1、小 学 阶 段 应 用 题 类 型 梳 理新 的 数 学 课 程 标 准 指 出 ： 学 习 数 学 ， 不 能 仅 仅 停 留 在 掌 握 知 识 的层 面 上 ， 而 必 须 学 会 应 用 。 只 有 如 此 ， 才 能 使 所 学 数 学 富 有 生 命 力 ， 才 能真 正 实 现 数 学 的 价 值 。因 此 ， 在 现 行 教 材 中 ， 很 少 有 单 独 教 学 应 用 题 的 情 况 ， 但 是 应 用 题 却蕴 涵 在 每 一 个 章 节 中 。 所 以 ， 我 们 要 更 为 重 视 应 用 题 的 教 学 。 对 学 生 和老 师 来 说 都 是 很 大 的 挑 战
2、。 虽 然 没 有 明 确 讲 ， 但 是 还 是 可 以 说 清 应 用 题 的各 种 类 型 。现 将 小 学 阶 段 的 应 用 题 类 型 归 纳 如 下 ：（ 一 ） 整 数 和 小 数 的 应 用 题 1 、 简 单 应 用 题 只 含 有 一 种 基 本 数 量 关 系 ， 或 用 一 步 运 算 解 答 的 应 用 题 ， 通 常 叫 做 简 单应 用 题 。 答 案 ： 根 据 计 算 的 结 果 ， 先 口 答 ， 逐 步 过 渡 到 笔 答 。 (1)加 法 应 用 题 ： a 求 总 数 的 应 用 题 ： 已 知 甲 数 是 多 少 ， 乙 数 是 多 少 ， 求 甲
3、 乙 两 数 的 和 是 多 少 。b 求 比 一 个 数 多 几 的 数 应 用 题 ： 已 知 甲 数 是 多 少 和 乙 数 比 甲 数 多 多 少 ， 求 乙数 是 多 少 。 (2)减 法 应 用 题 ： a 求 剩 余 的 应 用 题 ： 从 已 知 数 中 去 掉 一 部 分 ， 求 剩 下 的 部 分 。 b 求 两 个 数 相 差 的 多 少 的 应 用 题 ： 已 知 甲 乙 两 数 各 是 多 少 ， 求 甲 数 比 乙 数 多多 少 ， 或 乙 数 比 甲 数 少 多 少 。 c 求 比 一 个 数 少 几 的 数 的 应 用 题 ： 已 知 甲 数 是 多 少 ， ，
4、 乙 数 比 甲 数 少 多 少 ，求 乙 数 是 多 少 。 (3)乘 法 应 用 题 ： a 求 相 同 加 数 和 的 应 用 题 ： 已 知 相 同 的 加 数 和 相 同 加 数 的 个 数 ， 求 总 数 。 b 求 一 个 数 的 几 倍 是 多 少 的 应 用 题 ： 已 知 一 个 数 是 多 少 ， 另 一 个 数 是 它 的 几倍 ， 求 另 一 个 数 是 多 少 。 (4)除 法 应 用 题 ： a 把 一 个 数 平 均 分 成 几 份 ， 求 每 一 份 是 多 少 的 应 用 题 ： 已 知 一 个 数 和 把 这 个数 平 均 分 成 几 份 的 ， 求 每
5、一 份 是 多 少 。 b 求 一 个 数 里 包 含 几 个 另 一 个 数 的 应 用 题 ： 已 知 一 个 数 和 每 份 是 多 少 ， 求 可以 分 成 几 份 。 C 求 一 个 数 是 另 一 个 数 的 的 几 倍 的 应 用 题 ： 已 知 甲 数 乙 数 各 是 多 少 ， 求 较大 数 是 较 小 数 的 几 倍 。 d 已 知 一 个 数 的 几 倍 是 多 少 ， 求 这 个 数 的 应 用 题 。 （ 5） 常 见 的 数 量 关 系 ： 总 价 = 单 价 数 量 路 程 = 速 度 时 间 工 作 总 量 =工 作 时 间 工 效 总 产 量 =单 产 量 数
6、 量 2、 复 合 应 用 题 有 两 个 或 两 个 以 上 的 基 本 数 量 关 系 组 成 的 ， 用 两 步 或 两 步 以 上 运 算 解答 的 应 用 题 ， 通 常 叫 做 复 合 应 用 题 。 （ 1） 含 有 三 个 已 知 条 件 的 两 步 计 算 的 应 用 题 。 求 比 两 个 数 的 和 多 （ 少 ） 几 个 数 的 应 用 题 。 比 较 两 数 差 与 倍 数 关 系 的 应 用 题 。 （ 2） 含 有 两 个 已 知 条 件 的 两 步 计 算 的 应 用 题 。 已 知 两 数 相 差 多 少 （ 或 倍 数 关 系 ） 与 其 中 一 个 数 ，
7、 求 两 个 数 的 和 （ 或 差 ） 。已 知 两 数 之 和 与 其 中 一 个 数 ， 求 两 个 数 相 差 多 少 （ 或 倍 数 关 系 ） 。 （ 3） 连 乘 连 除 应 用 题 。 （ 4） 三 步 计 算 的 应 用 题 。 3、 小 数 计 算 的 应 用 题 ：小 数 计 算 的 加 法 、 减 法 、 乘 法 和 除 法 的 应 用 题 ， 他 们 的 数 量 关 系 、 结 构 、和 解 题 方 式 都 与 正 式 应 用 题 基 本 相 同 ， 只 是 在 已 知 数 或 未 知 数 中 间 含 有 小数 。4、 典 型 应 用 题 具 有 独 特 的 结 构
