1、 第 页（共 8 页）12012 年(下)小学数学竞赛叁级教练员考试试卷参考答案（110 填空题，每题 5 分；1120 解答题，每题 10 分，共 150 分）1三个自然数的和是 508，积是 2012，则这三个数是 。解：将 2012 分解质因数：201222503=45031。故所求的三个数是 503、4 和1。2已知： ， 都是整数，并且 。则 。ab1|ba|ba解： 都是整数 都是自然,|,| 数或 或 。1|0ba|10ba1ba|ba3某商品的价格规定如下：每个 1 元；每 5 个 4 元；每 9 个 7 元。小赵的钱最多能买 50个，小李的钱最多能买 500 个。小赵与小李各
2、有 元。解：509551 754139（元）50095551 75541389（元）答：小赵有 39 元，小李有 389 元。4如果十个互不相同的两位奇数之和等于 898，那么这十个数中最小的一个是 。解：两位奇数指的是 11、13、15、99。其中，最大的 9 个数的和是。781,29)83(957 由于和为 898 的十个两位奇数中较大的九个数的和不可能再大了，较小的那个数不可能更小。所以，这十个数中最小的一个是 79。5小芳和四位同学一起参加数学竞赛，那四位同学的成绩分别是 78、91、82 和 79，小芳的成绩比五人的平均成绩高 6 分。则小芳的成绩在这五个人中排第 名。解：设小芳的成
3、绩是 分，则 ，解得: 。所以，x xx65)79278( 90|第 页（共 8 页）2小芳的成绩在这五人中排第二名。61000 千克葡萄含水率为 96.5%，一周后含水率降为 96%。这些葡萄的重量减少了 千克。解：葡萄原来含水 （千克） ，含果肉 （千克） 。一965%.10 359610周后，含水率为 96%，即含果肉率为 ，这时葡萄的重量为41（千克） 。葡萄的重量减少了 1000875125（千克） 。875%437有一只时钟，每小时比标准时间慢 2 分钟，上午 6 时将时间校准，到该钟指向上午 9时整，标准时间约是上午 时 分。解：设校准后，到钟指向上午 9 时走了 小时，即 分。
4、则xx0)60(:)(60:)2(解得 ， （时） ， （分） 。93x2932.6918答：标准时间约是上午 9 时 6.2 分。8在 中， ，现把ABC1CA在直线 上作顺时针方向滚动(如图所示)，l点 从开始到 处结束所经过的路程的总长度是 。 解： 点所经过的路程如图 2 所示，这是两条圆心分别为 和 、半径为 1、圆心角是 120的扇形的弧。所以经过的路程的总长度为CA。3423601S9已知：在 中， 是 中点。 、 分别在 、 上，ABDCEFABC， 。则 的面积与 的面积之51E6CFF比等于 。第 页（共 8 页）3解： ，CDFBEAFBCDEFSSS 。20365142
5、651AB10如图所示，在半径为 10的圆中有两条互相垂直的弦，则阴影部分的面积 比其它部分面A积 大 2。解:作如图 2 所示的辅助线，则阴影部分的面积比 大 34224( 2)。AB11已知： ，求 的整数部分。20142013SS解：（1） ， 。从而有 1023102S。因为估算精度不够，所以由这样的不等式不足以得出结论。.S（2） 58201352017S6.4.4.3.9所以， 的整数部分是 201。S12在下面乘法竖式的内各填上一个合适的数字，使算式成立。解：设乘数为 。根据 yx可知 ，即285190x64。经试算， 时，285 5 1 4 25 x适合。又根据 可知 ，经试算
6、， 时适合。31y3y13如图表示部分街道。其中，每条路都只能允许车辆单向通行（只允许：从西到东；从南到北；从西南到东北） 。按照这样的通行规则，由 到 共有多少种不同的走法？AB解：设 为出发点。从 到 只有一种走法。AC同理，到达路口 D 的车也只有 1 种走法；到达路口 E 的车可能来自 A 或 C，故有 1+12（种）第 页（共 8 页）4走法；到达路口 F 的车可能来自 E，C 或 D，故有 2+1+14（种）走法。以下类推；到达路口 B 的走法有 20（种） 。14猎狗发现前方 10 米处有一只兔子在奔跑，立即追了上去，兔子跑 9 步的路程，猎狗只需跑 5 步，但猎狗跑 2 步的时
7、间兔子能跑 3 步。请问：当猎狗追上兔子时，共跑了多少米？解：设猎狗一步的长为 米，兔子一步的长为 米。得出 ， 。在相同的abba55时间里猎狗和兔子的速度比是5:63:)92(3:bba可见，当猎狗每跑 6 米时，才能比兔子多跑 1 米。因此，猎狗追上兔子时，共跑了（米） 。0)5(10答：当猎狗追上兔子时，共跑了 60 米。15两个人做一种游戏：轮流报数，报出的数只能是 1、2、3、4、5、6、7、8 其中的一个。把两人报出的数连加起来，谁报数后加起来的数是 2012，谁就获胜。现在让你先报，采用何种策略才能保证一定会赢？解：因为 5，所以第一个数报 5。以后，对方报数后，你再报数，使2
