1、在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效 率 、工作时 间 这三个量，它们之间的基本数量关系是 工作量=工作效率时间. 在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”. 举一个简单例子.：一件工作，甲做 15 天可完成，乙做 10 天可完成.问两人合作几天可以完成？ 一件工作看成 1 个整体，因此可以把工作量算作 1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天” ，1 天就是一个单位， 再根据基本数量关系式，得到 工作效率工作时间=工作总量 =6（天） 答：两人合作需要 6 天. 这是工程问题中
2、最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的。为了计算整数化（尽可能用整数进行计算） ，如第三讲例 3 和例 8 所用方法，把工作量多设份额.还是上题，10 与 15 的最小公倍数是 30。设全部工作量为 30 份，那么甲每天完成 2 份，乙每天完成 3 份，两人合作所需天数是 : 30（2+ 3）= 6（天） 如果用数计算，更方便. 3：2.或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是1015=23工 程 问 题 方 法 总 结一 ： 基 本 数 量 关 系 ：工 效 时 间 =工 作 总 量 二 ： 基 本 特 点 ：设 工 作 总 量 为 “1”， 工
3、 效 =1/时 间 三 ： 基 本 方 法 ：算 术 方 法 、 比 例 方 法 、 方 程 方 法 。 四 ： 基 本 思 想 ：分 做 合 想 、 合 做 分 想 。 五 ： 类 型 与 方 法 ：一 ： 分 做 合 想 :1.合 想 ,2.假 设 法 ,3.巧 抓 变 化 (比 例 ),4.假 设 法 。二：等量代换：方程组的解法代入法，加减法。 三：按劳分配思路：每人每天工效每人工作量按比例分配 四：休息请假： 方法：1.分想：划分工作量。2.假设法：假设不休息。 五：休息与周期： 1.已知条件的顺序：先工效，再周期，先周期，再天数。 2.天数：近似天数，准确天数。 3.列表确定工作天
4、数。 六：交替与周期：估算周期，注意顺序！ 七：注水与周期：1.顺序，2.池中原来是否有水，3.注满或溢出。 八：工效变化。 九：比例：1.分比与连比，2.归一思想，3.正反比例的运用，4.假设法思想(周期)。十：牛吃草问题：1.新生草量，2.原有草量，3.解决问题。 工 程 问 题.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也 需时间是 因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1”的做法，而偏重于“整数化 ”或“ 从比例角度出发 ”，也许会使我们的解题思路更灵活一些. 两个人的问题 标题上说的“两个人” ，也可以是两个组、两个队等等的两个集体. 例 1一件工作，
5、甲做9天可以完成，乙做6天可以完成。现在甲先做了 3天，余下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作？ 解一：把这件工作看作1，甲每天可完成这件工作的九分之一，做3天完成的1/3。 乙每天可完成这件工作的六分之一， （1-1/3）1/6=4（天） 答：乙需要做4天可完成全部工作. 解二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是 （18- 2 3） 3= 4（天）. 解三：甲与乙的工作效率之比是 6 9= 2 3. 甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）. 例 2 一件工作，甲、乙两人合作30
6、天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？ 解：共做了6天后， 原来，甲做 24天，乙做 24天， 现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天. 这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率 如果乙独做，所需时间是 50天 如果甲独做，所需时间是 75天 答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天. 例 3某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？ 解：先对比如下： 甲做63天，乙做28天； 甲做4
7、8天，乙做48天. 就知道甲少做63-48=15（天） ，乙要多做48-28=20（天） ，由此得出甲的 甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（天） ，相当于乙要做 因此，乙还要做 28+28= 56 （天）. 答：乙还需要做 56天. 例 4 一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？ 解一：甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量 余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是 2+8+ 1= 11（天）. 答：从开始到完工共用了11天. 解二：设全部工作量为30
8、份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作 （30- 3 8- 1 2）（3+1 ）= 1（天）. 解三：甲队做1天相当于乙队做3天. 在甲队单独做 8天后，还余下（甲队） 10-8= 2（天）工作量.相当于乙队要做23=6（天） .乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量. 4=3+1， 其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天. 解 四 ： 方 法 ： 分 休 合 想 （ 题 中 说 甲 乙 两 队 没 有 在 一 起 休 息 ， 我 们 就 假 设 他 们 在 一 起 休 息 .) 甲队每天工作量为1/10，乙为 1/30