8、特 征 的 和 特 定 的 解 题 规 律 的 复 合 应 用 题 ， 通 常 叫 做 典 型 应用 题 。 （ 1） 平 均 数 问 题 ： 平 均 数 是 等 分 除 法 的 发 展 。 解 题 关 键 ： 在 于 确 定 总 数 量 和 与 之 相 对 应 的 总 份 数 。 算 术 平 均 数 ： 已 知 几 个 不 相 等 的 同 类 量 和 与 之 相 对 应 的 份 数 ， 求 平 均 每 份是 多 少 。数量关系式：数量之和数量的个数=算术平均数。 （2） 归一问题： 已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。 根
9、据求“单一量” 的步骤的多少，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问题。 根据求单一量之后，解题采用乘法还是除法，归一问题可以分为正归一问题，反归一问题。 一次归一问题，用一步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“单归一。” 两次归一问题，用两步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“双归一。” 正归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用乘法计算结果的归一问题。 反归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用除法计算结果的归一问题。 解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。数量关系式：单一量份数= 总数量（正归一） 总数
10、量单一量=份数（反归一） 例 一个织布工人，在七月份织布 4774 米 ， 照这样计算，织布 6930 米 ，需要多少天？ 分析：必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量。 693 0 （ 477 4 31 ） =45 （天） （3）归总问题： 是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数量的个数），通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）。 特点：两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变化的规律相反，和反比例算法彼此相通。 数量关系式：单位数量单位个数另一个单位数量 = 另一个单位数量 单位数量单位个数 另一个单位数量= 另一个单位数量。 例 修一条
11、水渠，原计划每天修 800 米 ， 6 天修完。实际 4 天修完，每天修了多少米？ 分析：因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度。所以也把这类应用题叫做“归总问题” 。不同之处是“归一” 先求出单一量，再求总量，归总问题是先求出总量，再求单一量。 80 0 6 4=1200 （米） （4） 和差问题： 已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。 解题关键：是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和），然后再求另一个数。 解题规律：（和差）2 = 大数 大数差=小数 （和差）2=小数 和小数= 大数 例 某加工厂甲班和乙班共有工人 94 人，因工
12、作需要临时从乙班调 46 人到甲班工作，这时乙班比甲班人数少 12 人，求原来甲班和乙班各有多少人？ 分析：从乙班调 46 人到甲班，对于总数没有变化，现在把乙数转化成 2 个乙班，即 9 4 12 ，由此得到现在的乙班是（ 9 4 12 ） 2=41 （人），乙班在调出 46 人之前应该为 41+46=87 （人），甲班为 9 4 87=7 （人）（5）和倍问题： 已知两个数的和及它们之间的倍数 关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。 解题关键：找准标准数（即 1 倍数）一般说来，题中说是“谁” 的几倍，把谁就确定为标准数。求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。根据另一个数（也可能
13、是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。 解题规律：和倍数和=标准数 标准数 倍数=另一个数 例:汽车运输场有大小货车 115 辆，大货车比小货车的 5 倍多 7 辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆？ 分析：大货车比小货车的 5 倍还多 7 辆，这 7 辆也在总数 115 辆内，为了使总数与（ 5+1 ）倍对应，总车辆数应（ 115-7 ）辆 。 列式为（ 115-7 ）（ 5+1 ） =18 （辆）， 18 5+7=97 （辆） （6）差倍问题 ：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。 解题规律：两个数的差（倍数1 ）= 标准数 标准数倍数=
