1、1小学数学典型应用题以下主要研究 30类典型应用题：1、归一问题2、归总问题3、和差问题4、和倍问题5、差倍问题6、倍比问题7、相遇问题8、追及问题9、植树问题10、年龄问题11、行船问题12、列车问题13、时钟问题14、盈亏问题15、工程问题16、正反比例问题17、按比例分配18、百分数问题19、“牛吃草”问题20、鸡兔同笼问题21、方阵问题22、商品利润问题23、存款利率问题24、溶液浓度问题25 、构图布数问题26、幻方问题27、抽屉原则问题28、公约公倍问题29、最值问题30、列方程问题1 归一问题【含义】 在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。
2、这类应用题叫做归一问题。【数量关系】 总量份数1 份数量 1份数量所占份数所求几份的数量另一总量（总量份数）所求份数【解题思路和方法】 先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。例 1 买 5支铅笔要 0.6元钱，买同样的铅笔 16支，需要多少钱？解（1）买 1支铅笔多少钱？ 0.650.12（元）（2）买 16支铅笔需要多少钱？0.12161.92（元）列成综合算式 0.65160.12161.92（元）答：需要 1.92元。例 2 3台拖拉机 3天耕地 90公顷，照这样计算，5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷？解（1）1 台拖拉机 1天耕地多少公顷？ 903310（公顷）（2）5 台拖
3、拉机 6天耕地多少公顷？ 1056300（公顷）列成综合算式 9033561030300（公顷）答：5 台拖拉机 6 天耕地 300公顷。例 3 5辆汽车 4次可以运送 100吨钢材，如果用同样的 7辆汽车运送 105吨钢材，需要运几次？解 （1）1 辆汽车 1次能运多少吨钢材？ 100545（吨）（2）7 辆汽车 1次能运多少吨钢材？ 5735（吨）（3）105 吨钢材 7辆汽车需要运几次？ 105353（次）列成综合算式 105（100547）3（次）答：需要运 3次。2 归总问题【含义】 解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的
4、总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。【数量关系】 1 份数量份数总量 总量1 份数量份数总量另一份数另一每份数量【解题思路和方法】 先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。例 1 服装厂原来做一套衣服用布 3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布 2.8米。原来做 791套衣服的布，现在可以做多少套？解 （1）这批布总共有多少米？ 3.27912531.2（米）（2）现在可以做多少套？ 2531.22.8904（套）列成综合算式 3.27912.8904（套）答：现在可以做 904套。例 2 小华每天读 24页书，12 天读完了红岩一书。小明每天读 36页书，
5、几天可以读完红岩？解 （1）红岩这本书总共多少页？ 2412288（页）2（2）小明几天可以读完红岩？ 288368（天）列成综合算式 2412368（天）答：小明 8天可以读完红岩。例 3 食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃 50千克，30 天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃 10千克，这批蔬菜可以吃多少天？解 （1）这批蔬菜共有多少千克？ 50301500（千克）（2）这批蔬菜可以吃多少天？ 1500（5010）25（天）列成综合算式 5030（5010）15006025（天）答：这批蔬菜可以吃 25天。3 和差问题【含义】 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，
6、这类应用题叫和差问题。【数量关系】 大数（和差） 2 小数（和差） 2【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。例 1 甲乙两班共有学生 98人，甲班比乙班多 6人，求两班各有多少人？解 甲班人数（986）252（人）乙班人数（986）246（人）答：甲班有 52人，乙班有 46人。例 2 长方形的长和宽之和为 18厘米，长比宽多 2厘米，求长方形的面积。解 长（182）210（厘米） 宽（182）28（厘米）长方形的面积 10880（平方厘米）答：长方形的面积为 80平方厘米。例 3 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重 32千克，乙丙两袋共重 30千克，甲丙两袋共
7、重 22千克，求三袋化肥各重多少千克。解 甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多（3230）2 千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知甲袋化肥重量（222）212（千克）丙袋化肥重量（222）210（千克）乙袋化肥重量321220（千克）答：甲袋化肥重 12千克，乙袋化肥重 20千克，丙袋化肥重 10千克。例 4 甲乙两车原来共装苹果 97筐，从甲车取下 14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多 3筐，两车原来各装苹果多少筐？解 “从甲车取下 14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多 3筐”，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是（1423），甲与乙的和是 97，因此甲车筐数（971423