9、，因为甲休息了2天，而乙休息了 8天，因为82，所以我们假设甲休息两天时，乙也在休息。那么甲开始工作时，乙还要休息：8-2=6(天）那么这6天内甲独自完成了这项工程的1/106=6/10 ，剩下的工作量为 1-6/10=4/10，而这剩下的4/10为甲乙两人一起合作完成的工程量，所以，工程量的4/10 需要甲乙合作：(4/10)(1/10+1/30)=3天。所以从开始到完工共需： 8+3=11(天） 例 5一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成 .现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？解一：如果16天两队都不休息，
10、可以完成的工作量是 （120）16+（130）16=4/3 由于两队休息期间未做的工作量是4/3-1=1/3 乙队休息期间未做的工作量是 1/3-1/203=11/60 乙队休息的天数是 11/60(1/30)=11/2 答：乙队休息了5天半. 解二：设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份. 两队休息期间未做的工作量是 （3+2）16- 60= 20（份）. 因此乙休息天数是 （20- 3 3） 2= 5.5（天）. 解三：甲队做2天，相当于乙队做3天. 甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天. 如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数是 16
11、-6-4.5=5.5（天） . 例 6 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？ 解：很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张 先 做乙 . 设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数） ，张每天完成4份，李每天完成3份. 8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-48）份.由张、李合作需要 （60-48）（4+3 ）=4 （天） . 8+4=12（天）. 答：这两项工作都完成最少需要12天. 例 7 一项工
12、程，甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作，他 要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？ 解：设这项工程的工作量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份. 两人合作，共完成 3 0.8 + 2 0.9= 4.2（份）. 因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成，所以两人合作的天数是 （30-38）（4.2-3）=5（天）. 很明显，最后转化成“鸡 兔 同 笼 ”型问题. 例 8 甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时快 如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？ 解：乙6小时单独工作完成的工作量是 乙每小时
13、完成的工作量是 两人合作6小时，甲完成的工作量是 甲单独做时每小时完成的工作量 甲单独做这件工作需要的时间是 答：甲单独完成这件工作需要33小时. 这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理.但是， “整数化 ”并不能使所有工程问题的计算简便. 例8就是如此.例8也可以整数化，当求出乙每 有一点方便，但好处不大.不必多此一举. 多人的工程问题 我们说的多人，至少有3个人，当然多人问题要比2人问题复杂一些，但是解题的基本思路还是差不多. 例 9 一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？ 解：设这件工作的工作量是1. 甲、
14、乙、丙三人合作每天完成 减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成 答：甲一人独做需要90天完成. 例9也可以整数化，设全部工作量为180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.请试一试，计算是否会方便些？ 例 10一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？ 解：甲做1天，乙就做3天，丙就做32=6（天）. 说明甲做了2天，乙做了23=6（天） ，丙做26=12(天） ，三人一共做了 2+6
15、+12=20（天）. 答：完成这项工作用了20天. 本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.总共用了 例 11一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？ 解：丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的42=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍. 他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要 答：甲独做需要26