8、3901每一轮中两人报的数的和为 9。这样，你就能在 223 轮后达到 2012。16在一个圆内（包括边界）至少放置多少个点，才能保证有两个点之间的距离小于这个圆的半径？解：先考虑极端情况。如果在圆内接正六边形 的顶点ABCDEF和中心各放置一个点（如图） ，则此时圆被分为六个 60扇形。若再添加一点，该点必属某一扇形区域，它与该扇形中三个点之间的距离必小于或等于圆的半径。因此，至少要有 8 个点，就能保证其中有两个点之间的距离小于圆的半径。17在用 120 个单位正方体拼成的 456 长方体中，共有多少个大小或位置不同的长方体？其中，又有多少个是正方体？解：在拼成的大长方体中，取一组有公共顶
9、点的三条棱作为空间直角坐标系的坐标轴。则每一个拼成的长方体在这三条坐标轴上都有一组三个投影和它对应，并且每一组投影也对应于一个拼成的长方体。在长为 4 的棱上 在长为 5 的棱上 在长为 6 的棱上长为 6 的投影 / / 1长为 5 的投影 / 1 2第 页（共 8 页）5长为 4 的投影 1 2 3长为 3 的投影 2 3 4长为 2 的投影 3 4 5长为 1 的投影 4 5 6合计 10 15 21由表并根据乘法原理可知：（1）大小或位置不同的长方体共有 101521=3150（个） ；（2）其中，正方体有 123+234+345+456=210（个） 。18如图，每个小方格的面积是
10、1。能否从这些面积为 4 的图形中找出四个，并把它们拼成一个面积是 16 的正方形。请画图说明（在图中标上所用图号，给出一种画法即可） 。解：19 、 两地相距 26，甲、乙和丙从 地同时出发去 地，甲和乙步行速度分别为ABAB每小时 5和每小时 4，丙驾驶摩托车，速度是每小时 20，摩托车后座可带一人。问：三人到达 地，至少需要多长时间？解：要使三人从 A 到 B 地所需时间最少，必须三人不停顿地向目的地走，并且同时出发，同时到达 B 地。丙先驾驶摩托车带乙到 C，乙再步行到终点 B，丙空车返回，在 D 和甲相遇，再带上甲到 B，三人同时到达。设乙和甲步行的路程分别为 和 ，则有xy，解得
11、。 （小时） 。20362054206 yxyx 86yx5.2460答：三人到达 B 地，至少需要 2.5 小时。20一种玩具的三种不同型号 、 、 的价格分别是每只 61 元、92 元和 123 元。ABC小明买了若干个的总价格正好是 4000 元。问这三种型号的玩具各买了多少个？解：（1）设单价为 61 元、92 元和 123 元的玩具分别买了 、 、 个，则xyz（*）4012396zyx第 页（共 8 页）6由于单价 61、92、123 分别增加 1 之后，都是 31 的倍数，即有。432,3192,316 于是，式（*）变形为),(40)( ,0(zyxzyx应是 31 的倍数。4
12、0（2）大于 4000 的 31 的倍数是 4030、4061、4092、所以30，61，92，。zyx并且取决于 4000 元所能购买的这三种玩具的个数。因此，614012340zyx即 65只能是 。zyx（3）以 代入（*） ，得6192,401239)( zyzyz可见， 是不大于 9 的奇数。经试算，五组解如下表所示：x56 55 54 53 52y1 3 5 7 9z4 3 2 1 02012 年(下)小学数学竞赛贰级教练员考试试卷参考答案（18 填空题,每题 5 分；917 解答题,每题 10 分；第 18 题 20 分,共 150 分）：）1见叁级第 3 题。2见叁级第 4 题
13、。3见叁级第 5 题。4见叁级第 6 题。5见叁级第 7 题。第 页（共 8 页）76见叁级第 8 题。7见叁级第 9 题。8见叁级第 10 题。9已知：甲校学生数是乙校学生数的 40%；甲校女生数是甲校学生数的 30%，乙校男生数是乙校学生数的 42%。求两校的女生总数占两校学生总数的百分比是多少？解：男生数 女生数 学生数甲校 0.12x0.4乙校 0.42 0.58合计 0.7 1.4设乙校的学生数为 （人）,则甲校的学生数为 （人）,甲校的女生数x xx4.0%为 （人）,乙校的男生数是 （人） 。因此，两校的女生x12.0%34.0 2.4总数为 （人） ，又两校学生总数为 （人）