8、）264（筐）乙车筐数976433（筐）答：甲车原来装苹果 64筐，乙车原来装苹果 33筐。4 和倍问题【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。【数量关系】 总和 （几倍1）较小的数 总和 较小的数 较大的数较小的数 几倍 较大的数【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例 1 果园里有杏树和桃树共 248棵，桃树的棵数是杏树的 3倍，求杏树、桃树各多少棵？解 （1）杏树有多少棵？ 248（31）62（棵）（2）桃树有多少棵？ 623186（棵）答：杏树有 62棵，桃树有 186棵。例 2
9、 东西两个仓库共存粮 480吨，东库存粮数是西库存粮数的 1.4倍，求两库各存粮多少吨？解 （1）西库存粮数480（1.41）200（吨）（2）东库存粮数480200280（吨）答：东库存粮 280吨，西库存粮 200吨。3例 3 甲站原有车 52辆，乙站原有车 32辆，若每天从甲站开往乙站 28辆，从乙站开往甲站 24辆，几天后乙站车辆数是甲站的 2倍？解 每天从甲站开往乙站 28辆，从乙站开往甲站 24辆，相当于每天从甲站开往乙站（2824）辆。把几天以后甲站的车辆数当作 1倍量，这时乙站的车辆数就是 2倍量，两站的车辆总数（5232）就相当于（21）倍，那么，几天以后甲站的车辆数减少为
10、（5232）（21）28（辆）所求天数为 （5228）（2824）6（天）答：6 天以后乙站车辆数是甲站的 2倍。例 4 甲乙丙三数之和是 170，乙比甲的 2倍少 4，丙比甲的 3倍多 6，求三数各是多少？解 乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为 1倍量。因为乙比甲的 2倍少 4，所以给乙加上 4，乙数就变成甲数的 2倍；又因为丙比甲的 3倍多 6，所以丙数减去 6就变为甲数的 3倍；这时（17046）就相当于（123）倍。那么，甲数（17046）（123）28乙数282452丙数283690答：甲数是 28，乙数是 52，丙数是 90。5 差倍问题【含义】 已知两个数的差及大数是小数
11、的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。【数量关系】 两个数的差（几倍1）较小的数较小的数几倍较大的数【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例 1 果园里桃树的棵数是杏树的 3倍，而且桃树比杏树多 124棵。求杏树、桃树各多少棵？解 （1）杏树有多少棵？ 124（31）62（棵）（2）桃树有多少棵？ 623186（棵）答：果园里杏树是 62棵，桃树是 186棵。例 2 爸爸比儿子大 27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的 4倍，求父子二人今年各是多少岁？解 （1）儿子年龄27（41）9（岁）（2）爸爸年龄9436（岁）答：父
12、子二人今年的年龄分别是 36岁和 9岁。例 3 商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的 2倍还多 12万元，又知本月盈利比上月盈利多 30万元，求这两个月盈利各是多少万元？解 如果把上月盈利作为 1倍量，则（3012）万元就相当于上月盈利的（21）倍，因此 上月盈利（3012）（21）18（万元）本月盈利183048（万元）答：上月盈利是 18万元，本月盈利是 48万元。例 4 粮库有 94吨小麦和 138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是 9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的 3倍？解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（13894）。把几天后剩下的小麦看
13、作 1倍量，则几天后剩下的玉米就是 3倍量，那么，（13894）就相当于（31）倍，因此剩下的小麦数量（13894）（31）22（吨）运出的小麦数量942272（吨）运粮的天数7298（天）答：8 天以后剩下的玉米是小麦的 3倍。6 倍比问题【含义】 有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。【数量关系】 总量一个数量倍数 另一个数量倍数另一总量【解题思路和方法】 先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。4例 1 100千克油菜籽可以榨油 40千克，现在有油菜籽 3700千克，可以榨油多少？解 （1）3700 千克
14、是 100千克的多少倍？ 370010037（倍）（2）可以榨油多少千克？ 40371480（千克）列成综合算式 40（3700100）1480（千克）答：可以榨油 1480千克。例 2 今年植树节这天，某小学 300名师生共植树 400棵，照这样计算，全县 48000名师生共植树多少棵？解 （1）48000 名是 300名的多少倍？ 48000300160（倍）（2）共植树多少棵？ 40016064000（棵）列成综合算式 400（48000300）64000（棵）答：全县 48000名师生共植树 64000棵。例 3 凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家 4亩果园收入 11111元，照这样
15、计算，全乡 800亩果园共收入多少元？全县 16000亩果园共收入多少元？解 （1）800 亩是 4亩的几倍？ 8004200（倍）（2）800 亩收入多少元？ 111112002222200（元）（3）16000 亩是 800亩的几倍？ 1600080020（倍）（4）16000 亩收入多少元？ 22222002044444000（元）答：全乡 800亩果园共收入 2222200元，全县 16000亩果园共收入 44444000元。7 相遇问题【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。【数量关系】 相遇时间总路程（甲速乙速）总路程（甲速乙速）相遇时间