16、天. 事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是321，就知甲做1天，相当于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙两人完成的工作量，可转化为甲再做13天来完成. 例 12某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作？ 解一：设这项工作的工作量是1. 甲组每人每天能完成 乙组每人每天能完成 甲组2人和乙组7人每天能完成 答：合作3天能完成这项工作. 解二：甲组3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙组4人7天能完成，因此7人4天能完成. 现在已不需顾及人数，问题转化为： 甲组独做12天，乙组独做4天，问合作几天完成？ 小学算
17、术要充分利用给出数据的特殊性.解二是比例灵活运用的典型，如果你心算较好，很快就能得出答数. 例 13制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成.现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件？ 解一：仍设总工作量为1. 甲每天比乙多完成 因此这批零件的总数是 丙车间制作的零件数目是 答：丙车间制作了4200个零件. 解二：10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每天完成 3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份. 乙、丙一起，8天完成.乙完成82=1
18、6（份） ，丙完成30-16=14（份） ，就知 乙、丙工作效率之比是1614=87. 已知 甲、乙工作效率之比是 32= 128. 综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是 1287. 当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是 2400（12- 8） 7= 4200（个）. 例 14搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库 A 和 B，甲在 A 仓库、乙在 B 仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？ 解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间是
19、答：丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时. 解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6，乙每小时搬运 5，丙每小时搬运4. 三人共同搬完，需要 60 2 （6+ 5+ 4）= 8（小时） . 甲需丙帮助搬运 （60- 6 8） 4= 3（小时）. 乙需丙帮助搬运 （60- 5 8）4= 5（小时）. 3、水管问题 从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因
20、此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同. 例15 甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池.现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？ 解 ： 甲 每 分 钟 注 入 水 量 是 ： （ 1-1/9 3） 10=1/15乙每分钟注入水量是：1/9-1/15=2/45 因此水池容积是：0.6（1/15-2/45）=27 （立方米） 答：水池容积是27立方米. 例16 有一些水管，它们每分钟注水量都相等.现在打开其中若干根水管，经过预定的时间的1/3，再把打开的水管增加一倍，就能按预定时间注满水池，如果开始时就
21、打开10根水管，中途不增开水管，也能按预定时间注满水池.问开始时打开了几根水管？ 分 析 ：增开水管后，有原来2倍的水管，注水时间是预定时间的1-1/3=2/3，2/3是1/3的2倍，因此增开水管后的这段时间的注水量，是前一段时间注水量的4倍。 设水池容量是1，前后两段时间的注水量之比为：1：4， 那么预定时间的1/3（即前一段时间）的注水量是 1/（1+4）=1/5。 10根水管同时打开，能按预定时间注满水，每根水管的注水量是1/10，预定时间的1/3，每根水官的注水量是1/101/3=1/30 要注满水池的1/5，需要水管 1/51/30=6（根） 解 ： 前 后 两 段 时 间 的 注
22、水 量 之 比 为 ： 1： （ 1-1/3） 1/32=1： 4 前 段 时 间 注 水 量 是 ： 1（ 1+4） =1/5 每 根 水 管 在 预 定 1/3的 时 间 注 水 量 为 ： 1101/3=1/30 开 始 时 打 开 水 管 根 数 ： 1/51/30=6（ 根 ）答：开始时打开 6 根水管。 例 17 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管 .要灌满一池水，单开甲管需 3 小时，单开丙管需要 5 小时.要排光一池水，单开乙管需要 4 小，丁管需要 6 小时，现在水池内有六分之一的水，如按甲、乙、丙、丁、甲、乙的顺序轮流打开 1 小时，问多少时间后水开始溢出水池？
23、分析： ，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出. 以后（20 小时） ，池中的水已有 此题与广为流传的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉进了枯井的青蛙，它要往上爬 30 尺才能到达井口，每小时它总是爬 3 尺，又滑下 2 尺.问这只青蛙需要多少小时才能爬到井口？ 看起来它每小时只往上爬 3- 2= 1（尺） ，但爬了 27 小时后，它再爬 1 小时，往上爬了 3 尺已到达井口. 因此，答案是 28 小时，而不是 30 小时. 例 18 一个蓄水池，每分钟流入 4 立方米水.如果打开 5 个水龙头， 2 小时半就把水池水放空，如果打开 8 个水龙头，1 小时半就把水池水放空.现在打开 13 个水龙头，