14、另一个数。 例 甲乙两根绳子，甲绳长 63 米 ，乙绳长 29 米 ，两根绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳 长的 3 倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？ 各减去多少米？ 分析：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳的 3 倍，实比乙绳多（ 3-1 ）倍，以乙绳的长度为标准数。列式（ 63-29 ）（ 3-1 ） =17 （米） 乙绳剩下的长度， 17 3=51 （米） 甲绳剩下的长度， 29-17=12 （米）剪去的长度。 （7）公因数、公倍数问题运用最大公约数或最小公倍数解答应用题，叫做公约数、公倍数问题。例 1：一块长方体木料，长 25 米，宽 175 米，厚 075
15、 米。如果把这块木料锯成同样大小的正方体木块，不准有剩余，而且每块的体积尽可能的大，那么，正方体木块的棱长是多少？共锯了多少块？分析：25250 厘米175175 厘米07575 厘米其中 250、175、75 的最大公约数是 25，所以正方体的棱长是 25 厘米。（25025） （17525）（7525）1073210（块）答：正方体的棱长是 25 厘米，共锯了 210 块。例 2、两啮合齿轮，一个有 24 个齿，另一个有 40 个齿，求某一对齿从第一次接触到第二次接触，每个齿轮至少要转多少周？分析：因为 24 和 40 的最小公倍数是 120，也就是两个齿轮都转 120 个齿时，第一次接触
16、的一对齿，刚好第二次接触。120245（周）120403（周）答：每个齿轮分别要转 5 周、3 周。（8）行程问题： 关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答。 解题关键及规律： 同时同地相背而行：路程=速度和 时间。 同时相向而行：相遇时间=速度和 时间 同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及时间=路程速度差。同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差时间。 例 甲在乙的后面 28 千米 ，两人同时同向而行，甲每小时行 16 千米
17、，乙每小时行 9 千米 ，甲几小时追上乙？ 分析：甲每小时比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小时可以追近乙（ 16-9 ）千米，这是速度差。 已知甲在乙的后面 28 千米 （追击路程）， 28 千米 里包含着几个（ 16-9 ）千米，也就是追击所需要的时间。列式 2 8 （ 16-9 ） =4 （小时） （9） 还原问题： 已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题，我们叫做还原问题。 解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系。 解题规律：从最后结果 出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法，逐步推导出原数。 根据原题的运算顺序列出数量关系，然后采用逆运算的方法
18、计算推导出原数。 解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法，后算乘除法时别忘记写括号。 例 某小学三年级四个班共有学生 168 人，如果四班调 3 人到三班，三班调 6 人到二班，二班调 6 人到一班，一班调 2 人到四班，则四个班的人数相等，四个班原有学生多少人？ 分析：当四个班人数相等时，应为 168 4 ，以四班为例，它调给三班 3 人，又从一班调入 2 人，所以四班原有的人数减去 3 再加上 2 等于平均数。四班原有人数列式为 168 4-2+3=43 （人） 一班原有人数列式为 168 4-6+2=38 （人）；二班原有人数列式为 168 4-6+6=42 （人） 三班原有
19、人数列式为 168 4-3+6=45 （人）。 （10）植树问题：这类应用题是以 “植树”为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题，叫做植树问题。 解题关键：解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。 解题规律：沿线段植树 棵树=段数+1 棵树= 总路程株距+1 株距=总路程 （棵树-1） 总路程=株距（棵树-1） 沿周长植树 棵树=总路程 株距 株距=总路程 棵树 总路程=株距 棵树 例 沿公路一旁埋电线杆 301 根，每相邻的两根的间距是 50 米 。后来全部改装，只埋了 201 根。求改装后每相邻两根的间