16、【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。例 1 南京到上海的水路长 392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行 28千米，从上海开出的船每小时行 21千米，经过几小时两船相遇？解 392（2821）8（小时）答：经过 8小时两船相遇。例 2 小李和小刘在周长为 400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑 5米，小刘每秒钟跑 3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？解 “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。因此总路程为 4002相遇时间（4002）（53）100（秒）答：二人从出发到第二次相遇需 10
17、0秒时间。例 3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行 15千米，乙每小时行 13千米，两人在距中点 3千米处相遇，求两地的距离。解 “两人在距中点 3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点 3千米，乙距中点 3千米，就是说甲比乙多走的路程是（32）千米，因此，相遇时间（32）（1513）3（小时）两地距离（1513）384（千米）答：两地距离是 84千米。8 追及问题【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之
18、内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。【数量关系】 追及时间追及路程（快速慢速）追及路程（快速慢速）追及时间【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例 1 好马每天走 120千米，劣马每天走 75千米，劣马先走 12天，好马几天能追上劣马？解 （1）劣马先走 12天能走多少千米？ 7512900（千米）（2）好马几天追上劣马？ 900（12075）20（天）列成综合算式 7512（12075）9004520（天）答：好马 20天能追上劣马。5例 2 小明和小亮在 200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用 40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一
19、次追上小亮时跑了 500米，求小亮的速度是每秒多少米。解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即 200米，此时小亮跑了（500200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑 500米所用的时间。又知小明跑 200米用 40秒，则跑 500米用40（500200）秒，所以小亮的速度是 （500200）40（500200）3001003（米）答：小亮的速度是每秒 3米。例 3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午 16点开始从甲地以每小时 10千米的速度逃跑，解放军在晚上 22点接到命令，以每小时 30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距 60千米，问解放军几个小时可以追上敌人？
20、解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（2216）小时，这段时间敌人逃跑的路程是10（2216）千米，甲乙两地相距 60千米。由此推知追及时间10（2216）60（3010）120206（小时）答：解放军在 6小时后可以追上敌人。例 4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行 48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行 40千米，两车在距两站中点 16千米处相遇，求甲乙两站的距离。解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车（162）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，这个时间为 162（4840）4（小时）所以两站间的距离为 （4840）4352（千米）
21、列成综合算式 （4840）162（4840）884352（千米）答：甲乙两站的距离是 352千米。例 5 兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走 90米，妹妹每分钟走 60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校 180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？解 要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。从题中可知，在相同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（1802）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（9060）米，那么，二人从家出走到相遇所用时间为1802（9060）12（分钟）家离学校的距离为 9012180900（米）答：家离学校有 900米远。例 6 孙亮打算上课前
22、5分钟到学校，他以每小时 4千米的速度从家步行去学校，当他走了 1千米时，发现手表慢了 10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早 9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。解 手表慢了 10分钟，就等于晚出发 10分钟，如果按原速走下去，就要迟到（105）分钟，后段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了（105）分钟。如果从家一开始就跑步，可比步行少9分钟，由此可知，行 1千米，跑步比步行少用9（105）分钟。所以 步行 1千米所用时间为 19（105）0.25（小时）15（分钟）跑步 1千米所用时间为 159（105）11（分钟）跑
