+0.30.5+0.40.6+9.79.9+9.8 10.0=(13+24+35+46+9799+98100)100=(l2+1)+(23+2)+(34+3)+(45+4)+(9798+97)+(9899+98)100=(12+23+34+45+9798+9899)+(1+2+3+4+97+98)100=( 9899100+ 9899)1001312=3234+48.51=3282.51方法二：可以使用平方差公式进行计算0.10.3+O.20.4+0.30.5+0.40.6+9.79.9+9.810.0=(13+24+35+46+9799+98l00)100=(12-1+22-1+32-1+42-1+52-1+992-1)100=(11+22+32+42+52+992-99)100=( 99100199-99)1006=16.5199-0.99=16.5200-16.5-0.99 =3282.51评注：首先，我们要清楚数与数之间是相通的，小数的计算与整数的计算是有联系的下面简单介绍一下整数裂项12+23+34+(n-1)n
