1、第 1 页 共 16 页（全国卷）20132014 2015 2016 20176 立体几何：球体嵌入正方体体积计算实际应用题、圆锥体积三视图及球的表面积与体积7 空间几何体求表面积8 三视图：长方体与圆柱组合，体积计算11 三视图、球、圆柱的表面积平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角12 三视图还原立体图16 平面图形折叠后最大体积1718 立体几何：线线垂直证明线面角空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；垂直问题的证明及空间向量的应用证明面面垂直关系，求二面角的余弦值19 立体几何：线面垂直、二面角的求法【2013】6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高
2、 8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )A、 cm3 B、 cm3 5003 8663C、 cm3 D、 cm313723 204838、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为. . 6. .181618、 （本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CA=CB，AB=A A1，BA A1=60.（）证明 ABA 1C;第 2 页 共 16 页（）若平面 ABC平面 AA1B1B，AB=CB=2，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值。【2014】12.如图，网格纸上小
3、正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为 A. 62 B. 4 C.6 D.419. (本小题满分 12 分)如图三棱柱 1ABC中，侧面 1B为菱形， 1ABC.() 证明： 1A；（）若 CB， o160，AB=BC求二面角 1的余弦值.【2015】（6） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?
4、”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛（11 ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20，则 r=第 3 页 共 16 页（A）1 （B）2（C）4（D ）8(18)如图，四边形 ABCD 为菱形，ABC120 ，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点， BE平面 ABCD，DF平面 ABCD，BE 2DF，AEEC.(1)证明：平面 AEC平面 AFC(2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦
5、值【2016】（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是 ，则它的表面积是 来源:Z+xx+k.Com283（A）17 （B）18 （C ）20 （D）28 （11）平面 过正方体 ABCD A1B1C1D1 的顶点 A， /平面 CB1D1， 平面 ABCD=m， 平面-IIABB 1 A1=n，则 m，n 所成角的正弦值为（A） （B） （C） （D ）32233（18） （本小题满分 12 分）如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF=2FD， ，且二面角 D AF E 与二面角 C BE F
6、都是 90-60AB CFED第 4 页 共 16 页（I）证明：平面 ABEF 平面 EFDC；（II）求二面角 E BC A 的余弦值-【2017】7某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A10 B12 C14 D1616如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D，E，F 为圆O 上的点，DBC，ECA， FAB 分别是以 BC，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折
7、痕折起 DBC，ECA，FAB，使得 D，E，F 重合，得到三棱锥.当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为 .18.（12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，AB/CD，且 .90BAPCD（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC， ，求二面角 APBC 的余弦值.90APD第 5 页 共 16 页【2013】6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )A、 cm3 B、 cm3 5003 8663C
8、、 cm3 D、 cm313723 20483【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式，是容易题.【解析】设球的半径为 R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为 4，球心到截面圆的距离为 R-2，则 ，解得 R=5， 球的体积为 =22()435，故选 A.5003 cm8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为. . A16B8. .CD16【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式，是中档题.【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为 2 高为4，上边放一个长为 4 宽为 2 高为 2 长方体，故其体积为= ，故选 .21168A18、 （
9、本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CA=CB，AB=A A1，BA A1=60.（）证明 ABA 1C;（）若平面 ABC平面 AA1B1B，AB=CB=2，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值。【命题意图】本题主要考查空间线面、线线垂直的判定与性质及线面角的计算，考查空间想象能力、逻辑推论证能力，是容易题.【解析】 （）取AB中点E，连结CE， ， ，1AEAB= ， = ， 是正三角形，1A1B06B AB， CA=CB， CEAB， =E，AB面 ， 1CE1CEA第 6 页 共 16 页AB ； 6分1AC（）由（）知 ECAB， AB，1E
10、A又面 ABC面 ，面 ABC面 =AB，EC面 ，EC ，1B1B1AB1EAEA，EC， 两两相互垂直，以 E 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，| |为单位长度，建立EAx如图所示空间直角坐标系 ，Oxyz有题设知 A(1,0,0), (0, ,0),C(0,0, ),B(1,0,0),则 =（1,0， ）,133BC3= =( 1,0, ), =(0, , ), 9 分1BAAC设 = 是平面 的法向量，n(,)xyz1B则 ，即 ，可取 =（ ，1，-1），1030xzyn3 = ，cos,ACn1|5直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 . 12 分105【2014
11、】12.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为 A. 62 B. 4 C.6 D.4【答案】：C【解析】：如图所示，原几何体为三棱锥 ABC，其中 4,2,25A， 246DA，故最长的棱的长度为 6D，选 C第 7 页 共 16 页19. (本小题满分 12 分)如图三棱柱 1ABC中，侧面 1BC为菱形， 1ABC.() 证明： 1AC；（）若 B， o160，AB=BC求二面角 1的余弦值.【解析】：()连结 1C，交 于 O，连结 AO因为侧面1B为菱形，所以 B1，且 O 为 1BC与 1的中点又 1ABC，所以 1
12、平面AO，故 1A又 ，故 A 6 分（）因为 1CB且 O 为 1C的中点，所以 AO=CO 又因为 AB=BC，所以 A故 OAOB ，从而 OA，OB， 1两两互相垂直 以 O 为坐标原点，OB 的方向为 x 轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系 O- xyz 因为 016CB，所以 1CB为等边三角形又 AB=BC，则3,A， ,， 130,， 30,C10,B， 1,AB131,0B设 ,nxyz是平面的法向量，则10ABn，即30yzx所以可取 1,3n设 m是平面的法向量，则 10mABnC，同理可取 ,m第 8 页 共 16 页则 1cos,7nmA，所以二面角
13、 1ABC的余弦值为 17.【2015】（6） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛【答案】B【解析】设圆锥底面半径为 r，则 12384r= 16，所以米堆的体积为 2163()54= 309，故堆放的米约为
14、32091.6222，故选 B.（12 ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20，则 r=（A）1 （B）2（C）4（D ）8【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为 r，圆柱的高为第 9 页 共 16 页2r，其表面积为 2214rr= 254r=16 + 20，解得 r=2，故选 B.(18)如图，四边形 ABCD 为菱形，ABC120 ，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点， BE平面 ABCD，DF平面 ABCD，BE 2DF，
15、AEEC.(1)证明：平面 AEC平面 AFC(2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值（18）解：（I）连结 BD，设 BD AC=G，连结 EG，FG，EF.在菱形 ABCD 中不妨设 GB=1.由 ABC=120，可得 AG=GC= .由 BE 平面 ABCD, AB=BC 可知 AE=EC.3又 AE EC，所以 EG= ，且 EG AC.在 Rt EBG 中，可得 BE= 故 DF= .在 Rt FDG 中，可得 FG= .262在直角梯形 BDFE 中，由 BD=2，BE= ，DF= ，2可得 FE= .从而3222,EGFEGF所 以又 因为, .ACFAC可 得 平 面
16、AC平 面所以平面 平 面AB CFED第 10 页 共 16 页（I） 如图，以 G 为坐标原点，分别以 GB，GC 的方向为 x 轴，y 轴正方向，为单位长，建立空间直角坐标系 G-xyz. B由（I）可得 所以2(03,)(10),(),(03,)AEFC， ， ， ， ， ，故2(12),(,).ECF， ， cos, .AEF所以直线 AE 与直线 CF 所成直角的余弦值为 .3【2016】（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是来源:Z+xx+k.Com283（A）17 （B）18 （C ）20 （D）28 【答案】A【解析】由三视图知，该几何体的直观图如图所示：