24、问要多少时间才能把水放空？ 解：先计算 1 个水龙头每分钟放出水量. 2 小时半比 1 小时半多 60 分钟，多流入水 4 60= 240（立方米）. 时间都用分钟作单位，1 个水龙头每分钟放水量是 240 （ 5 150- 8 90）= 8（立方米） ， 8 个水龙头 1 个半小时放出的水量是 8 8 90， 其中 90 分钟内流入水量是 4 90，因此原来水池中存有水 8 8 90-4 90= 5400（立方米）. 打开 13 个水龙头每分钟可以放出水 813，除去每分钟流入 4，其余将放出原存的水，放空原存的 5400，需要 5400 （8 13- 4）=54 （分钟）. 答：打开 13
25、 个龙头，放空水池要 54 分钟. 水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的. 例 19 一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的 .打开 A 管，8小时可将满池水排空，打开 C 管，12 小时可将满池水排空 .如果打开 A，B 两管，4 小时可将水排空.问打开 B，C 两管，要几小时才能将满池水排空？ 解：设满水池的水量为 1. A 管每小时排出 A 管 4 小时排出 因此，B，C 两管齐开，每小时排水量是 B，C 两管齐开，排光满水池的水，所需时间是 答： B， C 两管齐开要 4 小时 48 分才
26、将满池水排完. 本题也要分开考虑，水池原有水（满池）和渗入水量.由于不知具体数量，像工程问题不知工作量的具体数量一样.这里把两种水量分别设成“1”. 但这两种量要避免混淆.事实上，也可以整数化，把原有水设为 8 与 12 的最小公倍数 24. 17 世纪英 国 伟大的科学家牛 顿 写过一本普遍算术一书，书中提出了一个“ 牛 吃草 ”问题，这是一道饶有趣味的算术题.从本质上讲，与例 18 和例 19 是类同的.题目涉及三种数量：原有草、新长出的草、牛吃掉的草.这与原有水量、渗入水量、水管排出的水量，是完全类同的. 例 20 有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一 草；21 头牛 9 星期吃完第
27、二片牧场的草.问多少头牛 18 星期才能吃完第三片牧场的草？ 解：吃草总量=一头牛每星期吃草量牛头数星期数.根据这一计算公式，可以设定“一头牛每星期吃草量” 作为草的计量单位. 原有草+4 星期新长的草=124. 原有草+9 星期新长的草=79. 由此可得出，每星期新长的草是 （79-124）（9-4）=3. 那么原有草是 79-39=36（或者 124-34）. 对第三片牧场来说，原有草和 18 星期新长出草的总量是 这些草能让 907.218=36（头） 牛吃 18 个星期. 答：36 头牛 18 个星期能吃完第三片牧场的草. 例 20 与例 19 的解法稍有一点不一样.例 20 把“新长
28、的”具体地求出来，把“原有的”与“新长的”两种量统一起来计算 .事实上，如果例 19 再有一个条件，例如：“打开 B 管，10小时可以将满池水排空.”也就可以求出“新长的” 与“原有的 ”之间数量关系.但仅仅是例 19所求，是不需要加这一条件.好好想一想，你能明白其中的道理吗？ “牛吃草”这一类型问题可以以各种各样的面目出现.限于篇幅，我们只再举一个例子. 例 21 画展 9 点开门，但早有人排队等候入场.从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多.如果开 3 个入场口，9 点 9 分就不再有人排队，如果开 5 个入场口，9 点 5 分就没有人排队.问第一个观众到达时间是 8 点几分？ 解
29、：设一个入场口每分钟能进入的观众为 1 个计算单位. 从 9 点至 9 点 9 分进入观众是 39， 从 9 点至 9 点 5 分进入观众是 55. 因为观众多来了 9-5=4（分钟） ，所以每分钟来的观众是 （39-55）（9-5）=0.5. 9 点前来的观众是 55-0.55=22.5. 这些观众来到需要 22.50.5=45（分钟）. 答：第一个观众到达时间是 8 点 15 分. 挖一条水渠，甲、乙两队合挖要六天完成。甲队先挖三天，乙队接着挖一天，可挖这条水渠的 3/10，两队单独挖各需几天？ 分析: 甲乙合作 1 天后,甲又做了 2 天共 3/10-1/6=4/30 2(3/10-1/
30、6) =24/30 =15(天) 1(1/6-1/15)=10(天) 答:甲单独做要 15 天,乙单独做要 10 天 . .一件工作，如果甲单独做，那么甲按规定时间可提前 2 天完成，乙则要超过规定时间 3 天才完成。现在甲乙二人合作二天后，剩下的乙单独做，刚好在规定日期内完成。若甲乙二人合作，完成工作需多长时间？ 解设:规定时间为 X 天.(甲单独要 X-2 天,乙单独要 X+3 天 ,甲一共做了 2 天,乙一共做了 X 天) 1/(X-2)2 + X/(X+3)=1 X=12 规定要 12 天完成 11/(12-2)+1/(12+3) =1(1/6) =6 天 答:两人合作完成要 6 天.
31、 例：一项工程，甲单独做 63 天，再由乙做 28 天完成，甲乙合作需要 48 天完成。甲先做 42 天，乙做还要几天？ 答：设甲的工效为 x,乙的工效为 y 63x+28y=1 48x+48y=1 x=1/84 y=1/112 乙还要做（1-42/84）（1/112）=56 （天） 例 22 有 32 吨货物，从甲城运往乙城，大卡车的载重量是 5 吨，小卡车的载重量是3 吨，每种大、小卡车的耗油量分别是 10 升和 7.2 升，将这批货物运完，至少需要耗油多少吨？ 解：显然，为了省油，应尽量使用大卡车运，大卡车运 6 次，还剩 2 吨，所以剩下一次用小卡车运，耗油最少，共需 6*10+7.2=67.2 升