23、步速度为每小时 111605.5（千米）答：孙亮跑步速度为每小时 5.5 千米。9 植树问题【含义】 按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。【数量关系】 线形植树 棵数距离棵距1环形植树 棵数距离棵距方形植树 棵数距离棵距4三角形植树 棵数距离棵距3面积植树 棵数面积（棵距行距）【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。例 1 一条河堤 136米，每隔 2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？解 1362168169（棵）答：一共要栽 69棵垂柳。例 2 一个圆形池塘周长为 400米，在岸边每隔 4米
24、栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？6解 4004100（棵） 答：一共能栽 100棵白杨树。例 3 一个正方形的运动场，每边长 220米，每隔 8米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯？解 2204841104106（个）答：一共可以安装 106个照明灯。例 4 给一个面积为 96平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是 60厘米和 40厘米，问至少需要多少块地板砖？解 96（0.60.4）960.24400（块）答：至少需要 400块地板砖。例 5 一座大桥长 500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔 50米有一个电杆，每个电杆上安装 2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？解 （
25、1）桥的一边有多少个电杆？ 50050111（个）（2）桥的两边有多少个电杆？ 11222（个）（3）大桥两边可安装多少盏路灯？22244（盏）答：大桥两边一共可以安装 44盏路灯。10 年龄问题【含义】 这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。【解题思路和方法】 可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。两个数的差（几倍1）较小的数例 1 爸爸今年 35岁，亮亮今年 5岁，今年爸爸的年龄是亮亮
26、的几倍？明年呢？解 3557（倍） （35+1）（5+1）6（倍）答：今年爸爸的年龄是亮亮的 7倍，明年爸爸的年龄是亮亮的 6倍。例 2 母亲今年 37岁，女儿今年 7岁，几年后母亲的年龄是女儿的 4倍？解 （1）母亲比女儿的年龄大多少岁？ 37730（岁）（2）几年后母亲的年龄是女儿的 4倍？30（41）73（年）列成综合算式 （377）（41）73（年）答：3 年后母亲的年龄是女儿的 4倍。例 3 3年前父子的年龄和是 49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的 4倍，父子今年各多少岁？解 今年父子的年龄和应该比 3年前增加（32）岁，今年二人的年龄和为 493255（岁）把今年儿子年龄作为 1倍
27、量，则今年父子年龄和相当于（41）倍，因此，今年儿子年龄为 55（41）11（岁）今年父亲年龄为 11444（岁）答：今年父亲年龄是 44岁，儿子年龄是 11岁。例 4 甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才 4岁”。乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将 61岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？（可用方程解）解这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析：过去某一年 今 年 将来某一年甲 岁 岁 61岁乙 4岁 岁 岁表中两个“”表示同一个数，两个“”表示同一个数。因为两个人的年龄差总相等：461，也就是 4，61 成等差数列，所以，61应该比 4大 3个年龄差
28、，因此二人年龄差为 （614）319（岁）甲今年的岁数为 611942（岁）乙今年的岁数为 421923（岁）7答：甲今年的岁数是 42岁，乙今年的岁数是 23岁。11 行船问题【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。【数量关系】 （顺水速度逆水速度）2船速（顺水速度逆水速度）2水速顺水速船速2逆水速逆水速水速2逆水速船速2顺水速顺水速水速2【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例 1 一只船顺水行
29、 320千米需用 8小时，水流速度为每小时 15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？解 由条件知，顺水速船速水速3208，而水速为每小时 15千米，所以，船速为每小时 32081525（千米）船的逆水速为 251510（千米）船逆水行这段路程的时间为 3201032（小时）答：这只船逆水行这段路程需用 32小时。例 2 甲船逆水行 360千米需 18小时，返回原地需 10小时；乙船逆水行同样一段距离需 15小时，返回原地需多少时间？解由题意得 甲船速水速3601036甲船速水速3601820可见 （3620）相当于水速的 2倍，所以， 水速为每小时 （3620）28（千米）又因为， 乙船速水
30、速36015，所以， 乙船速为 36015832（千米）乙船顺水速为 32840（千米）所以， 乙船顺水航行 360千米需要 360409（小时）答：乙船返回原地需要 9小时。例 3 一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时 576千米，风速为每小时 24千米，飞机逆风飞行 3小时到达，顺风飞回需要几小时？解 这道题可以按照流水问题来解答。（1）两城相距多少千米？ （57624）31656（千米）（2）顺风飞回需要多少小时？ 1656（57624）2.76（小时）列成综合算式 （57624）3（57624）2.76（小时）答：飞机顺风飞回需要 2.76小时。12 列车问题【含义】 这是与