20、距。 分析：本题是沿线段埋电线杆，要把电线杆的根数减掉一。列式为 50 （ 301-1 ）（ 201-1 ） =75 （米）（11）年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一个条件，这种应用题被称为“年龄问题” 。 解题关键：年龄问题与和差、和倍、 差倍问题类似，主要特点是随着时间的变化，年岁不断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改变的，因此，年龄问题是一种“差不变” 的问题，解题时，要善于利用差不变的特点。 例 父亲 48 岁，儿子 21 岁。问几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍？ 分析：父子的年龄差为 48-21=27 （岁）。由于几年前父亲年龄是儿子的 4 倍，可知父子年龄的倍数差是（ 4
21、-1 ）倍。这样可以算出几年前父子的年龄，从而可以求出几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍。列式为： 21（ 48-21 ）（ 4-1 ） =12 （年） （12）鸡兔问题（替换、假设问题） ：已知“ 鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题。通常称为“鸡兔问题” 又称鸡兔同笼问题 解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是“鸡”或全是“兔 ”，然后根据出现的腿数差，可推算出某一种的头数。 解题规律：（总腿数鸡腿数总头数）一只鸡兔腿数的差=兔子只数 兔子只数=（总腿数 -2总头数）2 如果假设全是兔子，可以有下面的式子： 鸡的只数=（ 4总头数- 总腿数）2
22、 兔的头数=总头数 -鸡的只数 例 鸡兔同笼共 50 个头， 170 条腿。问鸡兔各有多少只？ 兔子只数 （ 170-2 50 ） 2 =35 （只） 鸡的只数 50-35=15 （只） （二）分数和百分数的应用题 1、分数加减法应用题： 分数加减法的应用题与整数加减法的应用题的结构、数量关系和解题方法基本相同，所不同的只是在已知数或未知数中含有分数。 2、分数乘法应用题： 是指已知一个数，求它的几分之几是多少的应用题。 特征：已知单位“1”的量和分率，求与分率所对应的实际数量。 解题关键：准确判断单位“1”的量。找准要求问题所对应的分率，然后根据一个数乘分数的意义正确列式。 3、分数除法应用
23、题： 求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少。 特征：已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几分之几或百分之几。“一个数” 是比较量， “另一个数” 是标准量。求分率或百分率，也就是求他们的倍数关系。 解题关键：从问题入手，搞清把谁看作标准的数也就是把谁看作了“单位一”，谁和单位一的量作比较，谁就作被除数。 甲是乙的几分之几（百分之几）:甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙。 甲比乙多（或少）几分之几（百分之几）：甲减乙比乙多（或少几分之几）或（百分之几）。关系式（甲数减乙数）/乙数或（甲数减乙数） /甲数 。 已知一个数的几分之几（或百分之几 ) ,求这个数。 特征：已知一个实际
24、数量和它相对应的分率，求单位“1” 的量。 解题关键：准确判断单位“1”的量把单位“1”的量看成 x 根据分数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意义列算式，但必须找准和分率相对应的已知实际 数量。 4、稍复杂的分数应用题：关于一个数比另一个数多（少）百分之几的应用题5、有关百分率问题 发芽率=发芽种子数 /试验种子数 100% 小麦的出粉率= 面粉的重量/小麦的重量100% 产品的合格率=合格的产品数/产品总数100% 职工的出勤率=实际出勤人数/应出勤人数100% 6、纳税 纳税就是把根据国家各种税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。 缴纳的税款叫应纳税款。 应纳税额与各种收入的（销售额、营业额、应纳税所得额 ）的比率叫做税率。 7、利息 存入银行的钱叫做本金。 取款时银行多支付的钱叫做利息。 利息与本金的比值叫做利率。 利息=本金利率时间 8、 折 扣 问 题现 价 原 价 =折 数（ 三 ） 、 列 方 程 解 应 用 题 。根 据 等 量 关 系 来 列 方 程 ， 小 学 阶 段 所 涉 及 的 都 是 一 元 的 方 程 。