14、。所以，两校7.58 .1的女生总数占两校学生总数的百分比是 。50.17x10将自然数 1、2、3、依次写又能组成自然数：123456789101112。求其中能被 24整除的最小的一个数。你能求出下一个数吗？解：（1）24=83，8、3 互质，24|N 当且仅当 8|N 并且 3|N。8|456，8|123456。又 3|（1+2+3+4+5+6） ，3|123456。故有 24|123456。123456 是能被 24 整除的最小的自然数。（2）同理，因为 8|123456789101112，3|123456789101112，所以24|123456789101112 。（而 567、6
15、78、789、891、910、101、011、111 都不能被 8 整除）11黑板上写上数字 1、2、3、98，每次擦去其中任意两个数，换上这两个数的和或差。连续这样的操作若干次，直到黑板上仅留下一个数为止。这个数可能是 2012 吗？为什么？解：设想在数列的第一个数之前写上数字“0” 。当擦掉 、 ，换上 时，相当于 ；abbaba当擦掉 、 ，换上 时，相当于 ；直到留下一个数时，相当于 98 个数之前都带上了加号或减号。 （一个或几个运算号，最后被化简为一个运算号）（1）98 个数中有 49 个偶数与 49 个奇数。（2）一个数加减偶数时，它的奇偶性不变；第 页（共 8 页）8（3）一个
16、数加减奇数时，它的奇偶性改变；（4）所以，从 0 开始，奇偶性改变 49 次，结果必然是奇数，因此，不可能是 2012。12见叁级第 16 题。13见叁级第 18 题。 14见叁级第 17 题。15 A 码头在 B 码头的上游， “小数号”遥控舰模从 A 码头出发，在两个码头之间往返航行。已知舰模在静水中的速度是每分钟 200 米，水流的速度是每分钟 40 米。出发 20 分钟后，舰模位于 A 码头下游 960 米处，并向 B 码头行驶。求 A 码头和 B 码头之间的距离是多少米？解：舰模从 A 码头顺流而下 960 米，航行时间为 960（200+40）=4（分） ，20-4=16（分）。因
17、此，舰模从 A 码头出发后第 16 分钟又回到了 A 码头。由于从 A 到 B 的路程超过了960 米，所以从 A 顺流航行到 B 必然会超过 4 分钟。再由 B 逆流航行回到 A 共用将远远超过 8 分钟。16 分钟只能在 A、B 之间走一个来回。假设在 16 分钟中，航模顺流从 A 到 B航行时间为 ，则（200+40） =（200-40）（16- ） ， =6.4（分） 。从而 A、B 码头之tt t间距离是（200+40）6.4=1536（米） 。16有一个 37 的长方形被分为 21 个 11 的小方格，用红、黄两种颜色分别给这些小方格染色。求证：不论小方格怎样染色，在图中都可以找到
18、这样的由小方格组成的长方形，它的四个顶角处的小方格被染成相同的颜色。证明：（1）由于第一行的 7 格染了两种不同的颜色，所以至少有 4 格或 4 格以上染了同一种颜色。不影响证明的普遍性，不妨设第一行的前 4 格染红色。（2）这时，如果第二行的前 4 格中有两格染红，则本题求证的结论成立。（3）如果第二行的前 4 格被染红的方格少于 2 格，但第三行的前 4 格中有两格被染红，则求证的结论仍然成立。（4）如果第二、三行的前 4 格中被染红的都不多于一个，则被染黄的将多于 6 个，会出现四个顶角处的小方格都被染成黄色的长方形。求证的结论仍然成立。17见叁级第 20 题。18探索解题思路：用 1、
19、2、3、4、6、7、8、9 这八种数字（每种至少用 1 个）组成一个多位数，使它能分别被 1、2、3、4、6、7、8、9 中的每一个数整除。试求这样的整数中最小的那一个。解：（1）要使一个整数能分别被 1、2、3、4、6、7、8、9 整除，只需它能被 789整除。（2）为使多位数 12346789 成为 9 的倍数，各位数字的和（1+2+9=40）必经调整为 9的倍数（但不能出现数字 5，而改出 1 和 4）1123446789。（3）为了使它成为 8 的倍数，必须调整后几位，使后三位是 8 的倍数，试调后四位数第 页（共 8 页）9（共有 24 种不同的排列）为了使之能被 2 整除，留下个位数是偶数的 12 种，并且从小到大排列。6798 7698 7968 8796 9678 97866978 7896 7986 8976 9768 9876（4）试算末三位能否被 8 整除，从中筛选出 8 的倍数1123447896 1123447968 1123448976 1123449768（5）最后，试算它们能否被 7 整除，从中找出所求的数：1123449768。