31、列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。【数量关系】 火车过桥：过桥时间（车长桥长）车速火车追及：追及时间（甲车长乙车长距离）（甲车速乙车速）火车相遇：相遇时间（甲车长乙车长距离）（甲车速乙车速）【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例 1 一座大桥长 2400米，一列火车以每分钟 900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要 3分钟。这列火车长多少米？解 火车 3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。（1）火车 3分钟行多少米？ 90032700（米）（2）这列火车长多少米？ 27002400300（米）列成综合算式 90032400300（米
32、）答：这列火车长 300米。例 2 一列长 200米的火车以每秒 8米的速度通过一座大桥，用了 2分 5秒钟时间，求大桥的长度是多少米？解 火车过桥所用的时间是 2分 5秒125 秒，所走的路程是（8125）米，这段路程就是（200 米桥长），所以，桥长为8125200800（米）8答：大桥的长度是 800米。例 3 一列长 225米的慢车以每秒 17米的速度行驶，一列长 140米的快车以每秒 22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？解 从追上到追过，快车比慢车要多行（225140）米，而快车比慢车每秒多行（2217）米，因此，所求的时间为（225140）（2217）73（
33、秒）答：需要 73秒。例 4 一列长 150米的列车以每秒 22米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒 3米的速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间？解 如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。150（223）6（秒）答：火车从工人身旁驶过需要 6秒钟。例 5 一列火车穿越一条长 2000米的隧道用了 88秒，以同样的速度通过一条长 1250米的大桥用了 58秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？解 车速和车长都没有变，但通过隧道和大桥所用的时间不同，是因为隧道比大桥长。可知火车在（8858）秒的时间内行驶了（20001250）米的路程，因此，火车的车速为每秒（20
34、001250）（8858）25（米）进而可知，车长和桥长的和为（2558）米，因此，车长为 25581250200（米）答：这列火车的车速是每秒 25米，车身长 200米。13 时钟问题【含义】 就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为 60度等。时钟问题可与追及问题相类比。【数量关系】 分针的速度是时针的 12倍，二者的速度差为 11/12。通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。【解题思路和方法】 变通为“追及问题”后可以直接利用公式。例 1 从时针指向 4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？解 钟面的一周分为 60格，分针每分钟走一格，
35、每小时走 60格；时针每小时走 5格，每分钟走5/601/12 格。每分钟分针比时针多走（11/12）11/12 格。4 点整，时针在前，分针在后，两针相距 20格。所以分针追上时针的时间为 20（11/12） 22（分）答：再经过 22分钟时针正好与分针重合。例 2 四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？解 钟面上有 60格，它的 1/4是 15格，因而两针成直角的时候相差 15格（包括分针在时针的前或后15格两种情况）。四点整的时候，分针在时针后（54）格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走 （5415）格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走（5415
36、）格。再根据 1分钟分针比时针多走（11/12）格就可以求出二针成直角的时间。 （5415）（11/12） 6（分）（5415）（11/12） 38（分）答：4 点 06分及 4点 38分时两针成直角。例 3 六点与七点之间什么时候时针与分针重合？解 六点整的时候，分针在时针后（56）格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是一个追及问题。（56）（11/12） 33（分）答：6 点 33分的时候分针与时针重合。14 盈亏问题【含义】 根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。【数量关系
37、】 一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：参加分配总人数（盈亏）分配差如果两次都盈或都亏，则有：参加分配总人数（大盈小盈）分配差9参加分配总人数（大亏小亏）分配差【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例 1 给幼儿园小朋友分苹果，若每人分 3个就余 11个；若每人分 4个就少 1个。问有多少小朋友？有多少个苹果？解 按照“参加分配的总人数（盈亏）分配差”的数量关系：（1）有小朋友多少人？ （111）（43）12（人）（2）有多少个苹果？ 3121147（个）答：有小朋友 12人，有 47个苹果。例 2 修一条公路，如果每天修 260米，修完全长就得延长 8天；如
38、果每天修 300米，修完全长仍得延长 4天。这条路全长多少米？解 题中原定完成任务的天数，就相当于“参加分配的总人数”，按照“参加分配的总人数（大亏小亏）分配差”的数量关系，可以得知原定完成任务的天数为 （26083004）（300260）22（天）这条路全长为 300（224）7800（米）答：这条路全长 7800米。例 3 学校组织春游，如果每辆车坐 40人，就余下 30人；如果每辆车坐 45人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？解 本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于是就有（1）有多少车？ （300）（4540）6（辆）（2）有多少人？ 40630270（人）答：有 6 辆车，有
39、 270人。15 工程问题【含义】 工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。【数量关系】 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。工作量工作效率工作时间 工作时间工作量工作效率工作时间总工作量（甲工作效率乙工作效率）【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式。例 1 一项工程
40、，甲队单独做需要 10天完成，乙队单独做需要 15天完成，现在两队合作，需要几天完成？解 题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需 10天完成，那么每天完成这项工程的 1/10；乙队单独做需 15天完成，每天完成这项工程的 1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/101/15）。由此可以列出算式： 1（1/101/15）11/66（天）答：两队合做需要 6天完成。例 2 一批零件，甲独做 6小时完成，乙独做 8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做 24个，求这批零件共有多少个？解 设总工作量为 1，则甲每小时完
41、成 1/6，乙每小时完成 1/8，甲比乙每小时多完成（1/61/8），二人合做时每小时完成（1/61/8）。因为二人合做需要1（1/61/8）小时，这个时间内，甲比乙多做 24个零件，所以（1）每小时甲比乙多做多少零件？241（1/61/8）7（个）（2）这批零件共有多少个？ 7（1/61/8）168（个）答：这批零件共有 168个。解二 上面这道题还可以用另一种方法计算：两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为 1/61/843由此可知，甲比乙多完成总工作量的 43 / 43 1/710所以，这批零件共有 241/7168（个）例 3 一件工作，甲独做 12小时完成，乙独做 10小时完成，丙独
42、做 15小时完成。现在甲先做 2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？解 必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为 12、10、和 15的某一公倍数，例如最小公倍数 60，则甲乙丙三人的工作效率分别是60125 60106 60154 因此余下的工作量由乙丙合做还需要 （6052）（64）5（小时）答：还需要 5小时才能完成。 也可以用（1-1/12*2）/（1/10+1/15）例 4 一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开 4个进水管时，需要 5小时才能注满水池；当打开 2个进水管时，需要
43、 15小时才能注满水池；现在要用 2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？解 注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。要 2小时内将水池注满，即要使 2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。只要设某一个量为单位 1，其余两个量便可由条件推出。我们设每个同样的进水管每小时注水量为 1，则 4个进水管 5小时注水量为（145），2 个进水管15小时注水量为（1215），从而可知每小时的排水量为 （1215145）（155）1即一个排水管与每个进水管的工
44、作效率相同。由此可知一池水的总工作量为 1451515 又因为在 2小时内，每个进水管的注水量为 12， 所以，2 小时内注满一池水 至少需要多少个进水管？ （1512）（12）8.59（个） 答：至少需要 9个进水管。16 正反比例问题【含义】 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
45、反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。【数量关系】 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。【解题思路和方法】 解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。例 1 修一条公路，已修的是未修的 1/3，再修 300米后，已修的变成未修的 1/2，求这条公路总长是多少米？解 由条件知，公路总长不变。原已修长度总长度1（13）14312现已修长度总长度1（12）13412比较以上两式可知，把总长度当作 12份，则 300米相当于（43）份，从而知公路总长为 300（43）123600（米）答： 这条公路总长 3600米。例 2 张晗做 4道应用题用了 28分钟，照这样计算，91 分钟可以做几道应用题？解 做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系设 91分钟可以做 X应用题 则有 28491X28X914 X91428 X13答：91 分钟可以做 13道应用题。例 3 孙亮看十万个为什么这本书，每天看 24页，15 天看完，如果每天看 36页，几天就可以看完？解 书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系
